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Repère et coordonnées de vecteurs

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Introduction :

Dans le cours précédent, nous avons découvert les vecteurs. Nous allons ici les manipuler dans un repère. Cela nous permettra de définir les coordonnées d’un vecteur et de nous en servir avec les définitions et propriétés que nous avons apprises : vecteurs égaux, vecteurs opposés, somme, colinéarité… afin de démontrer certaines propriétés géométriques.

Coordonnées d’un vecteur dans un repère du plan

Base et repère du plan

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Définition

Base et repère du plan :

Soit OO, II et JJ trois points non alignés du plan.
Posons ı=OI \vec \imath=\overrightarrow{OI\ } et ȷ=OJ \vec \jmath=\overrightarrow{OJ\ }.

  • Les vecteurs ı\vec \imath et ȷ\vec \jmath, non colinéaires (puisque OO, II et JJ ne sont pas alignés), forment une base du plan, notée (ı,ȷ)(\vec \imath,\,\vec \jmath\,).
  • Le triplet (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,) est appelé repère du plan.

Seconde mathématiques géométrie vecteurs repère Un repère du plan

bannière à retenir

À retenir

Si les directions de ı\vec \imath et ȷ\vec \jmath sont perpendiculaires, alors :

  • la base (ı,ȷ)(\vec \imath,\,\vec \jmath) est dite orthogonale ;
  • le repère (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,) est dit orthogonal.

Seconde mathématiques géométrie vecteurs repère Repère orthogonal

Si, en outre, les vecteurs ı\vec \imath et ȷ\vec \jmath sont de norme 11, alors :

  • la base (ı,ȷ)(\vec \imath,\,\vec \jmath) est dite orthonormée ;
  • le repère (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,) est dit orthonormé.

Seconde mathématiques géométrie vecteurs repère Repère orthonormé

Coordonnées d’un vecteur dans un repère

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Définition

Coordonnées d’un vecteur :

On considère un vecteur quelconque u\vec u dans un repère du plan (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,).
Les coordonnées du vecteur u\vec u dans ce repère sont les coordonnées du point MM tel que OM =u\overrightarrow{OM\ }=\vec u. Si les coordonnées de MM sont (x ;y)(x\ ;\, y), on note :

u(xy)\vec u \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}

On note aussi : u=xı+yȷ\vec u=x\vec \imath + y\vec \jmath.

  • Ce couple de réels (x ;y)(x\ ;\, y) est unique.

Le vecteur nul a pour coordonnées (00)\binom 00.

Seconde mathématiques géométrie vecteurs coordonnées repère

Nous pouvons ainsi lire graphiquement les coordonnées d’un vecteur, comme le montre l’exemple suivant.

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Exemple

Dans le repère du plan (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,), on considère le vecteur u\vec u suivant :

Seconde mathématiques géométrie vecteurs coordonnées repère

Effectuer une translation de vecteur u\vec u revient à faire :

  • une translation de 22 unités vers la gauche, soit dans le sens contraire à ı\vec \imath ;
  • une translation de 33 unités vers le bas, soit dans le sens contraire à ȷ\vec \jmath.
  • Nous avons donc :

u(23)u=2ı3ȷ\begin{aligned} &\vec u\begin{pmatrix} -2 \ -3 \end{pmatrix} \ &\vec u=-2\vec \imath-3\vec \jmath \end{aligned}

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Propriété

Dans un repère du plan (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,), soit deux points AA et BB, respectivement de coordonnées (xA ;yA)(xA\ ;\, yA) et (xB ;yB)(xB\ ;\, yB).
Les coordonnées du vecteur AB \overrightarrow{AB\ } sont alors :

AB (xBxAyByA)\overrightarrow{AB\ }\begin{pmatrix} xB-xA \ yB-yA \end{pmatrix}

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Exemple

Dans le repère du plan (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,), soit le point AA, de coordonnées (4 ;2)(4\ ;\, 2), et le point BB de coordonnées (2 ;1)(2\ ;\, -1).

Seconde mathématiques géométrie vecteurs coordonnées repère

Les coordonnées du vecteur AB \overrightarrow{AB\ } sont ainsi :

(xBxAyByA)=(2412)=(23)\begin{aligned} \begin{pmatrix} xB-xA \ yB - yA \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2-4 \ -1-2 \end{pmatrix} \ &=\begin{pmatrix} -2 \ -3 \end{pmatrix} \end{aligned}

Propriétés

Maintenant que nous avons défini les coordonnées d’un vecteur dans un repère du plan, nous pouvons revoir les notions vues dans le cours précédent, en donnant quelques propriétés, très utiles.

