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Marianne

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Prendre une fraction d'un nombre

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Introduction :

Nous savons qu'une fraction peut exprimer une situation de proportion ou de partage. Le but de ce cours est d'appliquer une fraction à un nombre (ou à une quantité) ; c'est ce que l'on appelle fraction d'un nombre (ou d'une quantité).

Nous expliquerons d'abord le sens de l'expression « prendre une fraction d'un nombre ». Nous donnerons ensuite trois méthodes de calcul puis étendrons le problème aux fractions de fractions d'un nombre.

Prendre la fraction d'un nombre

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Propriété

Prendre une fraction d'un nombre (ou d'une quantité), c'est multiplier cette fraction par ce nombre (ou cette quantité).

Soient aa, bb et cc trois entiers avec bb non nul.
Prendre la fraction ab\frac ab du nombre cc correspond à ab×c\frac ab \times c.

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Astuce

Les mots clés « du », « de la », « d' », « de » et « des » se traduisent par l'opération « ×\times ».

Ainsi, on peut traduire « prendre ab\purple{\frac ab} de c\blue{c} » par « ab×c\purple{\frac ab} \pink{\times} \blue{c} ».

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Exemple

Sur 176176 élèves de 4e d'un collège, les 38\frac 38 ont choisi l'option latin.
Combien y a-t-il de latinistes en 4e dans ce collège ?

Le problème se traduit ainsi : on prend 38\frac 38 des 176176 élèves ce qui correspond à 38×176\frac 38 \times 176 élèves.

Méthodes de calcul

Fraction d'un nombre

Pour prendre la fraction ab\frac ab du nombre cc, c’est-à-dire calculer ab×c\frac ab \times c, trois méthodes de calcul sont possibles.

  • Diviser aa par bb puis multiplier le résultat par cc, soit : ab×c=a÷b×c\frac ab \times c = a \div b \times c

Si l'on reprend l'exemple précédent cela donne : 38×176=3÷8×176=0,375×176=66\frac 38 \times 176 = 3 \div 8 \times 176 = 0,375 \times 176 = 66

  • 66 élèves de 4e font du latin.
  • Multiplier aa par cc puis diviser le résultat par bb, soit : ab×c=a×cb\frac ab \times c = \frac{a \times c}{b}

Si l'on reprend l'exemple précédent cela donne : 38×176=3×1768=5288=66\frac 38 \times 176 = \frac{3 \times 176}{8} = \frac{528}{8} = 66

  • 66 élèves de 4e font du latin.
  • Multiplier aa par le résultat de la division de cc par bb, soit : ab×c=a×cb\frac ab \times c = a\times \frac cb

Si l'on reprend l'exemple précédent cela donne : 38×176=3×1768=3×22=66\frac 38 \times 176 = 3 \times \frac{176}{8} = 3 \times 22 = 66

  • 66 élèves de 4e font du latin.

La dernière méthode est la plus intuitive : puisqu’on prend trois huitièmes de 176176 élèves, on calcule d'abord la valeur d'un huitième de 176176 (soit 1768=22\frac{176}{8} = 22) puis on multiplie cette valeur par 33.

La 2e méthode, elle, limite les risques de devoir arrondir à un résultat intermédiaire. Cette méthode sera donc à privilégier si le résultat des quotients ab\frac ab et/ou cb\frac cb n'est pas un nombre décimal.

En dehors de ces critères, le choix de la méthode dépendra de la façon dont le problème est posé, dont il est perçu, ou de la méthode avec laquelle chacun se sent le plus à l'aise.

Fraction de fraction d'un nombre

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Propriété

Si le nombre dont on prend la fraction est lui-même une fraction d'un nombre, on parle de fraction de fraction d'un nombre.

La fraction de\frac de du nombre ff s'écrit de×f\frac de \times f, donc prendre la fraction ab\frac ab de la fraction de\frac de du nombre ff correspond à ab×(de×f)\frac ab \times (\frac de \times f)

Étant donné qu’il s’agit de produits successifs, on peut supprimer les parenthèses et multiplier d'abord les deux fractions, soit : ab×(de×f)=(ab×de)×f=a×db×e×f\frac ab \times (\frac de \times f) = (\frac ab \times \frac de) \times f = \frac{a\times d}{b\times e}\times f

Donc, prendre la fraction ab\frac ab de la fraction de\frac de du nombre ff correspond à a×db×e×f\frac{a\times d}{b\times e}\times f

Or a×db×e×f\frac{a\times d}{b\times e}\times f correspond à prendre la fraction a×db×e\frac{a\times d}{b\times e} du nombre ff.

  • Prendre la fraction ab\frac ab de la fraction de\frac de du nombre ff c'est donc prendre la fraction a×db×e\frac{a\times d}{b\times e} du nombre ff.

Ainsi, les méthodes de calcul d'une fraction d'un nombre sont applicables à une fraction de fraction d'un nombre.

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Exemple

Les 34\frac 34 des élèves d'un collège de 752752 élèves sont demi-pensionnaires. Seule la moitié d'entre eux mange à la cantine le mercredi.

Combien y a-t-il d'élèves à la cantine le mercredi ?

Le problème se traduit ainsi : on prend 12\frac 12 de 34\frac 34 des 752752 élèves.

Cela revient à prendre 1×32×4\frac{1\times 3}{2\times 4} des 752752 élèves, ce qui correspond à 1×32×4×752\frac{1\times 3}{2\times 4}\times 752 élèves donc à 38×752\frac 38 \times 752 élèves.

Il nous reste donc à calculer 38×752\frac 38 \times 752 avec l'une des trois méthodes connues :

  • 38×752=0,375×752=282\frac 38 \times 752 = 0,375 \times 752 = 282
  • 38×752=3×7528=22568=282\frac 38 \times 752 = \frac{3\times 752}{8} = \frac{2256}{8} = 282
  • 38×752=3×7528=3×94=282\frac 38 \times 752 =3 \times \frac{752}{8} = 3 \times 94 = 282

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons mis en évidence et appris à résoudre les calculs de fraction d'un nombre que l'on retrouve dans de nombreux problèmes. Cette notion sera à se rapprocher des problèmes de pourcentage lorsque la fraction du nombre a pour dénominateur 100100.