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Nombres premiers

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Définition et propriétés

Définition : nombre premier

Un nombre entier est dit premier s’il admet exactement deux diviseurs positifs : $1$ et lui-même.

Propriétés :

  • Tout nombre entier $a$ strictement supérieur à $1$ admet un diviseur premier.
  • Il existe une infinité de nombres premiers.

Critères de divisibilité

Propriétés :

  • $n$ est divisible par $2$ si, et seulement si, son chiffre des unités est divisible par $2$, c’est-à-dire s’il se termine par $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$.
  • $n$ est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.
  • $n$ est divisible par $4$ si et seulement si le nombre formé avec ses deux derniers chiffres est divisible par $4$.
  • $n$ est divisible par $5$ si, et seulement si, son chiffre des unités est divisible par $5$, c’est-à-dire s’il se termine par $0$ ou $5$.
  • $n$ est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.
  • $n$ est divisible par $10$ si, et seulement si, son chiffre des unités est divisible par $10$, c’est-à-dire s’il se termine par $0$.

Propriété :

Tout nombre entier $a$ non premier et strictement supérieur à $1$ admet un diviseur strict inférieur ou égal à $\sqrt{a}$.

Contraposée :

Si $a$ n’admet pas de diviseur premier strict inférieur ou égal à $\sqrt{a}$ alors $a$ est premier.

Décomposition en produit de facteurs

Propriété :

Un nombre entier naturel strictement supérieur à $1$ est premier ou se décompose de manière unique, à l’ordre près, en produit de nombres premiers.

Propriété :

$n$ est un entier naturel non premier dont la décomposition en produit de facteurs premiers est : $p_1^{α_1}p_2^{α_2}…p_k^{α_k}$

Alors les diviseurs de $n$ sont tous les nombres qui s’écrivent $p_1^{β_1}p_2^{β_2}…p_k^{β_k}$ avec $0≤β_1≤α_1$, $0≤β_2≤α_2$, …, $0≤β_k≤α_k$.