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Prendre une fraction d'un nombre

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Introduction :

Nous savons qu'une fraction peut exprimer une situation de proportion ou de partage. Le but de ce cours est d'appliquer une fraction à un nombre (ou à une quantité) ; c'est ce que l'on appelle fraction d'un nombre (ou d'une quantité).

Nous expliquerons d'abord le sens de l'expression « prendre une fraction d'un nombre ». Nous donnerons ensuite trois méthodes de calcul puis étendrons le problème aux fractions de fractions d'un nombre.

Prendre la fraction d'un nombre

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Propriété

Prendre une fraction d'un nombre (ou d'une quantité), c'est multiplier cette fraction par ce nombre (ou cette quantité).

Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers avec $b$ non nul.
Prendre la fraction $\frac ab$ du nombre $c$ correspond à $\frac ab \times c$.

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Astuce

Les mots clés « du », « de la », « d' », « de » et « des » se traduisent par l'opération « $\times$ ».

Ainsi, on peut traduire « prendre $\purple{\frac ab}$ de $\blue{c}$ » par « $\purple{\frac ab} \pink{\times} \blue{c}$ ».

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Exemple

Sur $176$ élèves de 4e d'un collège, les $\frac 38$ ont choisi l'option latin.
Combien y a-t-il de latinistes en 4e dans ce collège ?

Le problème se traduit ainsi : on prend $\frac 38$ des $176$ élèves ce qui correspond à $\frac 38 \times 176$ élèves.

Méthodes de calcul

Fraction d'un nombre

Pour prendre la fraction $\frac ab$ du nombre $c$, c’est-à-dire calculer $\frac ab \times c$, trois méthodes de calcul sont possibles.

  • Diviser $a$ par $b$ puis multiplier le résultat par $c$, soit : $\frac ab \times c = a \div b \times c$

Si l'on reprend l'exemple précédent cela donne : $\frac 38 \times 176 = 3 \div 8 \times 176 = 0,375 \times 176 = 66$

  • 66 élèves de 4e font du latin.
  • Multiplier $a$ par $c$ puis diviser le résultat par $b$, soit : $\frac ab \times c = \frac{a \times c}{b}$

Si l'on reprend l'exemple précédent cela donne : $\frac 38 \times 176 = \frac{3 \times 176}{8} = \frac{528}{8} = 66$

  • 66 élèves de 4e font du latin.
  • Multiplier $a$ par le résultat de la division de $c$ par $b$, soit : $\frac ab \times c = a\times \frac cb$

Si l'on reprend l'exemple précédent cela donne : $\frac 38 \times 176 = 3 \times \frac{176}{8} = 3 \times 22 = 66$

  • 66 élèves de 4e font du latin.

La dernière méthode est la plus intuitive : puisqu’on prend trois huitièmes de $176$ élèves, on calcule d'abord la valeur d'un huitième de $176$ (soit $\frac{176}{8} = 22$) puis on multiplie cette valeur par $3$.

La 2e méthode, elle, limite les risques de devoir arrondir à un résultat intermédiaire. Cette méthode sera donc à privilégier si le résultat des quotients $\frac ab$ et/ou $\frac cb$ n'est pas un nombre décimal.

En dehors de ces critères, le choix de la méthode dépendra de la façon dont le problème est posé, dont il est perçu, ou de la méthode avec laquelle chacun se sent le plus à l'aise.

Fraction de fraction d'un nombre

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Propriété

Si le nombre dont on prend la fraction est lui-même une fraction d'un nombre, on parle de fraction de fraction d'un nombre.

La fraction $\frac de$ du nombre $f$ s'écrit $\frac de \times f$, donc prendre la fraction $\frac ab$ de la fraction $\frac de$ du nombre $f$ correspond à $\frac ab \times (\frac de \times f)$

Étant donné qu’il s’agit de produits successifs, on peut supprimer les parenthèses et multiplier d'abord les deux fractions, soit : $\frac ab \times (\frac de \times f) = (\frac ab \times \frac de) \times f = \frac{a\times d}{b\times e}\times f$

Donc, prendre la fraction $\frac ab$ de la fraction $\frac de$ du nombre $f$ correspond à $\frac{a\times d}{b\times e}\times f$

Or $\frac{a\times d}{b\times e}\times f$ correspond à prendre la fraction $\frac{a\times d}{b\times e}$ du nombre $f$.

  • Prendre la fraction $\frac ab$ de la fraction $\frac de$ du nombre $f$ c'est donc prendre la fraction $\frac{a\times d}{b\times e}$ du nombre $f$.

Ainsi, les méthodes de calcul d'une fraction d'un nombre sont applicables à une fraction de fraction d'un nombre.

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Exemple

Les $\frac 34$ des élèves d'un collège de $752$ élèves sont demi-pensionnaires. Seule la moitié d'entre eux mange à la cantine le mercredi.

Combien y a-t-il d'élèves à la cantine le mercredi ?

Le problème se traduit ainsi : on prend $\frac 12$ de $\frac 34$ des $752$ élèves.

Cela revient à prendre $\frac{1\times 3}{2\times 4}$ des $752$ élèves, ce qui correspond à $\frac{1\times 3}{2\times 4}\times 752$ élèves donc à $\frac 38 \times 752$ élèves.

Il nous reste donc à calculer $\frac 38 \times 752$ avec l'une des trois méthodes connues :

  • $\frac 38 \times 752 = 0,375 \times 752 = 282$
  • $\frac 38 \times 752 = \frac{3\times 752}{8} = \frac{2256}{8} = 282$
  • $\frac 38 \times 752 =3 \times \frac{752}{8} = 3 \times 94 = 282$

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons mis en évidence et appris à résoudre les calculs de fraction d'un nombre que l'on retrouve dans de nombreux problèmes. Cette notion sera à se rapprocher des problèmes de pourcentage lorsque la fraction du nombre a pour dénominateur $100$.