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Nombres premiers

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Définition et propriétés

Définition : nombre premier

Un nombre entier est dit premier s’il admet exactement deux diviseurs positifs : 11 et lui-même.

Propriétés :

  • Tout nombre entier aa strictement supérieur à 11 admet un diviseur premier.
  • Il existe une infinité de nombres premiers.

Critères de divisibilité

Propriétés :

  • nn est divisible par 22 si, et seulement si, son chiffre des unités est divisible par 22, c’est-à-dire s’il se termine par 00, 22, 44, 66 ou 88.
  • nn est divisible par 33 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 33.
  • nn est divisible par 44 si et seulement si le nombre formé avec ses deux derniers chiffres est divisible par 44.
  • nn est divisible par 55 si, et seulement si, son chiffre des unités est divisible par 55, c’est-à-dire s’il se termine par 00 ou 55.
  • nn est divisible par 99 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 99.
  • nn est divisible par 1010 si, et seulement si, son chiffre des unités est divisible par 1010, c’est-à-dire s’il se termine par 00.

Propriété :

Tout nombre entier aa non premier et strictement supérieur à 11 admet un diviseur strict inférieur ou égal à a\sqrt{a}.

Contraposée :

Si aa n’admet pas de diviseur premier strict inférieur ou égal à a\sqrt{a} alors aa est premier.

Décomposition en produit de facteurs

Propriété :

Un nombre entier naturel strictement supérieur à 11 est premier ou se décompose de manière unique, à l’ordre près, en produit de nombres premiers.

Propriété :

nn est un entier naturel non premier dont la décomposition en produit de facteurs premiers est : p1α1p2α2pkαkp1^{α1}p2^{α2}…pk^{αk}

Alors les diviseurs de nn sont tous les nombres qui s’écrivent p1β1p2β2...pkβkp1^{β1}p2^{β2}…pk^{βk} avec 0β1α10≤β1≤α1, 0β2α20≤β2≤α2, …, 0βkαk0≤βk≤αk.