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Repère et coordonnées de vecteurs

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Coordonnées d’un vecteur dans un repère du plan

  • Soit OO, II et JJ trois points non alignés du plan. On pose : ı=OI \vec \imath=\overrightarrow{OI\ } et ȷ=OJ \vec \jmath=\overrightarrow{OJ\ }.
  • ı\vec \imath et ȷ\vec \jmath, non colinéaires, forment une base du plan, notée (ı,ȷ)(\vec \imath,\,\vec \jmath\,).
  • (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,) est appelé repère du plan.
  • Si les directions de ı\vec \imath et ȷ\vec \jmath sont perpendiculaires, alors la base et le repère sont dits orthogonaux.
  • Si, en outre, les vecteurs ı\vec \imath et ȷ\vec \jmath sont de norme 11, la base et le repère sont dits orthonormés.

Repère quelconque Repère orthogonal Repère orthonormé

Seconde mathématiques géométrie vecteurs repère

Seconde mathématiques géométrie vecteurs repère

Seconde mathématiques géométrie vecteurs repère

  • On considère un vecteur quelconque u\vec u dans un repère du plan (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,).
    Les coordonnées du vecteur u\vec u dans ce repère sont les coordonnées du point MM tel que OM =u\overrightarrow{OM\ }=\vec u.
  • Si les coordonnées de MM sont (x ;y)(x\ ;\, y), on note :

u(xy)\vec u \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}

  • On note aussi : u=xı+yȷ\vec u=x\vec \imath + y\vec \jmath.
  • Ce couple de réels (x ;y)(x\ ;\, y) est unique.
  • Le vecteur nul a pour coordonnées (00)\binom 00.

Seconde mathématiques géométrie vecteurs coordonnées repère

  • Dans un repère du plan (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,), soit deux points AA et BB, respectivement de coordonnées (xA ;yA)(xA\ ;\, yA) et (xB ;yB)(xB\ ;\, yB).
  • Les coordonnées de AB \overrightarrow{AB\ } sont alors :

AB (xBxAyByA)\overrightarrow{AB\ }\begin{pmatrix} xB-xA \ yB-yA \end{pmatrix}

  • Dans un repère du plan (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,), soit deux vecteurs u(xy)\vec u\,\binom xy et v(xy)\vec v\, \binom {x^{\prime}}{y^{\prime}}, et kk un réel.
    Nous avons les propriétés suivantes :

Égalité de vecteurs u=v\vec u=\vec v si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées, autrement dit, si et seulement si x=xx=x^{\prime} et y=yy=y^{\prime}.
Somme de deux vecteurs u+v(x+xy+y)\vec u+\vec v\begin{pmatrix} x+x^{\prime} \ y+y^{\prime} \end{pmatrix}
Produit d’un vecteur par un réel ku(kxky)k\vec u \begin{pmatrix} kx \ ky \end{pmatrix}
Vecteur opposé u(xy)-\vec u\begin{pmatrix} -x \ -y \end{pmatrix}
Milieu d’un segment Soit les points A(xA ;yA)A\,(xA\ ;\, yA) et B(xB ;yB)B\,(xB\ ;\, yB). Les coordonnées du milieu du segment [AB][AB] sont alors :

(xA+xB2 ;yA+yB2)\left( \dfrac {xA+xB}2\ ;\, \dfrac {yA+yB}2\right)

Norme d’un vecteur dans un repère orthonormé u=x2+y2\Vert \vec u \Vert =\sqrt{x^2+y^2}
Distance entre deux points dans un repère orthonormé Soit deux points AA, de coordonnées (xA ;yA)(xA\ ;\, yA), et BB, de coordonnées (xB ;yB)(xB\ ;\, yB) : AB=AB =(xBxA)2+(yByA)2AB=\Vert \overrightarrow{AB\ }\Vert =\sqrt{(xB-xA)^2+(yB-yA)^2}

Colinéarité et déterminant de deux vecteurs

Nous nous plaçons dans un repère orthonormé du plan (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,).

  • Soit deux vecteurs u(xy)\vec u\,\binom xy et v(xy)\vec v\,\binom {x^{\prime}}{y^{\prime}}.
  • Les vecteurs u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel kk tel que :

(xy)=(kxky)\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} kx^{\prime} \ ky^{\prime} \end{pmatrix}

  • Autrement dit, u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
  • Le déterminant des vecteurs u\vec u et v\vec v est le nombre réel : x×yy×xx\times y^{\prime}- y\times x^{\prime}. On note :

det(u,v)=xxyy=xyyx\text{det}(\vec u,\,\vec v)=\begin{vmatrix} \green x & \purple{x^{\prime}} \ \purple y & \green{y^{\prime}} \end{vmatrix}=\green{xy^{\prime}}-\purple{yx^{\prime}}

  • Les vecteurs u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : det(u,v)=xyyx=0\text{det}(\vec u,\,\vec v)=xy^{\prime}-yx^{\prime}=0.
  • Soit AA, BB, CC et DD quatre points du plan, avec, d’une part, AA et BB distincts et, d’autre part, CC et DD distincts.
  • Les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles si et seulement si det(AB ,CD )=0\text{det}(\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{CD\ })=0.
  • Soit AA, BB et CC trois points du plan.
  • Les points AA, BB et CC sont alignés si et seulement si det(AB ,AC )=0\text{det}(\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ })=0.