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Introduction :
Dans cette leçon nous allons voir les définitions et propriétés du conditionnement ainsi que la représentation des probabilités conditionnelles sur un arbre pondéré, puis nous étudierons la formule des probabilités totales et enfin l’indépendance de deux événements.
Soit et deux événements de l’ensemble et l’événement contraire de :
Conditionnement
Définitions et propriétés
Probabilité conditionnelle de sachant :
Soit et deux événements de l’ensemble avec de probabilité non nulle . La probabilité conditionnelle de sachant (probabilité que l’événement soit réalisé sachant que l’événement est réalisé) est le nombre noté défini par :
Grâce à cette définition, on peut calculer de deux façons différentes :
Dans une population donnée, 84 % des personnes possèdent un téléphone portable et 75 % des personnes possèdent un ordinateur.
De plus, 60 % des personnes de cette population déclarent posséder les deux. On rencontre par hasard une personne de cette population. »
On considèré les événements :
Déterminons la probabilité que la personne rencontrée possède un téléphone portable sachant qu’elle a un ordinateur :
La première étape est de traduire les données de l’énoncé en termes de probabilités !
On cherche , pour cela on applique la formule :
« Lors d’une enquête menée auprès d’une population, on a constaté que 85 % des personnes sont des femmes et que, parmi ces femmes, 62 % travaillent à temps partiel. »
On considèré les événements :
Déterminons la probabilité que la personne choisie une femme travaillant à temps partiel :
Probabilités conditionnelles et arbre pondéré
On peut représenter une expérience aléatoire mettant en jeu des probabilités conditionnelles à l’aide d’un arbre pondéré.
Pour cela, il est nécessaire de respecter certaines règles :
Un autre mode de représentation d’une telle expérience est le tableau à double entrée :
Total | |||
Total |
Les probabilités conditionnelles ne peuvent pas se lire directement dans un tableau (contrairement à un arbre). Il faudra passer par le calcul.
Formules des probabilités totales
Les événements , et sont deux à deux incompatibles donc :
Dans un pays, 2 % de la population est contaminée par un virus. On dispose d’un test de dépistage qui a les propriétés suivantes :
On fait passer le test à une personne choisie au hasard dans la population. Quelle est la probabilité que le test soit positif ?
Commençons par traduire l’énoncé en termes de probabilités :
avec
avec
avec
On voit qu’il y a deux « chemins » qui conduisent à , il va donc falloir utiliser la formule des probabilités totales :
Indépendance de deux événements
Évènements indépendants :
Deux événements et de probabilité non nulle sont dits indépendants si, et seulement si, l’une des deux égalités suivantes est vérifiée :
ou
Deux événements et de probabilité non nulle sont indépendants si, et seulement si :
Si deux événements et sont indépendants, alors il en est de même pour les événements et , pour les événements et , ainsi que pour les événements et .