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Propriété

Dans un repère du plan (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,), soit deux vecteurs u(xy)\vec u\,\binom xy et v(xy)\vec v\, \binom {x^{\prime}}{y^{\prime}}, et kk un réel.

  • Égalité de vecteurs :

u=v\vec u=\vec v si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées, autrement dit, si et seulement si x=xx=x^{\prime} et y=yy=y^{\prime}.

  • Somme de deux vecteurs :

u+v(x+xy+y)\vec u+\vec v\begin{pmatrix} x+x^{\prime} \ y+y^{\prime} \end{pmatrix}

  • Produit d’un vecteur par un réel :

ku(kxky)k\vec u \begin{pmatrix} kx \ ky \end{pmatrix}

  • Vecteur opposé :

u(xy)-\vec u\begin{pmatrix} -x \ -y \end{pmatrix}

  • Milieu d’un segment :

Soit les points A(xA ;yA)A\,(xA\ ;\, yA) et B(xB ;yB)B\,(xB\ ;\, yB).
Les coordonnées du point II, milieu du segment [AB][AB], sont alors :

(xA+xB2 ;yA+yB2)\left( \dfrac {xA+xB}2\ ;\, \dfrac {yA+yB}2\right)

Ces propriétés sont valables dans tout repère du plan.
Nous en donnons une autre sur la norme d’un vecteur, qui, elle, n’est valable que dans un repère orthonormé.

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Propriété

Dans un repère orthonormé du plan (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,), nous considérons un vecteur u\vec u de coordonnées (xy)\binom xy.
Nous avons alors :

u=x2+y2\Vert \vec u \Vert =\sqrt{x^2+y^2}

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Démonstration

Cette propriété se démontre assez simplement grâce au théorème de Pythagore.

Dans un repère orthonormé (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,), soit un vecteur u\vec u de coordonnées (xy)\binom xy, les points AA et BB tels que AB =u\overrightarrow{AB\ }=\vec u, et le point CC tel que AC =xı\overrightarrow{AC\ }=x\vec \imath et CB =yȷ\overrightarrow{CB\ }=y\vec \jmath.

Seconde mathématiques géométrie vecteurs coordonnées repère

Le repère étant orthonormé, et donc orthogonal, le triangle ABCABC est rectangle en CC.

  • Nous avons donc, d’après le théorème de Pythagore :

AB2=AC2+CB2 AB^2=AC^2+CB^2

Or, nous avons :

  • AB=AB =uAB=\Vert \overrightarrow{AB\ }\Vert =\Vert \vec u\Vert,
  • AC=AC =xıAC=\Vert \overrightarrow{AC\ }\Vert =\Vert x\vec \imath\Vert,
  • CB=CB =yȷCB=\Vert \overrightarrow{CB\ }\Vert =\Vert y\vec \jmath\Vert.
  • Nous pouvons donc écrire :

u2=xı2+yȷ2=(x×ı)2+(y×ȷ)2=x2×ı2+y2×ȷ2=x2×ı2+y2×ȷ2\begin{aligned} \Vert \vec u\Vert ^2&=\Vert x\vec \imath\,\Vert ^2+\Vert y\vec \jmath\,\Vert ^2 \ &=(\vert x \vert \times \Vert \vec \imath\,\Vert )^2+(\vert y \vert \times \Vert \vec \jmath\,\Vert )^2 \ &=\vert x \vert^2 \times \Vert \vec \imath\,\Vert^2+\vert y \vert^2 \times \Vert \vec \jmath\,\Vert^2 \ &=x^2 \times \Vert \vec \imath\,\Vert^2+y^2 \times \Vert \vec \jmath\,\Vert^2 \end{aligned}

Le repère étant orthonormé, nous avons ı=ȷ=1\Vert \vec \imath\,\Vert =\Vert \vec \jmath\,\Vert =1 et donc :

u2=x2×12+y2×12=x2+y2\begin{aligned} \Vert \vec u\Vert ^2&=x^2\times 1^2+y^2\times 1^2 \ &=x^2+y^2 \end{aligned}

Une norme étant une longueur, elle est positive, donc :

u=x2+y2\Vert \vec u\Vert =\sqrt{x^2+y^2}

Avec cette formule, nous pouvons calculer la distance entre deux points, si nous connaissons leurs coordonnées dans un repère orthonormé.

