Opérations sur les vecteurs et colinéarité : Fiche de cours - Mathématiques

Introduction :

Dans ce chapitre, nous allons manipuler les vecteurs en les additionnant, en les multipliant par un nombre et déterminer si deux vecteurs ont la même direction. On étudiera ces manipulations d’un point de vue algébrique mais aussi d’un point de vue géométrique.

Dans un premier temps, nous étudierons comment la somme de deux vecteurs prend en compte leur nature de translation ; puis nous verrons le concept de colinéarité et comment multiplier deux vecteurs ; enfin, nous aborderons le problème de leur représentation dans un repère orthonormé.

Somme de deux vecteurs et relation de Chasles

Somme de deux vecteurs

Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs et $M$ un point du plan. La translation de vecteur $\vec u$ transforme $M$ en $N$ et la translation de vecteur $\vec v$ transforme $N$ en $P$ : le vecteur $\vec u +\vec v$ transforme alors $M$ en $P$ .

$Somme de deux vecteurs$ Somme de deux vecteurs

Définition

Somme de deux vecteurs :

La somme de deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ est le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteur $\vec u$ et de vecteur $\vec v$ .
On note ce vecteur $\vec u +\vec v$ .

À retenir

Pour tous vecteurs $\vec u$ , $\vec v$ et $\vec w$ on a :

$\vec u +\vec v=\vec v +\vec u$
$\vec u +\vec 0=\vec u$
$-\vec u + \vec u =\vec 0$
$(\vec u +\vec v)+\vec w = \vec u +(\vec v +\vec w)$

Coordonnées de la somme de deux vecteurs

Dans un repère orthonormé $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$ , si on a $\vec u\begin{pmatrix} x\ y\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} x^\prime\ y^\prime\end{pmatrix}$ , alors $\vec u +\vec v$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x+x^\prime\ y+y^\prime\end{pmatrix}$ .

De même, si on a $\vec u =x\vec \imath+y\vec \jmath$ et $\vec v =x^\prime \vec \imath+y^\prime \vec \jmath$ , alors $\vec u +\vec v =(x+x^\prime)\vec \imath + (y+y^\prime)\vec \jmath$ .

Exemple

On a $\vec u\begin{pmatrix} 2\ -1\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} 2\ 2\end{pmatrix}$ : alors $\vec u +\vec v$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 4\ 1\end{pmatrix}$ .

De même, $\vec u = 2\vec \imath - 1\vec \jmath$ et $\vec v = 2\vec \imath + 2\vec \jmath$ : alors $\vec u +\vec v=2\vec \imath+2\vec \imath+(-1)\vec \jmath+2\vec \jmath =4\vec \imath+\vec \jmath$ .

$Alt texte$

La règle du parallélogramme

Soit deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ . On choisit les points $A$ et $B$ comme représentants de $\vec u$ et $A$ et $C$ comme représentants de $\vec v$ : les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ ont la même origine. Le vecteur somme $\vec u +\vec v$ a alors pour représentants $A$ et $D$ , où $D$ est tel que $ABDC$ est un parallélogramme.

$La règle du parallélogramme$ La règle du parallélogramme

Relation de Chasles

Définition

Relation de Chasles :

On considère trois points $A$ , $B$ et $C$ quelconques du plan. La relation de Chasles indique que :

$\overrightarrow{AB\,}+\overrightarrow{BC\,}=\overrightarrow{AC\,}$

$Relation de Chasles$ Relation de Chasles

Astuce

Lorsqu’on additionne deux vecteurs, l’extrémité du premier vecteur est identique à l’origine du second : ce point (ici $B$ ) disparaît dans le résultat $\overrightarrow{AC\,}$ tandis que restent les extrémités (ici $A$ et $C$ ) dans le même ordre :

$\overrightarrow{A\color{red}B\,}+\overrightarrow{\color{red}B\color{black}C\,}=\overrightarrow{AC\,}$

Attention : cette égalité n’est pas valable pour les longueurs $AB$ , $BC$ et $AC$ !

