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Marianne

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Variation en pourcentage, pourcentages et coefficients multiplicateurs, indices et évolution

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Introduction :

Ce cours de mathémathiques porte sur les pourcentages. Nous ferons dans un premier temps un bref rappel de calcul sur les pourcentages que tu as vu les années précédentes qui nous amènera aux différentes façons d’exprimer une variation. Ensuite, nous verrons le lien entre pourcentage et coefficient multiplicateur pour finir avec les indices, et les évolutions successives et réciproques.

Différentes façons d’exprimer une variation

Définitions

bannière rappel

Rappel

t %t\ \% d’un nombre s’obtient en multipliant ce nombre par t100\dfrac{t}{100}

Pour calculer l’augmentation de t %t\ \% il suffit donc d’ajouter à ce nombre la valeur initiale.

  • Un salarié a un salaire de 1500 € par mois et obtient une augmentation de 3 %.
  • Pour calculer de combien d’euros ce salarié a été augmenté, on fait le calcul suivant : 1500×3100=451500\times \dfrac{3}{100}=45
  • Le salarié a donc 45 € d’augmentation.
  • Pour calculer son nouveau salaire, il suffit d’ajouter l’augmentation au salaire initial.

1500+45=15451500+45=1545

Ce salarié gagnera maintenant 1 545 €.

De même, pour une réduction, on fait la différence au lieu de la somme.

À présent :

  • dire qu’il y a une évolution de t % entre une valeur initiale V0V0 non nulle et une valeur finale V1V1 signifie que : V1=V0(1+t100)V1=V0(1+\dfrac{t}{100}) ;
  • le coefficient multiplicateur de V0V0 à V1V1, noté CM, est le rapport V1V0=1+t100\dfrac{V1}{V0}=1+ \dfrac{t}{100}.

S’il s’agit d’une augmentation, tt est un nombre positif et s’il s’agit d’une réduction, tt est négatif.

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Définition

Variations :

  • la variation relative est le quotient : V1V0V0\dfrac{V1-V0}{V_0} ;
  • on appelle variation absolue la quantité : V1V0V1-V0.
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Définition

Taux d’évolution :

Le taux ou pourcentage d’évolution est la variation relative exprimée en pourcentage : t=V1V0V0×100t=\dfrac{V1-V0}{V_0}\times100

Propriétés et remarques

bannière propriete

Propriété

  • Pour le coefficient multiplicateur noté CMCM :
  • si CM>1CM>1 alors l’évolution est une augmentation (une hausse) ;
  • si CM<1CM<1 alors l’évolution est une réduction (une baisse).
  • Pour le taux d’évolution noté tt :
  • si t>0t>0, alors l’évolution est une augmentation (une hausse) ;
  • si t<0t<0, alors l’évolution est une réducation (une baisse).
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Astuce

Cette formule correspond à la formule vue en cours d’économie disant que le taux d’évolution t %t\ \% est donné par le quotient :

valeur finalevaleur initalevaleur initale\dfrac{valeur\ finale-valeur\ initale}{valeur\ initale}

  • En ce qui concerne le coefficient multiplicateur (le CM) ou même le taux d’évolution (t %), on peut savoir d’un seul coup d’œil s’ils correspondent à une augmentation ou une réduction.

Alors que si tu parles du pourcentage, il faut préciser s’il correspond à une hausse ou une baisse.

bannière à retenir

À retenir

La variation absolue (V1V0)(V1-V0) est positive dans le cas d’une augmentation et négative pour une réduction.

La formule du taux d’accroissement peut amener à d’autres formules :

t:V1V0V0×100t100=V1V01t100=CM1\begin{aligned}t:\dfrac{V1-V0}{V0}\times 100 &\Leftrightarrow \dfrac{t}{100}=\dfrac{V1}{V_0}-1 \&\Leftrightarrow \dfrac{t}{100}=CM-1\end{aligned}

bannière exemple

Exemple

Un téléviseur valait 2000 € le premier janvier 2015. Il vaut 1728 € le premier janvier 2016.