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À retenir

Dans un repère orthonormé (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,), soit deux points AA, de coordonnées (xA ;yA)(xA\ ;\, yA), et BB, de coordonnées (xB ;yB)(xB\ ;\, yB).
Le vecteur AB \overrightarrow{AB\ } a pour coordonnées :

(xBxAyByA)\begin{pmatrix} xB-xA \ yB-yA \end{pmatrix}

Nous avons alors, avec la propriété précédente :

AB=AB =(xBxA)2+(yByA)2AB=\Vert \overrightarrow{AB\ }\Vert =\sqrt{(xB-xA)^2+(yB-yA)^2}

Illustrons ces propriétés par un exemple.

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Exemple

Dans un repère orthonormé du plan (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,), nous considérons quatre points :

  • AA, de coordonnées (2 ;3)(2\ ;\, 3) ;
  • BB, de coordonnées (6 ;2)(6\ ;\, 2) ;
  • CC, de coordonnées (7 ;2)(7\ ;\, -2) ;
  • DD, de coordonnées (3 ;1)(3\ ;\, -1).
  • Calculons les coordonnées des vecteurs AB \overrightarrow{AB\ } et CD \overrightarrow{CD\ }, ainsi que du vecteur opposé à ce dernier.

Les coordonnées de AB \overrightarrow{AB\ } sont :

(6223)=(41)\begin{pmatrix} 6-2 \ 2-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \ -1 \end{pmatrix}

Celles de CD \overrightarrow{CD\ } sont :

(371(2))=(41)\begin{pmatrix} 3-7 \ -1-(-2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 \ 1 \end{pmatrix}

Celles de CD -\overrightarrow{CD\ } sont :

((4)1)=(41)\begin{pmatrix} -(-4) \ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \ -1 \end{pmatrix}

Comme CD =DC -\overrightarrow{CD\ }=\overrightarrow{DC\ }, DC \overrightarrow{DC\ } a pour coordonnées :

(41)\begin{pmatrix} 4 \ -1 \end{pmatrix}

Nous remarquons que les coordonnées de AB \overrightarrow{AB\ } et celles de DC \overrightarrow{DC\ } sont égales ; nous avons donc :

AB =DC \overrightarrow{\red A\green B\ }=\overrightarrow{\purple D\blue C\ }

  • Comme nous l’avons vu dans le cours précédent, nous pouvons donc dire que le quadrilatère ABCD\red A\green B\blue C\purple D est un parallélogramme.
  • Montrons d’une autre façon que ABCDABCD est un parallélogramme.

Calculons, d’une part, les coordonnées de la somme des vecteurs AB +AD \overrightarrow{AB\ }+\overrightarrow{AD\ }.

Pour cela, nous avons déjà les coordonnées de AB \overrightarrow{AB\ }, calculons donc celles de AD \overrightarrow{AD\ } :

(3213)=(14)\begin{pmatrix} 3-2 \ -1-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \ -4 \end{pmatrix}

Les coordonnées du vecteur somme AB +AD \overrightarrow{AB\ }+\overrightarrow{AD\ } sont ainsi :

(4+11+(4))=(55)\begin{pmatrix} 4+1 \ -1+(-4) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \ -5 \end{pmatrix}

Calculons, d’autre part, les coordonnées de AC \overrightarrow{AC\ } :

(7223)=(55)\begin{pmatrix} 7-2 \ -2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ -5 \end{pmatrix}

Leurs coordonnées étant égales, les vecteurs AC \overrightarrow{AC\ } et AB +AD \overrightarrow{AB\ }+\overrightarrow{AD\ } sont donc égaux :

AC =AB +AD \overrightarrow{\red A\blue C\ }=\overrightarrow{\red A\green B\ }+\overrightarrow{\red A\purple D\ }

  • Par la règle du parallélogramme, aussi vue dans le cours précédent, nous pouvons conclure que le quadrilatère ABCD\red A\green B\blue C\purple D est un parallélogramme.
  • Déterminons les coordonnées du point d’intersection II des diagonales de ABCDABCD.

