Pourcentages
Introduction
L’objectif de cette leçon est de savoir calculer un pourcentage simple et de savoir appliquer un pourcentage à un nombre. Dans un premier temps, nous allons apprendre à calculer un pourcentage simple et, dans un deuxième temps, nous montrerons comment appliquer un pourcentage à un nombre, en donnant quelques exemples.
Calculer un pourcentage simple
Calculer un pourcentage simple
Définition
Définition
Définition
Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité.
Calculer un pourcentage revient donc à résoudre un problème de proportionnalité.
Exemple
Pour du beurre qui contient $82~\%$ de matières grasses, une plaque de beurre de $100~\mathrm{g}$ contient $82~\mathrm{g}$ de matières grasses, une plaque de beurre de $200~\mathrm{g}$ en contient $164~\mathrm{g}$ (le double de $82~\mathrm{g}$) et une plaque de beurre de $50~\mathrm{g}$ en contient $41~\mathrm{g}$ (la moitié de $82~\mathrm{g}$).
Exemples
Exemples
À retenir
Pour déterminer un pourcentage simple, nous pouvons compléter un tableau de proportionnalité à l’aide de multiplications ou de divisions, ou bien effectuer le calcul de tête.
Exemple
EXEMPLE 1
Dans une entreprise de 200 salariés, 110 sont des femmes. Nous souhaitons compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous pour déterminer le pourcentage de femmes parmi les salariés de cette entreprise.
Dans la première colonne, nous passons du nombre 200 de la première ligne au nombre 100 de la deuxième ligne en divisant par 2.
Dans la deuxième colonne, nous devons donc passer du nombre 110 de la première ligne au nombre de la deuxième ligne en divisant par 2 : c’est $\frac{110}{2} = 55$.
Parmi les 200 salariés de cette entreprise, il y a donc $55~\%$ de femmes. REMARQUE
De tête, si parmi les 200 salariés de cette entreprise 110 sont des femmes, pour $100 = 200\div 2$ salariés, il y en aurait $110\div 2 = 55$. Il y a donc $55~\%$ de femmes dans cette entreprise de 200 salariés.
Exemple
EXEMPLE 2
Dans une classe de 25 élèves, 9 portent des lunettes. Nous souhaitons compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous pour déterminer le pourcentage d’élèves qui portent des lunettes dans cette classe.
Dans la première colonne, nous passons du nombre 25 de la première ligne au nombre 100 de la deuxième ligne en multipliant par 4.
Dans la deuxième colonne, nous devons donc passer du nombre 9 de la première ligne au nombre de la deuxième ligne en multipliant par 4 : c’est $9\times 4 = 36$.
Parmi les 25 élèves de cette classe, il y en a donc $36~\%$ qui portent des lunettes.
REMARQUE
De tête, si parmi les 25 élèves de cette classe 9 portent des lunettes, pour $100 = 25\times 4$ élèves, il y en aurait $9\times 4 = 36$ qui porteraient des lunettes. Il y a donc $36~\%$ d’élèves de cette classe qui portent des lunettes.
Exemple
EXEMPLE 3
Dans un collège de 500 élèves, 80 sont externes. Nous souhaitons compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous pour déterminer le pourcentage d’élèves externes dans ce collège.
Dans la première colonne, nous passons du nombre 500 de la première ligne au nombre 100 de la deuxième ligne en divisant par 5.
Dans la deuxième colonne, nous devons donc passer du nombre 80 de la première ligne au nombre de la deuxième ligne en divisant par 5 : c’est $\frac{80}{5} = 16$.
Parmi les 500 élèves de ce collège, il y en a donc $16~\%$ qui sont externes.
REMARQUE
Une proportion (rapport entre une partie et le tout) est toujours inférieure ou égale à 1 et, exprimée sous forme de pourcentage, toujours inférieure ou égale à $100~\%$.
Appliquer un pourcentage
Appliquer un pourcentage
Définition
Définition
Appliquer un pourcentage à un nombre revient à effectuer une multiplication : il s’agit de multiplier la fraction qui correspond au pourcentage par ce nombre.
Propriété
Pour $a$ et $c$ deux nombres, calculer $a~\%$ d’un nombre $c$ revient à calculer : $\frac{a}{100} \times c = a \times \frac{c}{100} = \frac{a\times c}{100}$.
Selon les nombres $a$ et $c$, une des méthodes peut être plus simple que les autres.
Exemples
Exemples
Exemple
EXEMPLE 1
Un réservoir de voiture de contenance 60 L est plein à $40~\%$. Calculons cette contenance.
$100~\%$ du réservoir correspondent à 60 L. Nous devons donc chercher à combien de litres correspondent $40~\%$ du réservoir. Nous pouvons représenter la situation à l’aide d’un tableau de proportionnalité :
Le réservoir contient donc :
$\frac{40}{100} \times 60 = \frac{40\times 60}{100} = \frac{2~400}{100} = 24 \mathrm{L}$.
EXEMPLE 2
Un ordinateur portable a une autonomie de 150 minutes. Sachant que sa batterie est pleine à $60~\%$, quel temps reste-t-il avant que l’ordinateur ne s’éteigne ?
Avant que l’ordinateur ne s’éteigne, il reste :
$\frac{60}{100} \times 150 = \frac{60\times 150}{100} = \frac{9~000}{100} = 90~\mathrm{min}$.
EXEMPLE 3
Dans un collège de 500 élèves, $25~\%$ des élèves font du sport en club. Calculons ce nombre.
Le nombre d’élèves de ce collège qui font du sport en club est :
$\frac{25}{100} \times 500 = 25\times \frac{500}{100} = 25\times 5 = 125$.
Pourcentages particuliers
Pourcentages particuliers
- Calculer $50~\%$ d’un nombre revient à le diviser par 2 car $\frac{50}{100} = \frac{1}{2}$.
- Calculer $25~\%$ d’un nombre revient à le diviser par 4 car $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
- Calculer $10~\%$ d’un nombre revient à le diviser par 10 car $\frac{10}{100} = \frac{1}{10}$.
- Calculer $20~\%$ d’un nombre revient à le diviser par 5 car $\frac{20}{100} = \frac{1}{5}$.
Conclusion
Dans ce cours, nous avons appris qu’un pourcentage traduisait une situation de proportionnalité et donc à calculer des pourcentages simples à l’aide d’un tableau de proportionnalité, ou en calculant de tête. Enfin, nous avons appris qu’appliquer un pourcentage à un nombre revenait à effectuer une multiplication d’une fraction par ce nombre : pour $a$ et $c$ deux nombres, calculer $a~\%$ d’un nombre $c$ revient à calculer $\frac{a}{100} \times c = a \times \frac{c}{100} = \frac{a\times c}{100}$.