  • La variation absolue du prix du téléviseur est donc de 17282000=2721728-2000 = 272 €
  • Cette variation absolue est négative, ce qui correspond à une baisse.
  • Le coefficient multiplicateur est CM=17282000=0,864CM=\dfrac{1728}{2000}=0,864
  • La variation relative est : 172820002000=2722000=0,136\dfrac{1728-2000}{2000}=\dfrac{272}{2000}=0,136
  • Le taux d’évolution est de 0,136=13,6100-0,136=\dfrac{13,6}{100} soit 13,6  %-13,6 \;\%
  • Le prix du téléviseur a donc baissé de 13,6 % entre le premier janvier 2015 et le premier janvier 2016.
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Exemple

Un billet d’avion valait 240€ pendant les fêtes de fin d’année. Il vaut 276€ avant les grandes vacances d’été.

  • La variation absolue du prix du billet d’avion est donc de 276240=36276 - 240 =36 €
  • Cette variation absolue est positive, ce qui correspond à une hausse.
  • Le coefficient multiplicateur est CM=276240=1,15CM=\dfrac{276}{240}=1,15
  • La variation relative est : 276240240=36240=0,15\dfrac{276-240}{240}=\dfrac{36}{240}=0,15
  • Le taux d’évolution est de 0,15=151000,15=\dfrac{15}{100} soit 15 %
  • Le prix du billet d’avion a donc augmenté de 15 % entre les vacances d’hiver et les vacances d’été.

Lien entre pourcentage d’évolution et coefficient multiplicateur

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Propriété

Pour obtenir la valeur finale qu’on a augmenté de t % on multiplie la valeur initiale par le coefficient multiplicateur : CM=1+t100CM=1+\dfrac{t}{100}

Pour obtenir la valeur finale qu’on a diminué de t % on multiplie la valeur initiale par le coefficient multiplicateur : CM=1t100CM=1-\dfrac{t}{100}

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Démonstration

Si on augmente une valeur V0V0de t %, cela revient à rajouter à la valeur V0V0 la valeur 1100×V0\dfrac{1}{100}\times V_0

  • On obtient la valeur V0+t100×V0V0+\dfrac{t}{100}\times V0
  • Or, en factorisant par V0V0 on obtient V0+t100×V0=V0(1+t100)V0+\dfrac{t}{100}\times V0=V0(1+\dfrac{t}{100})
  • La valeur a donc bien été multipliée par 1+t1001+\dfrac{t}{100} suite à l’augmentation de t %.

Si on diminue une valeur V0V0 de t %, cela revient à soustraire de la valeur V0V0 la valeur 1100×V0\dfrac{1}{100}\times V_0

  • On obtient la valeur V0t100×V0V0-\dfrac{t}{100}\times V0
  • Or, en factorisant par V0V0 on obtient V0t100×V0=V0(1t100)V0-\dfrac{t}{100}\times V0=V0(1-\dfrac{t}{100})
  • La valeur a donc bien été multipliée par 1t1001-\dfrac{t}{100} suite à la réduction de t %.
bannière à retenir

À retenir

Lorsqu’on diminue une quantité de t %, le pourcentage de variation de cette quantité est de ​-t %.

Ainsi :

t100=CM1\dfrac{t}{100}=CM-1 ou t100\dfrac{t}{100} désigne le pourcentage de variation qui sera donc négatif dans le cas d’une réduction.

  • Réduire la quantité de t % revient à multiplier par CM=1t100CM=1-\dfrac{t}{100} où t est ici positif.
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Exemple

Une augmentation de 8 % donne un coefficient multiplicateur CM=1+8100=1,08CM=1+\dfrac{8}{100}=1,08 ;

Une réduction de 17 % donne un coefficient multiplicateur CM=117100=0,83CM=1-\dfrac{17}{100}=0,83 ;

Pour une diminution de 3,5 %, CM=0,965CM=0,965 ;

Pour une augmentation de 15 %, CM=1,15CM=1,15 ;

Pour une réduction de 13,6 %, CM=0,864CM=0,864.

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Attention

Même si cela paraît étonnant, on peut très bien avoir des augmentations de plus de 100 %, mais on ne peut pas avoir de réduction de plus 100 %.

bannière astuce

Astuce

Avec ce raccourci de calcul, on peut aussi retrouver le pourcentage d’évolution à partir du coefficient multiplicateur.