Nous venons de montrer (de deux façons, qui sont équivalentes) que ABCDABCD est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent donc en leur milieu, d’après la propriété vue au collège, et le point II est le milieu du segment [AC][AC] (et du segment [BD][BD]).
Nous utilisons la propriété sur le milieu d’un segment, ici [AC][AC], pour déterminer les coordonnées de II :

(2+72 ;322)=(92 ;12)\left( \dfrac {2+7}2\ ;\, \dfrac {3-2}2\right)=\left( \dfrac 92\ ;\, \dfrac 12\right)

  • Les diagonales [AC][AC] et [BD][BD] du parallélogramme ABCDABCD se coupent donc au point II, de coordonnées (4,5 ;0,5)(4,5\ ;\, 0,5).
  • Calculons maintenant la norme des vecteurs AB \overrightarrow{AB\ } et AD \overrightarrow{AD\ }.

Nous travaillons dans un repère orthonormé, nous pouvons donc utiliser la propriété vue plus haut pour calculer ces normes, en utilisant les coordonnées de AB \overrightarrow{AB\ } et AD \overrightarrow{AD\ } que nous avons déjà déterminées :

AB =42+(1)2=17AD =12+(4)2=17\begin{aligned} \Vert \overrightarrow{AB\ }\Vert &=\sqrt{4^2+(-1)^2} \ &=\sqrt{17} \ \ \Vert \overrightarrow{AD\ }\Vert &=\sqrt{1^2+(-4)^2} \ &=\sqrt{17} \ \end{aligned}

Nous avons donc AB=ADAB=AD. Ainsi, le quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont de même longueur.

  • ABCDABCD est donc un losange.
    Nous pouvons aussi remarquer que, donc, ses diagonales, en plus de se couper en leur milieu, sont perpendiculaires.
  • Nous cherchons enfin les coordonnées du point E(xE ;yE)E\,(xE\ ;\, yE) tel que :

AE =1,5BC \overrightarrow{AE\ }=1,5 \overrightarrow{BC\ }

Nous déterminons pour commencer les coordonnées du vecteur 1,5BC 1,5\overrightarrow{BC\ }, en remarquant que, comme ABCDABCD est un parallélogramme, BC =AD \overrightarrow{BC\ }=\overrightarrow{AD\ }.
Les coordonnées de 1,5BC 1,5\overrightarrow{BC\ } sont donc égales aux coordonnées de 1,5\overrightarrow{AD\ } :

(1,5×11,5×(4))=(1,56)\begin{pmatrix} 1,5 \times 1 \ 1,5\times (-4) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1,5 \ -6 \end{pmatrix}

Celles de AE \overrightarrow{AE\ } sont :

(xE2yE3)\begin{pmatrix} xE-2 \ yE-3 \end{pmatrix}

Comme deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales, nous obtenons :

{xE2=1,5yE3=6{xE=3,5yE=3\begin{cases} xE-2=1,5 \ yE-3=-6 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} xE=3,5 \ yE=-3 \end{cases}

  • Les coordonnées du point EE sont donc (3,5 ;3)(3,5\ ;\, -3).

Le schéma suivant représente tous les éléments que nous avons travaillés dans cet exemple. Il permet aussi de vérifier que nos calculs correspondent :

Seconde mathématiques géométrie vecteurs coordonnées repère

Colinéarité et déterminant de deux vecteurs

  • Dans cette deuxième partie, nous nous plaçons dans un repère orthonormé du plan (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,).

Critère de colinéarité

De la définition de deux vecteurs colinéaires u\vec u et v\vec v, que nous avons vue dans le cours précédent, et des coordonnées de kvk\vec v que nous venons d’apprendre à déterminer, nous pouvons tirer la propriété suivante.

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Propriété

Soit deux vecteurs u(xy)\vec u\,\binom xy et v(xy)\vec v\,\binom {x^{\prime}}{y^{\prime}}.
Les vecteurs u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel kk tel que :

(xy)=(kxky)\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} kx^{\prime} \ ky^{\prime} \end{pmatrix}

  • Autrement dit, u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
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Exemple

Soit deux vecteurs :

u(96)etv(32)\vec u\begin{pmatrix} \red 9 \ \textcolor{#FFA500}{-6} \end{pmatrix} \quad \text{et}\quad \vec v\begin{pmatrix} \blue{-3} \ \purple 2 \end{pmatrix}

Nous remarquons que :

(96)=(3×(3)3×2)\begin{pmatrix} \red 9 \ \textcolor{#FFA500}{-6} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \green{-3} \times (\blue{-3}) \ \green{-3}\times \purple 2 \end{pmatrix}

Nous en déduisons que :

u=3v\vec u=\green{-3}\vec v

  • Les vecteurs u\vec u et v\vec v sont colinéaires.

