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Probabilités conditionnelles
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Introduction :
Dans cette leçon nous allons voir les définitions et propriétés du conditionnement ainsi que la représentation des probabilités conditionnelles sur un arbre pondéré, puis nous étudierons la formule des probabilités totales et enfin l’indépendance de deux événements.
Rappel
Soit $A$ et $ B$ deux événements de l’ensemble $\Omega$ et $\bar{A}$ l’événement contraire de $A$ :
$p( \bar{A} )=1-p(A)$
$p(A ∪B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
Conditionnement
Conditionnement
Définitions et propriétés
Définitions et propriétés
Définition
Probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ :
Soit $A$ et $ B$ deux événements de l’ensemble $\Omega$ avec $A$ de probabilité non nulle $(p(A)≠0)$. La probabilité conditionnelle de $ B$ sachant $A$ (probabilité que l’événement $ B$ soit réalisé sachant que l’événement $A$ est réalisé) est le nombre noté $p_A(B)$ défini par :
$p_A(B)={{p(B\cap A)}\over p(A)}$
Grâce à cette définition, on peut calculer $p(A\cap B)$ de deux façons différentes :
Propriété
$p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$ $\:(\text{avec} \ p(A)≠0)$
$p(A\cap B)=p(B)\times p_B(A)$ $\:(\text {avec} \ p(B)≠0)$
Exemple
Dans une population donnée, 84 % des personnes possèdent un téléphone portable et 75 % des personnes possèdent un ordinateur.
De plus, 60 % des personnes de cette population déclarent posséder les deux. On rencontre par hasard une personne de cette population. »
On considèré les événements :
- T : la personne possède un téléphone portable.
- O : la personne possède un ordinateur.
Déterminons la probabilité que la personne rencontrée possède un téléphone portable sachant qu’elle a un ordinateur :
Astuce
La première étape est de traduire les données de l’énoncé en termes de probabilités !
$p(T)=0,84$
$p(O)=0,75$
$ p(T\cap O)=0,60$
On cherche $ p_O (T)$, pour cela on applique la formule : $p_O (T)={{p(T\cap O)}\over (p(O)}={0,60\over 0,75}=0,8$
Exemple
« Lors d’une enquête menée auprès d’une population, on a constaté que 85 % des personnes sont des femmes et que, parmi ces femmes, 62 % travaillent à temps partiel. »
On considèré les événements :
- F : la personne choisie est une femme
- T : la personne choisie travaille à temps partiel.
Déterminons la probabilité que la personne choisie une femme travaillant à temps partiel :
- D’après l’énoncé $p(F)=0,85$ et $p_F (T)=0,62$
- On cherche : $p(F\cap T)$
- On applique donc la formule : $p(F\cap T)=p(F)\times p_F (T)=0,85\times 0,62=0,527$
Probabilités conditionnelles et arbre pondéré
Probabilités conditionnelles et arbre pondéré
On peut représenter une expérience aléatoire mettant en jeu des probabilités conditionnelles à l’aide d’un arbre pondéré.
Pour cela, il est nécessaire de respecter certaines règles :
- Règle n°1 : Sur les branches du 1er niveau, on inscrit les probabilités des événements correspondants.
- Règle n°2 : Sur les branches du 2e niveau, on inscrit les probabilités conditionnelles.
- Règle n°3 : Un nœud est le point de départ d’une ou plusieurs branches et la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.
- Règle n°4 : Un chemin est une suite de branches et la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin.
Un autre mode de représentation d’une telle expérience est le tableau à double entrée :
| $A$ | $\bar {A}$ | Total | |
| $B$ | $p(A\cap B)$ | $p(\bar{A}\cap B)$ | $p(B)$ |
| $\bar{B}$ | $p(A\cap \bar{B})$ | $p(\bar{A}\cap \bar{B})$ | $p(\bar{B})$ |
| Total | $p(A)$ | $p(\bar{A})$ | $1$ |
Attention
Les probabilités conditionnelles ne peuvent pas se lire directement dans un tableau (contrairement à un arbre). Il faudra passer par le calcul.
Formules des probabilités totales
Formules des probabilités totales
Propriété
Les événements $A\cap D$, $B\cap D$ et $C\cap D$ sont deux à deux incompatibles donc :
$p(D)=p(A\cap D)+p(B\cap D)+p(C\cap D)$
Exemple
Dans un pays, 2 % de la population est contaminée par un virus. On dispose d’un test de dépistage qui a les propriétés suivantes :
- La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est 0,99.
- La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est 0,97.
On fait passer le test à une personne choisie au hasard dans la population. Quelle est la probabilité que le test soit positif ?
- C : la personne est contaminée
- T : le test est positif
Commençons par traduire l’énoncé en termes de probabilités :
$p(C)=0,02\:$ avec $\:p(\bar {C})=1-p(C)=1-0,02=0,98$
$p_C (T)=0,99\:$ avec $\: p_C (\bar{T})=1-0,99=0,01$
$p_{\bar{C}}(\bar {T})=0,97$ avec $p_{\bar {C}}(T)=1-0,97=0,03$
On voit qu’il y a deux « chemins » qui conduisent à $T$, il va donc falloir utiliser la formule des probabilités totales :
$\begin{aligned}p(T)&=p(C \cap T) + p(\bar{C} \cap T) \\& =p(C) \times p_C (T) + p_{\bar{C}} \times p_{\bar {C}} (T)\\&=0,02 \times 0,99+0,98 \times 0,03 \\ &=0,0492\end{aligned}$
Indépendance de deux événements
Indépendance de deux événements
Définition
Évènements indépendants :
Deux événements $A$ et $B$ de probabilité non nulle sont dits indépendants si, et seulement si, l’une des deux égalités suivantes est vérifiée :
$p_A (B)=p(B) $ ou $p_B (A)=p(A)$
Propriété
Deux événements $A$ et $B$ de probabilité non nulle sont indépendants si, et seulement si : $p(A\cap B)=p(A)×p(B)$
Si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants, alors il en est de même pour les événements et $B$, pour les événements $A$ et $\bar {B}$, ainsi que pour les événements $\bar{A}$ et $\bar {B}$.