  • CM=1,6=1+60100CM=1,6=1+\dfrac{60}{100} correspond à une augmentation de 60 %.
  • CM=1,07=1+7100CM=1,07=1+\dfrac{7}{100} correspond à une augmentation de 7 %.
  • CM=0,25=175100CM=0,25=1-\dfrac{75}{100} correspond à une réduction de 75 %.
  • CM=0,956=14,4100CM=0,956=1-\dfrac{4,4}{100} correspond à une réduction de 4,4 %.

Indices et évolution

Indices

On utilise souvent les indices pour prendre connaissance de l’évolution d’une valeur à partir d’une date fixée.

indice anneˊn=valeur de l’anneˊnvaleur de l’anneˊe de base×100\text{indice année } n=\dfrac{\text{valeur de l'année } n}{\text{valeur de l'année de base}}\times100

Le calcul des indices permet de comparer plus aisément les évolutions par rapport à l’année choisie pour base, dite année de référence et qui a pour indice 100 .

Évolutions successives

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Propriété

Si le taux d’évolution de la valeur V0V0 non nulle à une valeur V1V1 est t1t1 %et le taux d’évolution de la valeur V1V1 à une valeur V2V2 est t2t2% alors le taux d’évolution global t % de V0V0 à V2V2 est tel que :

1+t100=(1+t1100)×(1+t2100)1+\dfrac{t}{100}=(1+\dfrac{t1}{100})\times(1+\dfrac{t2}{100})

ou

CMglobal=CM1×CM2CM{global}=CM1\times CM_2

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Exemple

Entre janvier 2015 et juillet 2015, le salaire minimum en France a augmenté de 2 %. Ensuite, entre juillet 2015 et janvier 2016, il a augmenté de 0,3 %.

Le taux d’évolution global t % du SMIC entre janvier 2015 et janvier 2016 vérifie :

1+t100=(1+2100)×(1+0,3100)1+\dfrac{t}{100}=(1+\dfrac{2}{100})\times(1+\dfrac{0,3}{100}), soit 1+t1001,02311+\dfrac{t}{100}\approx1,0231 c’est-à-dire t1000,0231\dfrac{t}{100}\approx0,0231

  • Le taux d’évolution global t % du SMIC entre janvier 2015 et janvier 2016 a donc été d’environ 2,31 %.

Évolutions réciproques​

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Propriété

  • Le taux d’évolution d’une valeur V0V0 non nulle à une valeur V1V1est t %
  • Le taux d’évolution réciproque de ce taux de t % est celui qui fait passer de la valeur V1V1 à la valeur V0V0
  • Le taux d’évolution réciproque t’ % d’un taux de t % est tel que :

1+t100=11+t1001+\dfrac{t'}{100}=\dfrac{1}{1+\dfrac{t}{100}}

  • Avec les coefficients multiplicateurs, cela parait plus simple et revient au même :

CM×CM=1CM'\times CM=1

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Exemple

Le prix d’une entrée dans une patinoire a baissé de 20%, puis augmenté de t %, pour revenir à son tarif initial.

On sait que la multiplication des coefficients multiplicateurs est égale à 1. On peut donc écrire cette équation :

(120100)×(1+t100)=1(1-\dfrac{20}{100})\times (1+\dfrac{t}{100})=1

(0,8)×(1+t100)=1\Leftrightarrow (0,8)\times (1+\dfrac{t}{100})=1

0,8+0,8t100)=1\Leftrightarrow 0,8+\dfrac{0,8t}{100})=1

0,8t100=0,2\Leftrightarrow \dfrac{0,8t}{100}=0,2

t100=0,20,8\Leftrightarrow \dfrac{t}{100}=\dfrac{0,2}{0,8}

t100=0,25\Leftrightarrow \dfrac{t}{100}=0,25

t=25%\Leftrightarrow t=25\%

  • Pour revenir au tarif initial, le prix de l’entrée dans la patinoire a augmenté d’environ 25 % suite à la réduction de 20 %.