Déterminant de deux vecteurs et colinéarité

Parfois, il n’est pas évident de trouver le coefficient de proportionnalité entre les coordonnées de deux vecteurs. Nous allons donc voir une autre façon de caractériser la colinéarité de deux vecteurs, par leur déterminant.

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Définition

Déterminant de deux vecteurs :

Soit deux vecteurs u(xy)\vec u\,\binom xy et v(xy)\vec v\,\binom {x^{\prime}}{y^{\prime}} dans un repère orthonormé.
Le déterminant des vecteurs u\vec u et v\vec v est le nombre réel : x×yy×xx\times y^{\prime}- y\times x^{\prime}.

  • On note :

det(u,v)=xxyy=xyyx\text{det}(\vec u,\,\vec v)=\begin{vmatrix} \green x & \purple{x^{\prime}} \ \purple y & \green{y^{\prime}} \end{vmatrix}=\green{xy^{\prime}}-\purple{yx^{\prime}}

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Propriété

Soit deux vecteurs du plan u(xy)\vec u\,\binom xy et v(xy)\vec v\,\binom {x^{\prime}}{y^{\prime}} dans un repère orthonormé.
Les vecteurs u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :

det(u,v)=xyyx=0\text{det}(\vec u,\,\vec v)=xy^{\prime}-yx^{\prime}=0

Démontrons cette propriété.

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Démonstration

  • Traitons d’abord le cas où u\vec u ou v\vec v est nul.

Dans ce cas-là, l’équivalence est assez immédiate.
En effet :

  • le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur ;
  • si u\vec u est nul, alors nous avons :

det(0,v)=0x0y=0×y0×x=0\begin{aligned} \text{det}(\vec 0,\,\vec v)&=\begin{vmatrix} 0 & x^{\prime} \ 0 & y^{\prime} \end{vmatrix} \ &=0\times y^{\prime}-0\times x^{\prime} \ &=0 \end{aligned}

  • idem si v\vec v est nul : det(u,0)=0\text{det}(\vec u,\,\vec 0)=0.
  • Traitons maintenant le cas où u\vec u et v\vec v sont non nuls.
  • Montrons d’abord que, si u\vec u et v\vec v sont colinéaires, alors leur déterminant est nul.

Par hypothèse, u\vec u et v\vec v sont colinéaires. Donc, comme nous l’avons dit plus haut, leurs coordonnées sont proportionnelles et le tableau de leurs coordonnées est un tableau de proportionnalité :

xx yy
xx^\prime yy^\prime

Puisque c’est un tableau de proportionnalité, les produits en croix x×yx\times y^{\prime} et y×xy\times x^{\prime} sont égaux :

x×y=y×xx×yy×x=0x\times y^{\prime}=y\times x^{\prime}\Leftrightarrow x\times y^{\prime}-y\times x^{\prime}=0

Finalement, comme par définition det(u,v)=x×yy×x\text{det}(\vec u,\,\vec v)=x\times y^{\prime}-y\times x^{\prime}, nous trouvons bien que le déterminant des vecteurs u\vec u et v\vec v est nul.

  • Nous venons de montrer que, si deux vecteurs sont colinéaires, alors leur déterminant est nul.
  • Il nous reste donc à montrer la réciproque : si le déterminant de u\vec u et v\vec v est nul, alors ils sont colinéaires.

Par hypothèse, le vecteur v\vec v est non nul, donc une de ses coordonnées est non nulle.
Supposons que ce soit xx^{\prime}. Nous pouvons alors écrire :

det(u,v)=0xyyx=0xy=yxy=xxy\begin{aligned} \text{det}(\vec u,\,\vec v)=0 &\Leftrightarrow xy^{\prime}-yx^{\prime}=0 \ &\Leftrightarrow xy^{\prime}=yx^{\prime} \ &\Leftrightarrow y=\green{\dfrac x{x^{\prime}}}y^{\prime} \end{aligned}

Posons k=xxk=\green{\frac x{x^{\prime}}}. Nous avons donc :

{x=kxy=ky\begin{cases} x=kx^{\prime} \ y=ky^{\prime} \end{cases}

Il existe donc un réel kk tel que u=kv\vec u=k\vec v. Les vecteurs u\vec u et v\vec v sont donc colinéaires.

