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Marianne

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Probabilités conditionnelles

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Propriétés (rappels)

Soit AA et B B deux événements de l’ensemble Ω\Omega et Aˉ\bar{A} l’événement contraire de A:A:

  • p(Aˉ)=1p(A)p( \bar{A} )=1-p(A)
  • p(AB)=p(A)+p(B)p(AB)p(A ∪B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)

Définition : conditionnement

Soit AA et B B deux événements de l’ensemble Ω\Omega avec AA de probabilité non nulle (p(A)0)(p(A)≠0).

La probabilité conditionnelle de B B sachant AA (probabilité que l’événement B B soit réalisé sachant que l’événement AA est réalisé) est le nombre noté pA(B)p_A(B) défini par :

pA(B)=p(BA)p(A)p_A(B)={{p(B\cap A)}\over p(A)}

Propriétés : conditionnement

  • p(AB)=p(A)×pA(B)p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B) (avec p(A)0)\:(\text{avec} \ p(A)≠0)
  • p(AB)=p(B)×pB(A)p(A\cap B)=p(B)\times p_B(A) (avec p(B)0)\:(\text{avec} \ p(B)≠0)

Propriété : formule des probabilités totales

Les événements ADA\cap D, BDB\cap D et CDC\cap D sont deux à deux incompatibles donc :

p(D)=p(AD)+p(BD)+p(CD)p(D)=p(A\cap D)+p(B\cap D)+p(C\cap D)

Définition : évènements indépendants

Deux événements AA et BB de probabilité non nulle sont indépendants si, et seulement si, l’une des deux égalités suivantes est vérifiée :

pA(B)=p(B)pA (B)=p(B) ou pB(A)=p(A)pB (A)=p(A)

Propriété :

Deux événements AA et BB de probabilité non nulle sont indépendants si, et seulement si : p(AB)=p(A)×p(B)p(A\cap B)=p(A) \times p(B)