Cours : Utiliser une échelle

Définition

On dit qu'une reproduction (plan, carte, maquette, photo…) est à l'échelle lorsque toutes les dimensions sur la reproduction sont proportionnelles aux dimensions réelles.

Définition

Échelle :

L'échelle d'une reproduction est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des dimensions réelles aux dimensions sur la reproduction.

C'est donc le quotient $\frac{\text{dimension sur la reproduction}}{\text{dimension réelle}}$, les dimensions étant exprimées dans la même unité.

On peut l’illustrer de la manière suivante dans un tableau de proportionnalité :

À retenir

Une échelle s'exprime généralement sous la forme d'une fraction :

• de numérateur $1$ pour une réduction ;
• de dénominateur $1$ pour un agrandissement (pour un objet microscopique, par exemple).

Exemple

• Sur une carte à l'échelle $\frac{1}{250\ 000}$ (on écrit aussi $1/250\ 000$) :
• $1\text{ cm}$ sur la carte représente $1\times 250\ 000\text{ cm}$ dans la réalité (soit $2\ 500\text{ m}$ ou $2,5\text{ km}$),
• $1\text{ km}$ dans la réalité ($100\ 000\text{ cm}$) est représenté par $100\ 000 \times \frac{1}{250\ 000}\text{ cm}$ sur la carte, soit $0,4\text{ cm}$ (ou $4\text{ mm}$).

• Sur une photo à l'échelle $\frac{2\ 000}1$ (on écrit aussi $2\ 000/1$) :
• $1\text{ cm}$ sur la photo représente $1 \times \frac{1}{2\ 000}\text{ cm}$ dans la réalité, soit $0,0005\text{ cm}$ (ou $0,005\text{ mm}$ ou $5\ \mu\text{m}$),
• $20\ \mu\text{m}$ dans la réalité ($0,002\text{ cm}$) sont représentés par $0,002 \times 2\ 000\text{ cm}$ sur la photo soit $4\text{ cm}$.

Applications

Utiliser l'échelle d'une reproduction pour calculer une longueur ou une distance

• Antoine collectionne les maquettes d'avion. La plus grande de ses maquettes est une reproduction à l'échelle $1/80$ d'un avion qui mesure en réalité $37\text{ m}$ de long.
  Combien mesure cette maquette ?

$37\ \text{m}$ dans la réalité ($3\ 700\text{ cm}$) sont représentés par $3\ 700 \times \frac{1}{80}\text{ cm}$ sur la maquette, soit $46,25\text{ cm}$.

• La plus grande maquette d'Antoine mesure $46,25\text{ cm}$ de long.
• Cette maquette mesure $12\text{ cm}$ de haut.
  Quelle est la hauteur de l'avion « grandeur nature » ?

$12\text{ cm}$ sur la maquette représentent $12 \times 80\text{ cm}$ dans la réalité, soit $960\text{ cm}$ ou $9,6\text{ m}$.

• Dans la réalité, cet avion a une hauteur de $9,6\text{ m}$.

Voici le tableau de proportionnalité que nous aurions pu construire pour nous aider à effectuer nos calculs.
Attention, toutes les dimensions sont à entrer dans la même unité !

• Sur le plan touristique d'une ville à l'échelle $1/5\ 000$, deux monuments sont distants de $8\text{ cm}$ (à vol d'oiseau). Deux amies s'interrogent sur la distance réelle séparant les deux monuments. Émilie dit : « Je dirais au moins $400\text{ m}$ », Claire répond : « Pas du tout, à peine $200\text{ m}$ et on y est ! ».
  Laquelle des deux amies a raison ?

$8\text{ cm}$ sur le plan représentent $8 \times 5\ 000\text{ cm}$ dans la réalité, soit $40\ 000\text{ cm}$, soit $400\text{ m}$.

• C'est Émilie qui a raison car la distance réelle à parcourir serait déjà de $400\text{ m}$ à vol d'oiseau.

Déterminer l'échelle d'une reproduction

• Sur un dépliant de la ville de Paris, une photographie de la tour Eiffel mesure $6\text{ cm}$. Cette dernière mesure en réalité $300\text{ m}$.
  Quelle est l'échelle de la photographie ?

$6\text{ cm}$ sur la photographie représentent $300\text{ m}$ dans la réalité, soit $30\ 000\text{ cm}$.

Donc $1\text{ cm}$ dans la réalité est représenté par $\frac{6}{30\ 000}\text{ cm}$ sur la photographie.

$\frac{6}{30\ 000} = \frac{6\times 1}{6\times 5\ 000} = \frac{1}{5\ 000}$

• L'échelle de la photographie est $1/5\ 000$.

• Pour un exposé, un élève a dessiné une abeille de $21\text{ cm}$ de long.
  Sachant qu'en réalité une abeille mesure en moyenne $15\text{ mm}$, quelle est l'échelle de son dessin ?

$21\text{ cm}$ sur le dessin représentent $15\text{ mm}$ dans la réalité, soit $1,5\text{ cm}$.

Donc $1\text{ cm}$ dans la réalité est représenté par $\frac{21}{1,5} = 14\text{ cm}$ sur le dessin.

• L'échelle du dessin est $14/1$.