Si nous supposons cette fois que c’est yy^{\prime} qui est non nul, alors, de la même façon :

det(u,v)=0x=yyx\text{det}(\vec u,\,\vec v)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac y{y^{\prime}}x^{\prime}

En posant, k=yyk=\frac y{y^{\prime}}, nous arrivons à la même conclusion.

  • Nous venons de montrer que, si le déterminant de deux vecteurs est nul, alors ils sont colinéaires.

Applications

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Rappel

Dans le cours précédent, nous avons appris les propriétés suivantes :

  • deux droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB \overrightarrow{AB\ } et CD \overrightarrow{CD\ } sont colinéaires ;
  • trois points AA, BB et CC sont alignés si et seulement si AB \overrightarrow{AB\ } et AC \overrightarrow{AC\ } sont colinéaires

Ces propriétés peuvent ainsi s’écrire de la manière suivante.

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Propriété

  • Soit AA, BB, CC et DD quatre points du plan, avec, d’une part, AA et BB distincts et, d’autre part, CC et DD distincts.
  • Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles si et seulement si det(AB ,CD )=0\text{det}(\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{CD\ })=0.
  • Soit AA, BB et CC trois points du plan.
  • Les points AA, BB et CC sont alignés si et seulement si det(AB ,AC )=0\text{det}(\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ })=0.
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Exemple

Dans un repère orthonormé, soit les cinq points suivants :

  • AA, de coordonnées (1 ;3)(-1\ ;\, -3) ;
  • BB, de coordonnées (5 ;7)(5\ ;\, -7) ;
  • CC, de coordonnées (2 ;4)(2\ ;\, 4) ;
  • DD, de coordonnées (19 ;18)(-19\ ;\, 18) ;
  • EE, de coordonnées (14 ;13)(14\ ;\, -13).
  • Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont-elles parallèles ?

Les coordonnées de AB \overrightarrow{AB\ } sont :

(5(1)7(3))=(64)\begin{pmatrix} 5-(-1) \ -7-(-3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \ -4 \end{pmatrix}

Les coordonnées de CD \overrightarrow{CD\ } sont :

(192184)=(2114)\begin{pmatrix} -19-2 \ 18-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -21 \ 14 \end{pmatrix}

Nous avons donc :

det(AB ,CD )=621414=6×14(21×(4))=8484=0\begin{aligned} \text{det}(\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{CD\ })&=\begin{vmatrix} \green 6 & \purple{-21} \ \purple{-4} & \green{14}\end{vmatrix} \ &=\green{6\times 14}-\big(\purple{-21\times (-4)} \big) \ &=\green{84}-\purple{84} \ &=0 \end{aligned}

  • Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont donc parallèles.
  • Le point EE appartient-il à la droite (AB)(AB) ?

Autrement dit : les points AA, BB et EE sont-ils alignés ?

Les coordonnées de AE \overrightarrow{AE\ } sont :

(14(1)13(3))=(1510)\begin{pmatrix} 14-(-1) \ -13-(-3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 15 \ -10 \end{pmatrix}

Nous avons donc :

det(AB ,AE )=615410=6×(10)(15×(4))=60(60)=60+60=0\begin{aligned} \text{det}(\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AE\ })&=\begin{vmatrix} \green 6 & \purple{15} \ \purple{-4} & \green{-10}\end{vmatrix} \ &=\green{6\times (-10)}-\big(\purple{15\times (-4)} \big) \ &=\green{-60}-(\purple{-60}) \ &= -60 + 60 \ &=0 \end{aligned}

  • Les points AA, BB et EE sont alignés, et EE appartient donc à (AB)(AB).

Conclusion :

Dans les deux derniers cours, nous avons découvert cette notion extrêmement importante que sont les vecteurs. Vous vous en servirez à l’avenir très souvent, tant pour modéliser des problèmes en physique que pour démontrer des propriétés géométriques, comme nous l’avons un peu déjà fait dans les exemples de cette fiche.
Il est donc important de manipuler souvent ces vecteurs, afin d’acquérir certains automatismes, qui vous permettront de résoudre nombre d’exercices.