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Repère et coordonnées de vecteurs
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Introduction :
Dans le cours précédent, nous avons découvert les vecteurs. Nous allons ici les manipuler dans un repère. Cela nous permettra de définir les coordonnées d’un vecteur et de nous en servir avec les définitions et propriétés que nous avons apprises : vecteurs égaux, vecteurs opposés, somme, colinéarité… afin de démontrer certaines propriétés géométriques.
Coordonnées d’un vecteur dans un repère du plan
Base et repère du plan
Base et repère du plan :
Soit , et trois points non alignés du plan.
Posons et .
Un repère du plan
Si les directions de et sont perpendiculaires, alors :
Repère orthogonal
Si, en outre, les vecteurs et sont de norme , alors :
Repère orthonormé
Coordonnées d’un vecteur dans un repère
Coordonnées d’un vecteur :
On considère un vecteur quelconque dans un repère du plan .
Les coordonnées du vecteur dans ce repère sont les coordonnées du point tel que . Si les coordonnées de sont , on note :
On note aussi : .
Le vecteur nul a pour coordonnées .
Nous pouvons ainsi lire graphiquement les coordonnées d’un vecteur, comme le montre l’exemple suivant.
Dans le repère du plan , on considère le vecteur suivant :
Effectuer une translation de vecteur revient à faire :
Dans un repère du plan , soit deux points et , respectivement de coordonnées et .
Les coordonnées du vecteur sont alors :
Dans le repère du plan , soit le point , de coordonnées , et le point de coordonnées .
Les coordonnées du vecteur sont ainsi :
Propriétés
Maintenant que nous avons défini les coordonnées d’un vecteur dans un repère du plan, nous pouvons revoir les notions vues dans le cours précédent, en donnant quelques propriétés, très utiles.
Dans un repère du plan , soit deux vecteurs et , et un réel.
si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées, autrement dit, si et seulement si et .
Soit les points et .
Les coordonnées du point , milieu du segment , sont alors :
Ces propriétés sont valables dans tout repère du plan.
Nous en donnons une autre sur la norme d’un vecteur, qui, elle, n’est valable que dans un repère orthonormé.
Dans un repère orthonormé du plan , nous considérons un vecteur de coordonnées .
Nous avons alors :
Cette propriété se démontre assez simplement grâce au théorème de Pythagore.
Dans un repère orthonormé , soit un vecteur de coordonnées , les points et tels que , et le point tel que et .
Le repère étant orthonormé, et donc orthogonal, le triangle est rectangle en .
Or, nous avons :
Le repère étant orthonormé, nous avons et donc :
Une norme étant une longueur, elle est positive, donc :
Avec cette formule, nous pouvons calculer la distance entre deux points, si nous connaissons leurs coordonnées dans un repère orthonormé.
Dans un repère orthonormé , soit deux points , de coordonnées , et , de coordonnées .
Le vecteur a pour coordonnées :
Nous avons alors, avec la propriété précédente :
Illustrons ces propriétés par un exemple.
Dans un repère orthonormé du plan , nous considérons quatre points :
Les coordonnées de sont :
Celles de sont :
Celles de sont :
Comme , a pour coordonnées :
Nous remarquons que les coordonnées de et celles de sont égales ; nous avons donc :
Calculons, d’une part, les coordonnées de la somme des vecteurs .
Pour cela, nous avons déjà les coordonnées de , calculons donc celles de :
Les coordonnées du vecteur somme sont ainsi :
Calculons, d’autre part, les coordonnées de :
Leurs coordonnées étant égales, les vecteurs et sont donc égaux :
Nous venons de montrer (de deux façons, qui sont équivalentes) que est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent donc en leur milieu, d’après la propriété vue au collège, et le point est le milieu du segment (et du segment ).
Nous utilisons la propriété sur le milieu d’un segment, ici , pour déterminer les coordonnées de :
Nous travaillons dans un repère orthonormé, nous pouvons donc utiliser la propriété vue plus haut pour calculer ces normes, en utilisant les coordonnées de et que nous avons déjà déterminées :
Nous avons donc . Ainsi, le quadrilatère est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont de même longueur.
Nous déterminons pour commencer les coordonnées du vecteur , en remarquant que, comme est un parallélogramme, .
Les coordonnées de sont donc égales aux coordonnées de 1,5\overrightarrow{AD\ } :
Celles de sont :
Comme deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales, nous obtenons :
Le schéma suivant représente tous les éléments que nous avons travaillés dans cet exemple. Il permet aussi de vérifier que nos calculs correspondent :
Colinéarité et déterminant de deux vecteurs
Critère de colinéarité
De la définition de deux vecteurs colinéaires et , que nous avons vue dans le cours précédent, et des coordonnées de que nous venons d’apprendre à déterminer, nous pouvons tirer la propriété suivante.
Soit deux vecteurs et .
Les vecteurs et sont colinéaires si et seulement si il existe un réel tel que :
Soit deux vecteurs :
Nous remarquons que :
Nous en déduisons que :
Déterminant de deux vecteurs et colinéarité
Parfois, il n’est pas évident de trouver le coefficient de proportionnalité entre les coordonnées de deux vecteurs. Nous allons donc voir une autre façon de caractériser la colinéarité de deux vecteurs, par leur déterminant.
Déterminant de deux vecteurs :
Soit deux vecteurs et dans un repère orthonormé.
Le déterminant des vecteurs et est le nombre réel : .
Soit deux vecteurs du plan et dans un repère orthonormé.
Les vecteurs et sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :
Démontrons cette propriété.
Dans ce cas-là, l’équivalence est assez immédiate.
En effet :
Par hypothèse, et sont colinéaires. Donc, comme nous l’avons dit plus haut, leurs coordonnées sont proportionnelles et le tableau de leurs coordonnées est un tableau de proportionnalité :
Puisque c’est un tableau de proportionnalité, les produits en croix et sont égaux :
Finalement, comme par définition , nous trouvons bien que le déterminant des vecteurs et est nul.
Par hypothèse, le vecteur est non nul, donc une de ses coordonnées est non nulle.
Supposons que ce soit . Nous pouvons alors écrire :
Posons . Nous avons donc :
Il existe donc un réel tel que . Les vecteurs et sont donc colinéaires.
Si nous supposons cette fois que c’est qui est non nul, alors, de la même façon :
En posant, , nous arrivons à la même conclusion.
Applications
Dans le cours précédent, nous avons appris les propriétés suivantes :
Ces propriétés peuvent ainsi s’écrire de la manière suivante.
Dans un repère orthonormé, soit les cinq points suivants :
Les coordonnées de sont :
Les coordonnées de sont :
Nous avons donc :
Autrement dit : les points , et sont-ils alignés ?
Les coordonnées de sont :
Nous avons donc :
Conclusion :
Dans les deux derniers cours, nous avons découvert cette notion extrêmement importante que sont les vecteurs. Vous vous en servirez à l’avenir très souvent, tant pour modéliser des problèmes en physique que pour démontrer des propriétés géométriques, comme nous l’avons un peu déjà fait dans les exemples de cette fiche.
Il est donc important de manipuler souvent ces vecteurs, afin d’acquérir certains automatismes, qui vous permettront de résoudre nombre d’exercices.