Exemple

$\overrightarrow{AE\,}+\overrightarrow{BA\,}=\overrightarrow{B\color{red}A\,} +\overrightarrow{\color{red}A\color{black}E}=\overrightarrow{BE}$

$\overrightarrow{AB\,}-\overrightarrow{DC\,} +\overrightarrow{BC\,} =\overrightarrow{A\color{red}B\,} +\overrightarrow{\color{red}B\color{green}C\,} +\overrightarrow{\color{green}C\color{black}D\,} =\overrightarrow{AD\,}$

Produit d’un vecteur par un nombre réel et colinéarité de deux vecteurs

Produit d’un vecteur par un nombre réel

Tout vecteur $\vec u$ peut être multiplié par un nombre réel $k$ . Le vecteur $\overrightarrow{ku\,}$ possède les propriétés suivantes :

La même direction que le vecteur $\vec u$
Le même sens que le vecteur $\vec u$ si $k>0$
Le sens opposé à $\vec u$ si $k<0$
Norme : $||k\vec u\,||=|k|\times||\vec u||$

$Produit d’un vecteur par un nombre réel$ Produit d’un vecteur par un nombre réel

Astuce

Si $\vec u \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}$ alors $k\vec u\, \begin{pmatrix} kx \ ky\end{pmatrix}$ : si $\vec u \begin{pmatrix} 3 \ -1 \end{pmatrix}$ alors $\dfrac{2}{3}\vec u$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2 \ -\frac 23 \end{pmatrix}$ , ou encore $-3\vec u$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -9 \ 3 \end{pmatrix}$ .

Colinéarité de deux vecteurs

Définition

Colinéarité :

Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k$ tel que $\vec u=k\vec v$ .
Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ , non nuls, sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.

$Colinéarité de deux vecteurs$ Colinéarité de deux vecteurs

Astuce

Le vecteur nul $\vec 0$ est colinéaire à tous les vecteurs.
Si un vecteur est le multiple d’un autre, alors ils sont forcément colinéaires.

Attention

On peut parler de vecteurs colinéaires mais pas de vecteurs parallèles. En effet deux droites peuvent être parallèles si elles ont tous leurs points ou aucun point en commun. Par contre les vecteurs ne sont pas un ensemble de points, ce sont des déplacements.

Déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormée et critère de colinéarité

Déterminant de deux vecteurs

Définition

Déterminant de deux vecteurs quelconques :

Dans un repère orthonormé $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$ , on a $\vec u\begin{pmatrix} x\ y\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} x^\prime\ y^\prime\end{pmatrix}$ alors le déterminant des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ est défini par $\det(\vec u,\, \vec v)=x\times y^\prime-x^\prime\times y$ .

Exemple

Soit $\vec u\begin{pmatrix} 2\ 1\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} 4\ -1\end{pmatrix}$ alors $\det(\vec u,\, \vec v)=2\times (-1)-1\times 4=-6$ .

Définition

Déterminant de deux vecteurs colinéaires :

Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si $\det(\vec u,\, \vec v)=x\times y^\prime-x^\prime\times y=0$ .

Exemple

Soit $\vec u\begin{pmatrix} 2\ -1\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} -4\ 2\end{pmatrix}$ alors $\det(\vec u,\, \vec v)=2\times 2-(-1)\times (-4)=0$ .
Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.

Démonstration

Propriété :

Montrons que si les vecteurs $\vec u\begin{pmatrix} x\ y\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} x^\prime\ y^\prime\end{pmatrix}$ sont colinéaires, alors $x\times y^\prime-x^\prime\times y=0$ .

Si $\vec u$ et $\vec v$ sont non nuls, comme $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires par hypothèse, alors il existe un réel $k$ non nul tel que $\vec u=k.\vec v$ : cela se traduit sur les coordonnées par $x=kx^\prime$ et $y=ky^\prime$ . Ainsi $x\times y^\prime-x^\prime\times y=kx^\prime y^\prime-x^\prime ky^\prime=0$ .
Si $\vec u$ ou $\vec v$ est un vecteur nul alors la relation est vérifiée.

