Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Probabilités conditionnelles

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Introduction :

Dans cette leçon nous allons voir les définitions et propriétés du conditionnement ainsi que la représentation des probabilités conditionnelles sur un arbre pondéré, puis nous étudierons la formule des probabilités totales et enfin l’indépendance de deux événements.

bannière rappel

Rappel

Soit AA et B B deux événements de l’ensemble Ω\Omega et Aˉ\bar{A} l’événement contraire de AA :

p(Aˉ)=1p(A)p( \bar{A} )=1-p(A)

p(AB)=p(A)+p(B)p(AB)p(A ∪B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)

Conditionnement

Définitions et propriétés

bannière definition

Définition

Probabilité conditionnelle de BB sachant AA :

Soit AA et B B deux événements de l’ensemble Ω\Omega avec AA de probabilité non nulle (p(A)0)(p(A)≠0). La probabilité conditionnelle de B B sachant AA (probabilité que l’événement B B soit réalisé sachant que l’événement AA est réalisé) est le nombre noté pA(B)p_A(B) défini par :

pA(B)=p(BA)p(A)p_A(B)={{p(B\cap A)}\over p(A)}

Grâce à cette définition, on peut calculer p(AB)p(A\cap B) de deux façons différentes :

bannière propriete

Propriété

p(AB)=p(A)×pA(B)p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B) (avec p(A)0)\:(\text{avec} \ p(A)≠0)

p(AB)=p(B)×pB(A)p(A\cap B)=p(B)\times p_B(A) (avec p(B)0)\:(\text {avec} \ p(B)≠0)

bannière exemple

Exemple

Dans une population donnée, 84 % des personnes possèdent un téléphone portable et 75 % des personnes possèdent un ordinateur.

De plus, 60 % des personnes de cette population déclarent posséder les deux. On rencontre par hasard une personne de cette population. »

On considèré les événements :

  • T : la personne possède un téléphone portable.
  • O : la personne possède un ordinateur.

Déterminons la probabilité que la personne rencontrée possède un téléphone portable sachant qu’elle a un ordinateur :

bannière astuce

Astuce

La première étape est de traduire les données de l’énoncé en termes de probabilités !

p(T)=0,84p(T)=0,84

p(O)=0,75p(O)=0,75

p(TO)=0,60 p(T\cap O)=0,60

On cherche pO(T) pO (T), pour cela on applique la formule : pO(T)=p(TO)(p(O)=0,600,75=0,8pO (T)={{p(T\cap O)}\over (p(O)}={0,60\over 0,75}=0,8

bannière exemple

Exemple

« Lors d’une enquête menée auprès d’une population, on a constaté que 85 % des personnes sont des femmes et que, parmi ces femmes, 62 % travaillent à temps partiel. »

On considèré les événements :

  • F : la personne choisie est une femme
  • T : la personne choisie travaille à temps partiel.

Déterminons la probabilité que la personne choisie une femme travaillant à temps partiel :

  • D’après l’énoncé p(F)=0,85p(F)=0,85 et pF(T)=0,62p_F (T)=0,62
  • On cherche : p(FT)p(F\cap T)
  • On applique donc la formule : p(FT)=p(F)×pF(T)=0,85×0,62=0,527p(F\cap T)=p(F)\times p_F (T)=0,85\times 0,62=0,527

Probabilités conditionnelles et arbre pondéré

On peut représenter une expérience aléatoire mettant en jeu des probabilités conditionnelles à l’aide d’un arbre pondéré.

arbre de probabilités mathématiques terminale ES L

Pour cela, il est nécessaire de respecter certaines règles :

  • Règle n°1 : Sur les branches du 1er niveau, on inscrit les probabilités des événements correspondants.
  • Règle n°2 : Sur les branches du 2e niveau, on inscrit les probabilités conditionnelles.
  • Règle n°3 : Un nœud est le point de départ d’une ou plusieurs branches et la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.
  • Règle n°4 : Un chemin est une suite de branches et la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin.

Un autre mode de représentation d’une telle expérience est le tableau à double entrée :

AA Aˉ\bar {A} Total
BB p(AB)p(A\cap B) p(AˉB)p(\bar{A}\cap B) p(B)p(B)
Bˉ\bar{B} p(ABˉ)p(A\cap \bar{B}) p(AˉBˉ)p(\bar{A}\cap \bar{B}) p(Bˉ)p(\bar{B})
Total p(A)p(A) p(Aˉ)p(\bar{A}) 11
bannière attention

Attention

Les probabilités conditionnelles ne peuvent pas se lire directement dans un tableau (contrairement à un arbre). Il faudra passer par le calcul.

Formules des probabilités totales

bannière propriete

Propriété

Les événements ADA\cap D, BDB\cap D et CDC\cap D sont deux à deux incompatibles donc :

p(D)=p(AD)+p(BD)+p(CD)p(D)=p(A\cap D)+p(B\cap D)+p(C\cap D)

probabilités conditionnelles mathématiques terminale ES L

bannière exemple

Exemple

Dans un pays, 2 % de la population est contaminée par un virus. On dispose d’un test de dépistage qui a les propriétés suivantes :

  • La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est 0,99.
  • La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est 0,97.

On fait passer le test à une personne choisie au hasard dans la population. Quelle est la probabilité que le test soit positif ?

  • C : la personne est contaminée
  • T : le test est positif

Commençons par traduire l’énoncé en termes de probabilités :

p(C)=0,02p(C)=0,02\: avec p(Cˉ)=1p(C)=10,02=0,98\:p(\bar {C})=1-p(C)=1-0,02=0,98

pC(T)=0,99pC (T)=0,99\: avec pC(Tˉ)=10,99=0,01\: pC (\bar{T})=1-0,99=0,01

pCˉ(Tˉ)=0,97p{\bar{C}}(\bar {T})=0,97 avec pCˉ(T)=10,97=0,03p{\bar {C}}(T)=1-0,97=0,03

arbre de probabilités mathématiques terminale ES L

On voit qu’il y a deux « chemins » qui conduisent à TT, il va donc falloir utiliser la formule des probabilités totales :

p(T)=p(CT)+p(CˉT)=p(C)×pC(T)+pCˉ×pCˉ(T)=0,02×0,99+0,98×0,03=0,0492\begin{aligned}p(T)&=p(C \cap T) + p(\bar{C} \cap T) \& =p(C) \times pC (T) + p{\bar{C}} \times p_{\bar {C}} (T)\&=0,02 \times 0,99+0,98 \times 0,03 \ &=0,0492\end{aligned}

Indépendance de deux événements

bannière definition

Définition

Évènements indépendants :

Deux événements AA et BB de probabilité non nulle sont dits indépendants si, et seulement si, l’une des deux égalités suivantes est vérifiée :

pA(B)=p(B)pA (B)=p(B) ou pB(A)=p(A)pB (A)=p(A)

bannière propriete

Propriété

Deux événements AA et BB de probabilité non nulle sont indépendants si, et seulement si : p(AB)=p(A)×p(B)p(A\cap B)=p(A)×p(B)

Si deux événements AA et BB sont indépendants, alors il en est de même pour les événements et BB, pour les événements AA et Bˉ\bar {B}, ainsi que pour les événements Aˉ\bar{A} et Bˉ\bar {B}.