Fiche de révision : Probabilité : Variable aléatoire et loi de probabilité, espérance et arbre pondéré

Le vocabulaire des probabilités

• Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats possibles et qu’on ne peut pas prévoir lequel sera obtenu. Le résultat d’une telle expérience est uniquement dû au hasard.
• Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire est appelé issue de cette expérience.
• L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire s’appelle l’univers de l’expérience.
• Un événement de cette expérience est un sous-ensemble de son univers.
• Un événement élémentaire de cette expérience est un événement contenant une seule issue.

Variable aléatoire

Définition : variable aléatoire

• On considère une expérience aléatoire dont l’univers est un ensemble fini noté $Ω$.
• Une variable aléatoire $X$ est une fonction définie sur $Ω$ à valeurs dans $R$.

Définir une variable aléatoire consiste donc à associer un réel à chaque issue de l’expérience aléatoire.

Loi de probabilité d’une variable aléatoire

Définition : loi de probabilité

Soit $X$ une variable aléatoire discrète sur $Ω$ qui prend les valeurs $x_1,x_2,…,x_k$.

Définir la loi de probabilité de $X$, c’est donner les valeurs de probabilités $p(X=x_i)$ pour tout entier $i$, avec $1\leq i\leq k$.

Propriété :

Dans le tableau qui donne la loi de probabilité d’une variable aléatoire, la somme des probabilités est égale à $1$. $$p_1+p_2+⋯+p_k=1$$

Indicateurs d’une variable aléatoire

Définitions :

• L’espérance mathématique de la variable aléatoire X est le réel noté $E(X)$ défini par : $$E(X)=x_1 \times p_1+x_2 \times p_2+⋯+x_k \times p_k$$

• Un jeu est dit équitable si $E(X)=0$.

Répétitions d’expériences identiques et indépendantes

Définition : expériences identiques et indépendantes

Deux expériences aléatoires sont considérées comme identiques et indépendantes si elles ont les mêmes issues et les mêmes probabilités, et si la réalisation de l’une ne modifie pas les probabilités des issues de l’autre.

Propriétés : arbre pondéré

• La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est 1.
• La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.
• La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins menant à cet événement.