Probabilités conditionnelles

Propriétés (rappels)

Soit $A$ et $B$ deux événements de l’ensemble $\Omega$ et $\bar{A}$ l’événement contraire de $A:$

• $p( \bar{A} )=1-p(A)$
• $p(A ∪B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

Définition : conditionnement

Soit $A$ et $B$ deux événements de l’ensemble $\Omega$ avec $A$ de probabilité non nulle $(p(A)≠0)$.

La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ (probabilité que l’événement $B$ soit réalisé sachant que l’événement $A$ est réalisé) est le nombre noté $p_A(B)$ défini par :

$p_A(B)={{p(B\cap A)}\over p(A)}$

Propriétés : conditionnement

• $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$ $\:(\text{avec} \ p(A)≠0)$
• $p(A\cap B)=p(B)\times p_B(A)$ $\:(\text{avec} \ p(B)≠0)$

Propriété : formule des probabilités totales

Les événements $A\cap D$, $B\cap D$ et $C\cap D$ sont deux à deux incompatibles donc :

$p(D)=p(A\cap D)+p(B\cap D)+p(C\cap D)$

Définition : évènements indépendants

Deux événements $A$ et $B$ de probabilité non nulle sont indépendants si, et seulement si, l’une des deux égalités suivantes est vérifiée :

$p_A (B)=p(B)$ ou $p_B (A)=p(A)$

Propriété :

Deux événements $A$ et $B$ de probabilité non nulle sont indépendants si, et seulement si : $p(A\cap B)=p(A) \times p(B)$