Réciproque :

Montrons que si $x\times y^\prime-x^\prime\times y=0$ alors les vecteurs $\vec u\begin{pmatrix} x\ y\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} x^\prime\ y^\prime\end{pmatrix}$ sont colinéaires.

Supposons $\vec u$ non nul : l’une de ses coordonnées est donc non nulle.
Si $x≠0$ alors $x\times y^\prime-x^\prime\times y=0$ peut s’écrire $y^\prime=\dfrac{x^\prime y}{x}$ alors $y^\prime=ky$ avec $k=\dfrac{x^\prime}{x}$ .
Comme $\dfrac{x^\prime}{x}\times x=x^\prime$ alors on a aussi $x^\prime=kx$ .
Ainsi $\vec v \begin{pmatrix}x^\prime \ y^\prime\end{pmatrix}=\vec v \begin{pmatrix}kx \ ky\end{pmatrix} =k\vec u$ et donc les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.
Si $y≠0$ alors $x\times y^\prime-x^\prime\times y=0$ peut s’écrire $x^\prime=\dfrac{xy^\prime}{y}$ alors $x^\prime=kx$ avec $k=\dfrac{y^\prime}{y}$ .
Comme $\dfrac{y^\prime}{y}\times y=xy^\prime$ alors on a aussi $y^\prime=ky$ .
Ainsi $\vec v \begin{pmatrix}x^\prime \ y^\prime\end{pmatrix}=\vec v \begin{pmatrix}kx \ ky\end{pmatrix} =k\vec u$ et donc les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.
Supposons $\vec u$ nul alors, $\vec u=\vec 0$ alors $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.

Applications à l’alignement et au parallélisme

Cas de l’alignement :

Trois points $A$ , $B$ et $C$ du plan sont alignés si et seulement si $\det(\overrightarrow{AB\,},\, \overrightarrow{AC\,})=0$ .

Exemple

On considère les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ placés dans le plan ci-dessous.

$Alt texte$

On a d’un côté :

$\overrightarrow{AB\,} \begin{pmatrix}2\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC\,} \begin{pmatrix}4 \ -1 \end{pmatrix}$
$\det(\overrightarrow{AB\,},\, \overrightarrow{AC\,})=2\times (-1)-\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\times 4=0$
Donc :
$A$ , $B$ et $C$ sont alignés ;
$\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AC\,}$ sont colinéaires.

On a également :

$\overrightarrow{AB\,} \begin{pmatrix}2\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AD\,}=\begin{pmatrix}\frac{5}{2} \ -1\end{pmatrix}$
$\det(\overrightarrow{AB\,},\, \overrightarrow{AD\,})=2\times(-1)-\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\times \dfrac{5}{2}=-\dfrac{3}{4}$
Donc :
$A$ , $B$ et $D$ ne sont pas alignés ;
$\overrightarrow{AB\,}$ et $\overrightarrow{AD\,}$ ne sont pas colinéaires.

Cas du parallélisme :

Soit $A$ , $B$ , $C$ et $D$ quatre points distincts du plan. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles ou confondues si et seulement si $\det(\overrightarrow{AB\,},\, \overrightarrow{CD\,})=0$ .

Exemple

On considère les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ placés dans le plan ci-dessous.

$Alt texte$

On a :

$\overrightarrow{AB\,} \begin{pmatrix}2 \ -\frac{1}{2}\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{CD\,}\begin{pmatrix}1 \ -\frac{1}{4}\end{pmatrix}$
$\det(\overrightarrow{AB\,},\, \overrightarrow{AC\,})=2\times\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{4}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\times 1=0$
Donc :
$(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

Conclusion :

Nous avons vu dans ce chapitre comment il était possible d’additionner deux vecteurs, que ce soit de façon géométrique ou algébrique. Nous avons vu deux nouvelles notions : la colinéarité et le calcul de déterminants.
Avec ces nouveaux outils, de nombreux problèmes de géométrie, comme le calcul de l’aire d’un parallélogramme par exemple, pourront être résolus à l’aide du calcul vectoriel.