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Nombres premiers

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Introduction :

Ce cours sur les nombres premiers débute par les définitions et propriétés permettant de comprendre cette notion. Nous verrons ensuite les critères de divisibilité qui aideront à reconnaitre ces nombres premiers. Nous terminerons ce cours en voyant la décomposition en produit de facteurs.

Définitions et propriétés des nombres premiers

Définitions

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Astuce

Par convention, dans ce cours nous n’utiliserons que des nombres dont les diviseurs et les multiples sont des entiers naturels.

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Définition

Nombre premier :

Un nombre entier est dit premier s’il admet exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.

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Exemple

Les nombres $2$, $3$ et $5$ sont des nombres premiers. Le nombre $8$ n’est pas un nombre premier car il est divisible par $1$, $2$, $4$ et $8$.

L’entier naturel $1$ n’est pas un nombre premier car il n’admet qu’un seul diviseur positif : $1$.

Propriétés

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Propriété

Tout nombre entier $a$ strictement supérieur à $1$ admet un diviseur premier.

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Démonstration

Si $a$ est premier, alors le diviseur premier cherché est $a$.

Si $a$ n’est pas premier, alors, par définition, il admet au moins un diviseur strict. Notons $\text D(a)$ l’ensemble de ses diviseurs de $a$ ; $\text D(a)=\lbrace 1\ ;\ d_1\ ;\ d_2\ ;\ …\ ;\ a\rbrace$ avec $1 < d_1 < d_2 < … < a$.

Prouvons par l’absurde que le plus petit diviseur strict de $a$, soit $d_1$, est un nombre premier.

Supposons donc que $d_1$ est non premier. Alors $d_1$ admet au moins un diviseur strict $d$ : $1 < d < d_1$.

Il en résulterait que $d$ divise $d_1$, et $d_1$ divise a donc $d$ est un diviseur strict de $a$ strictement inférieur à $d_1$ ce qui est impossible.

  • Donc $d_1$ est premier.
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Propriété

Tout nombre entier $a$ non premier et strictement supérieur à $1$ admet un diviseur strict inférieur ou égal à $\sqrt a$.

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Démonstration

Soit $a$ un entier non premier strictement supérieur à $1$ ; on appelle $d$ le plus petit diviseur de $a$ tel que $1 < d < a$.

D’après la propriété précédente, $d$ est un nombre premier. De plus, il existe un entier $k$ tel que $n=d\times k$.

Ainsi, $k$ est un diviseur de $a$ supérieur ou égal à $d$ d’où $n=d\times k ≥d\times d$.

$n≥d^2$ donc $\sqrt n≥d$.

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À retenir

Ce résultat est utile lorsqu’on veut prouver qu’un nombre $a$ est premier : il suffit de vérifier qu’il n’a pas de diviseur strict inférieur ou égal à $\sqrt a$.

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Propriété

Il existe une infinité de nombres premiers.

On pourra remarquer qu’ainsi, il n’existe pas de « plus grand nombre premier » : pour tout nombre premier $p$, il existe un nombre premier $q$ strictement supérieur à $p$.

Ce théorème se démontre par l’absurde. Supposons donc qu’il n’existe qu’un nombre fini de nombres premiers : $2 < 3 < 5 < … < p$.

Posons $\text N=(2\times3\times…\times p)+1$. Le nombre $\text N$ est strictement supérieur à $1$. Il admet donc un diviseur premier $d$.

Comme les nombres $2$, $3$, $5$ jusqu’à $p$ sont les seuls nombres premiers, $d$ est nécessairement l’un de ces nombres. Le nombre $d$ divise donc le produit $2\times3\times4\times5$ et ainsi de suite jusqu’à $p$.

Mais $d$ divise également le nombre $\text N$ : il divise donc leur différence $1$, ce qui est impossible. Il existe donc une infinité de nombres premiers.

Critères de divisibilité en base 10

Soit le nombre $n=\overline{x_px_{p-1}…x_1x_0}^{10}$ dans $n$, $ x_0$ est le chiffre des unités, $x_1$ le chiffre des dizaines, etc.

Critère de divisibilité par 2

On a $n=\overline{x_px_{p-1}…x_1}\times10+x_0$ or $10≡0\ [2]$ donc $n≡x_0\ [2]$.

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Propriété

Il en résulte que $n$ est divisible par $2$ si, et seulement si, son chiffre des unités est divisible par $2$, c’est-à-dire s’il se termine par $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$.

Critère de divisibilité par 3

On a $n=x_p10^p+x_{p-1}10^{p-1}+…+x_110^1+x_0$ or $10≡1\ [3] $ donc, pour tout entier naturel $k$, $10k≡1\ [3]$.

Ainsi, $n≡x_p+x_{p-1}+…+x_1+x_0\ [3]$.

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Propriété

Il en résulte que $n$ est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.

Critère de divisibilité par 4

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Propriété

Un entier naturel est divisible par $4$ si et seulement si le nombre formé avec ses deux derniers chiffres est divisible par $4$.

Critère de divisibilité par 5

On a $n=\overline{x_px_{p-1}…x_1}\times10+x_0$ or $10≡0\ [5]$ donc $n≡x_0\ [5]$.

