Probabilité : Variable aléatoire et loi de probabilité, espérance et arbre pondéré

Variable aléatoire et loi de probabilité

Rappels de vocabulaire

Définition

Expérience aléatoire :

Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats possibles et qu’on ne peut pas prévoir lequel sera obtenu. Le résultat d’une telle expérience est uniquement dû au hasard.

Définition

Issue d’une expérience :

Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire est appelé issue de cette expérience.

Définition

Univers d’une expérience :

L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire s’appelle l’univers de l’expérience.

Définition

Événement d’une expérience :

Un événement de cette expérience est un sous-ensemble de son univers.

Définition

Événement élémentaire d’une éxpérience :

Un événement élémentaire de cette expérience est un événement contenant une seule issue.

Exemple

L’expérience qui consiste à lancer un dé équilibré à six faces et à noter le numéro inscrit sur la face supérieure est une expérience aléatoire.

L’univers de l’expérience est l’ensemble $\Omega=\big\lbrace1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 5\ ;\ 6\big\rbrace$.

L’événement $A \text{ : obtenir un résultat pair}$ est l’ensemble $A=\big\lbrace2\ ;\ 4\ ;\ 6\big\rbrace$.

L’événement élémentaire $B \text{ : obtenir un 6}$ est l’ensemble $B=\big\lbrace 6\big\rbrace$.

Variable aléatoire

Définition

Variable aléatoire :

On considère une expérience aléatoire dont l’univers est un ensemble fini noté $\Omega$.

Une variable aléatoire $X$ est une fonction définie sur $\Omega$ à valeurs dans $ℝ$.

Définir une variable aléatoire consiste donc à associer un réel à chaque issue de l’expérience aléatoire.

Exemple

Un joueur lance un dé équilibré à six faces :

• S’il obtient 1, 2 ou 3, il perd 5 €.
• S’il obtient 4 ou 5, il gagne 1 €.
• S’il obtient 6, il gagne 10 €.

On peut définir la variable aléatoire $X\text{ : gain algébrique du joueur}$.

$\Omega$ est l’ensemble des issues et $X(\Omega)$ l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $X$.

Loi de probabilité d’une variable aléatoire

Définition

Loi de probabilité :

Soit $X$ une variable aléatoire discrète sur $Ω$ qui prend les valeurs $x_1,\ x_2,\ …\ ,\ x_k$.

Définir la loi de probabilité de $X$, c’est donner les valeurs de probabilités $p(X=x_i)$ pour tout entier $i$, avec $1\leq i \leq k$.

On présente en général une loi de probabilité sous forme d’un tableau :

Propriété

Dans le tableau qui donne la loi de probabilité d’une variable aléatoire, la somme des probabilités est égale à $1$.

$p_1+p_2+…+p_k=\displaystyle\sum_{i=1}^{k} p(X=x_i)=1$

Exemple

« On lance un dé équilibré à six faces. On gagne 2 € si le résultat est 5 ou 6, on gagne 1 € si le résultat est 4 et on perd 1 € sinon.

On appelle $G$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur en fin de partie. »

Astuce

Pour établir la loi de probabilité de $G$, il faut d’abord trouver les valeurs prises par la variable aléatoire $G$.

• Ici, le joueur peut obtenir :
• 5 ou 6, dans ce cas le gain algébrique est de 2 € ;
• 4, dans ce cas le gain algébrique est de 1 € ;
• 1, 2 ou 3, dans ce cas le gain algébrique est de -1 €.
• Donc $G(\omega)=\big\lbrace-1\ ;\ 1\ ;\ 2\big\rbrace$.
• Une fois trouvées les valeurs prises par $X$, on doit calculer les probabilités correspondantes :

$\begin{aligned}p(G=2)=\dfrac26=\dfrac13 \\ p(G=1)=\dfrac16 \\ p(G=-1)=\dfrac36=\dfrac12\end{aligned}$

Astuce

On peut toujours vérifier en faisant la somme des probabilités. On sait que le résultat doit être égal à 1.

$\begin{aligned}p&(G=2)+p(G=1)+p(G=-1)\\&=\dfrac13+\dfrac16+\dfrac12\\&=\dfrac26+\dfrac16+\dfrac36\\&=\dfrac66=1\end{aligned}$

• La loi de probabilité de $G$ est donc :

Indicateurs d’une variable aléatoire

Espérance

Définition

Espérance mathématique d’une variable aléatoire :

• L’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est le réel noté $E(X)$ défini par : $E(X)=x_1\times p_1+x_2\times p_2+…+x_k\times p_k=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}x_ip_i$
• L’espérance d’une variable aléatoire $X$ s’interprète comme la valeur moyenne prise par $X$ lorsqu’on répète un très grand nombre de fois l’expérience.

Exemple

$g_i$	-1	1	2
$p(G=g_i)$	$\dfrac12$	$\dfrac16$	$\dfrac13$

Reprenons l’exemple précédent et calculons l’espérance mathématique de la variable aléatoire $G$ :

$\begin{aligned} E(G)&=g_1p_1+g_2p_2+g_3p_3\\ &=2\times \dfrac13+1\times \dfrac16+(-1)\times \dfrac12\\ &=\dfrac23+\dfrac16-\dfrac12\\ &=\dfrac13 \\ E(G)&≈0,33 \end{aligned}$

• On peut interpréter le résultat de la manière suivante :

Si un joueur participait 100 fois à ce jeu, son « gain » total serait d’environ $100\times 0,33\approx 33$.

