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Marianne

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Utiliser une échelle

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Introduction :

Dans ce cours, nous allons découvrir une nouvelle application de la proportionnalité dans la vie courante : les échelles (plan, carte, maquette…).

Nous allons tout d'abord définir ce qu’est une échelle, puis nous verrons comment utiliser l’échelle pour calculer ue longueur ou une distance et comment déterminer l’échelle d’une reproduction.

Définition

On dit qu'une reproduction (plan, carte, maquette, photo…) est à l'échelle lorsque toutes les dimensions sur la reproduction sont proportionnelles aux dimensions réelles.

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Définition

Échelle :

L'échelle d'une reproduction est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des dimensions réelles aux dimensions sur la reproduction.

C'est donc le quotient dimension sur la reproductiondimension reˊelle\frac{\text{dimension sur la reproduction}}{\text{dimension réelle}}, les dimensions étant exprimées dans la même unité.

On peut l’illustrer de la manière suivante dans un tableau de proportionnalité :

tableau échelle mathématiques quatrième

bannière à retenir

À retenir

Une échelle s'exprime généralement sous la forme d'une fraction de numérateur 11 pour une réduction et sous forme décimale pour un agrandissement (échelle microscopique par exemple).

bannière exemple

Exemple

  • Sur une carte à l'échelle 1250 000\frac{1}{250\ 000} (on écrira le plus souvent 1/250 0001/250\ 000) :
  • 1 cm1\text{ cm} sur la carte représente 1×250 000 cm1\times 250\ 000\text{ cm} dans la réalité (soit 2 500 m2\ 500\text{ m} ou 2,5 km2,5\text{ km}),
  • 1 km1\text{ km} dans la réalité (100 000 cm100\ 000\text{ cm}) est représenté par 100 000×1250 000 cm100\ 000 \times \frac{1}{250\ 000}\text{ cm} sur la carte soit 0,4 cm0,4\text{ cm} (ou 4 mm4\text{ mm}).

tableau échelle mathématiques quatrième

  • Sur une photo à l'échelle × 2 000\times\ 2\ 000 :
  • 1 cm1\text{ cm} sur la photo représente 1×12 000 cm1 \times \frac{1}{2\ 000}\text{ cm} dans la réalité soit 0,0005 cm0,0005\text{ cm} (ou 0,005 mm0,005\text{ mm} ou 5 μm5\ \mu\text{m}),
  • 20 μm20\ \mu\text{m} dans la réalité (0,002 cm0,002\text{ cm}) sont représentés par 0,002×2 000 cm0,002 \times 2\ 000\text{ cm} sur la photo soit 4 cm4\text{ cm}.

tableau échelle mathématiques quatrième

Applications

Utiliser l'échelle d'une reproduction pour calculer une longueur ou une distance

  • Antoine collectionne les maquettes d'avion. La plus grande de ses maquettes est une reproduction à l'échelle 1/801/80 d'un avion qui mesure en réalité 37 m37\text{ m} de long.
    Combien mesure cette maquette ?

37 m37\ \text{m} dans la réalité (3 700 cm3\ 700\text{ cm}) sont représentés par 3 700×180 cm3\ 700 \times \frac{1}{80}\text{ cm} sur la maquette soit 46,25 cm46,25\text{ cm}.

  • La plus grande maquette d'Antoine mesure 46,25 cm46,25\text{ cm} de long.
  • Cette maquette mesure 12 cm12\text{ cm} de haut.
    Quelle est la hauteur de l'avion « grandeur nature » ?

12 cm12\text{ cm} sur la maquette représentent 12×80 cm12 \times 80\text{ cm} dans la réalité soit 960 cm960\text{ cm} ou 9,6 m9,6\text{ m}.

  • Dans la réalité, cet avion a une hauteur de 9,6 m9,6\text{ m}.

Voici le tableau de proportionnalité que nous aurions pu construire pour nous aider à effectuer nos calculs.
Attention, toutes les dimensions sont à entrer dans la même unité !

tableau échelle mathématiques quatrième

  • Sur le plan touristique d'une ville à l'échelle 1/5 0001/5\ 000, deux monuments sont distants de 8 cm8\text{ cm} (à vol d'oiseau). Deux amies s'interrogent sur la distance réelle séparant les deux monuments. Émilie dit « je dirais au moins 400 m400\text{ m} », Claire répond « pas du tout, à peine 200 m200\text{ m} et on y est ! ».
    Laquelle des deux amies a raison ?

8 cm8\text{ cm} sur le plan représentent 8×5 000 cm8 \times 5\ 000\text{ cm} dans la réalité soit 40 000 cm40\ 000\text{ cm} soit 400 m400\text{ m}.

  • C'est Émilie qui a raison car la distance réelle à parcourir serait déjà de 400 m400\text{ m} à vol d'oiseau.

Déterminer l'échelle d'une reproduction

  • Sur un dépliant de la ville de Paris, une photographie de la tour Eiffel mesure 6 cm6\text{ cm}. Cette dernière mesure en réalité 300 m300\text{ m}.
    Quelle est l'échelle de la photographie ?

6 cm6\text{ cm} sur la photographie représentent 300 m300\text{ m} dans la réalité soit 30 000 cm30\ 000\text{ cm}.

Donc 1 cm1\text{ cm} dans la réalité est représenté par 630 000 cm\frac{6}{30\ 000}\text{ cm} sur la photographie.

Or 630 000=6×16×5 000=15 000(=0,0002)\frac{6}{30\ 000} = \frac{6\times 1}{6\times 5\ 000} = \frac{1}{5\ 000}(=0,0002)

  • L'échelle de la photographie est 1/5 0001/5\ 000.

tableau échelle mathématiques quatrième

  • Pour un exposé, un élève a dessiné une abeille de 21 cm21\text{ cm} de long.
    Sachant qu'en réalité une abeille mesure en moyenne 15 mm15\text{ mm}, quelle est l'échelle de son dessin ?

21 cm21\text{ cm} sur le dessin représentent 15 mm15\text{ mm} dans la réalité soit 1,5 cm1,5\text{ cm}.

Donc 1 cm1\text{ cm} dans la réalité est représenté par 211,5=14 cm\frac{21}{1,5} = 14\text{ cm} sur le dessin.

  • L'échelle du dessin est ×14\times 14.

tableau échelle mathématiques quatrième

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons défini ce qu’est une échelle et nous avons abordé les différents types problèmes d'échelle que l'on peut rencontrer. Il est bien sûr important de savoir résoudre chacun d'entre eux, mais il est également important de savoir « jongler » facilement avec ce genre d'écriture et de savoir en repérer les applications dans la vie de tous les jours.