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Propriété

Il en résulte que $n$ est divisible par $5$ si, et seulement si, son chiffre des unités est divisible par $5$, c’est-à-dire s’il se termine par $0$ ou $5$.

Critère de divisibilité par 9

On a $n=x_p10^p+x_{p-1}10^{p-1}+…+x_110^1+x_0$ or $10≡1\ [9]$ donc, pour tout entier $k$, $10^k≡1^k\ [9]$ soit $10^k≡1\ [9]$. Ainsi, $n≡x_p+x_{p-1}+…+x_1+x_0\ [9]$.

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Propriété

Il en résulte que $n$ est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.

Critère de divisibilité par 10

On a $n=\overline{x_px_{p-1}…x_1}\times10+x_0$ donc $n-x_0$ est divisible par $10$ donc $n≡x_0\ [10]$.

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Propriété

Il en résulte que $n$ est divisible par $10$ si, et seulement si, son chiffre des unités est divisible par $10$, c’est-à-dire s’il se termine par $0$.

Déterminer si un nombre donné est premier

Pour savoir si un nombre est premier, nous pouvons utiliser la contraposée de la proposition « Tout nombre entier $a$ non premier et strictement supérieur à $1$ admet un diviseur strict inférieur ou égal à $\sqrt a$ ».

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Propriété

Si $a$ n’admet pas de diviseur premier strict inférieur ou égal à $\sqrt a$, alors $a$ est premier.

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Exemple

$\sqrt{367}≈19,2$

Les nombres premiers inférieurs à $\sqrt{367}$ sont $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17\text{ et }19$.

  • Le nombre $2$ ne divise pas $367$ qui est un nombre impair.
  • $3$ ne divise pas $367$ car $3$ ne divise pas la somme de ses chiffres : $3+6+7=16$ et $1+6=7$ non divisible par $3$
  • $5$ ne divise pas $367$
  • $367=7\times52+3$ donc $7$ ne divise pas $367$
  • $367=11\times33+4$ donc $11$ ne divise pas $367$
  • $367=13\times28+3$ donc $13$ ne divise pas $367$
  • $367=17\times21+10$ donc $17$ ne divise pas $367$
  • $367=19\times19+6$ donc $19$ ne divise pas $367$

Il n’existe aucun nombre premier inférieur à $\sqrt{367}$ qui soit un diviseur de $367$ donc $367$ est un nombre premier.

Décomposition en produit de facteurs

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Propriété

Un nombre entier naturel strictement supérieur à $1$ est premier ou se décompose de manière unique, à l’ordre près, en produit de nombres premiers.

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Démonstration

$n$ est un entier naturel non premier. Il admet alors un diviseur strict premier $p_1$. Donc $n=p_1\times q_1$ où $q_1$ est aussi un diviseur strict de $n$ (sinon $p_1=1$ ou $p_1=n$, ce qui est impossible). Ainsi $q_1$ est strictement inférieur à l’entier $n$.

  • Si $q_1$ est premier, alors $n$ est le produit de deux nombres premiers : $n=p_1\times q_1$
  • Si $q_1$ n’est pas premier, alors il admet un diviseur strict premier $p_2$. Donc $q_1=p_2\times q_2$ où $p_2$ est un diviseur strict de $q_1$. Ainsi $q_2 < q_1 < n$.
  • Si $p_2$ est premier, $n$ est le produit de trois nombres premiers $n=p_1\times p_2\times q_2$

Tant que $q_i$ n’est pas premier, on réitère ce processus. On construit ainsi une suite d’entiers naturels $1 ≤ q_i < q_{i-1} < … < q_3 < q_2 < q_1$.

Comme cette suite est finie, ce processus doit s’arrêter : il existe donc un diviseur $q_k$ premier.

Ainsi, $n$ est le produit de facteurs premiers $n=p_1\times p_2\times …\times p_k\times q_k$.

L’unicité de la décomposition est admise.

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Propriété

$n$ est un entier naturel non premier dont la décomposition en produit de facteurs premiers est : $p_1^{α_1}p_2^{α_2}…p_k^{α_k}$

Alors les diviseurs de $n$ sont tous les nombres qui s’écrivent $p_1^{β_1}p_2^{β_2}…p_k^{β_k}$avec $0≤β_1≤α_1$, $0≤β_2≤α_2$, …, $0≤β_k≤α_k$.

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Exemple

$n=2\times35\times52$. Ses diviseurs sont tous les nombres $2^∝\times3^β\times5^\gamma$ obtenus en prenant $\alpha$ dans l’ensemble $\lbrace 0\ ;1\rbrace$ , $β$ dans $\lbrace0\ ;1\ ;2\ ;3\rbrace$ et $γ$ dans $\lbrace0\ ;1\ ;2\rbrace$.

Le nombre de diviseurs est le nombre de choix possibles de la liste $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Il y a donc $24$ diviseurs dans l’exemple précédent car $2\times4\times3=24$ (deux choix pour $\alpha$, quatre choix pour $\beta$ et trois choix pour $\gamma$).

D’une manière générale, si la décomposition en produit de facteurs premiers d’un entier naturel $n$ est $n=p_1^{α1}p_2^{α_2}…p_k^{α_k}$, alors le nombre $n$ admet $(α_1+1)(α_2+1)…(α_k+1)$ diviseurs.