Exercices Probabilité : Variable aléatoire et loi de probabilité, espérance et arbre pondéré

Un joueur lance deux dés.

Si la somme des dés fait 10, il gagne 10 €, si elle fait 5 il gagne 5 € sinon, il perd sa mise.

L’organisateur du jeu souhaite faire quelques calculs de probabilités afin de déterminer quelle est la meilleure valeur pour la mise.

Calculez la probabilité, quand on tire deux dés, que la somme fasse 10.

On tire trois fois de suite à pile ou face (la pièce est supposée non truquée). Chaque occurrence de pile rapporte un bonbon.

Soit $X$ le gain en bonbons.

Donner l’univers de $X$ , c’est-à-dire l’ensemble des valeurs possibles pour $X$.

Paul lance un dé (non truqué) :

• s’il fait $1$ il a perdu ;
• s’il fait $6$ le jeu s’arrête, il a gagné ;
• s’il fait autre chose il relance le dé.

Il peut ainsi lancer le dé jusqu’à $3$ fois en tout. Si à la fin il n’a pas obtenu de $6$ il a perdu.

Par exemple, Paul peut faire les tirages suivants :

• $1$, il doit arrêter, c’est perdu ;
• $2$, puis $6$, le jeu s’arrête là, Paul a gagné ;
• $4$, puis, $3$, puis $2$, le jeu est fini, Paul a perdu.

Calculer la probabilité d’avoir tiré le dé exactement une fois.