• Ainsi, sur 100 parties, le joueur aurait gagné environ 33 €.

Jeu équitable

Maintenant que tu sais calculer l’espérance d’une variable aléatoire, il est intéressant de l’appliquer aux exercices de manière à analyser l’expérience aléatoire. Cette expérience aléatoire est-elle équitable ?

Définition

Jeu équitable :

$E$ est l’ensemble des issues d’un jeu de hasard.

$X$ est la variable aléatoire définie sur $E$ qui donne le gain du joueur.

Dire que ce jeu est équitable signifie que $E(X)=0$

Exemple

Un ticket de jeu à gratter coûte deux euros.

On considère l’expérience aléatoire qui consiste à tirer au hasard un ticket de ce jeu parmi l’ensemble des tickets disponibles.

$X$ est la variable aléatoire qui donne le gain du joueur, en tenant compte du prix d’achat du ticket. Ce gain peut aussi être négatif.

• La loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est donnée dans le tableau ci-dessous.

Gain $x_i$ en €	-2	0	3	8	18	48	198
$p(X=x_i)$	0,6	0,2173	0,1205	0,0485	0,0124	0,0012	0,0001

• L’espérance de la variable aléatoire $X$ est :

$\begin{aligned}E(X)=&(0,6\times(-2))+(0,2173\times0)+(0,1205\times 3)+(0,0485\times 8)\\&+(0,0124\times 18)+(0,0012\times 48)+(0,0001\times 198)\end{aligned}$

• C’est à dire $E(X)=-0,1499$ €
• $E(X)≠0$ donc ce jeu n’est pas équitable, il est défavorable au joueur.

Répétition d’expériences identiques et indépendantes

Expériences identiques et indépendantes, arbre pondéré

Définition

Expériences identiques :

Deux expériences aléatoires sont considérées comme identiques et indépendantes si elles ont les mêmes issues et les mêmes probabilités, et si la réalisation de l’une ne modifie pas les probabilités des issues de l’autre.

Exemple

Je lance un premier dé équilibré et j’observe la face supérieure, puis je lance un second dé équilibré. Ces deux expériences aléatoires sont identiques et indépendantes.

Pour modéliser une situation d’expériences répétées indépendantes, on utilise un arbre pondéré.

Propriété

Sur un arbre pondéré :

• la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est $1;$
• la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin ;
• la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins menant à cet événement.

Méthode de résolution

Voyons comment un arbre pondéré permet d’étudier une variable aléatoire :

Exemple

« Dans un jeu de 32 cartes, on tire successivement et avec remise deux cartes.

On appelle $Y$ la variable aléatoire égale à 30 si on tire deux figures, à 25 si on tire une figure et une autre carte qui n’est pas une figure et 5 sinon. »

L’objectif est de déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$.

• Pour cela, on commence par construire un arbre pondéré :

On note $F$ l’événement « on tire une figure ». L’événement $\bar F$ est l’événement contraire de $F$, c’est-à-dire « on ne tire pas de figure ».

Comme on effectue deux tirages, il faut construire un arbre pondéré à deux niveaux.

Dans un jeu de 32 cartes, il y a 12 figures.

Donc $p(F)=\dfrac{12}{32}=\dfrac38\;\text{ et }\;p(\bar F)=1-\dfrac{12}{32}=\dfrac{20}{32}=\dfrac58$.

• Pour chaque chemin, on note la correspondance avec la loi de probabilité :

Lecture de l’arbre

• L’événement « obtenir deux figures » est réalisé par le premier chemin $(FF)$ au bout duquel on note donc $Y=30$, d’après l’énoncé.
• L’événement « obtenir une figure et une carte qui n’est pas une figure » est réalisé par deux chemins $(F\bar F)$ et $(\bar FF)$ au bout desquels on note donc $Y=25$.
• L’événement « ne pas obtenir de figure » est réalisé par le dernier chemin $(\bar F\bar F)$ au bout duquel on note $Y=5$.

D’après les propriétés de calcul avec un arbre pondéré, on obtient :

$\begin{aligned}p(Y=30)&=p(FF)\\&=\dfrac38\times \dfrac38\\&=\dfrac9{64}\end{aligned}$

$\begin{aligned}p(Y=25)&=p(F\bar F)+p(\bar FF)\\&=\dfrac38\times \dfrac58+\dfrac58\times \dfrac38\\&=\dfrac{15}{64}+\dfrac{15}{64}\\&=\dfrac{30}{64}\\&=\dfrac{15}{32}\end{aligned}$

$\begin{aligned}p(Y=5)&=p(\bar F\bar F)\\&=\dfrac58\times \dfrac58\\&=\dfrac{25}{64}\end{aligned}$

• On obtient la loi de probabilité suivante pour $Y$ :