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Produit scalaire des vecteurs

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Définition (rappel) : produit scalaire dans le plan

Si u\overrightarrow {u} et v\overrightarrow {v} sont deux vecteurs du plan, on appelle produit scalaire de u\overrightarrow {u} par v\overrightarrow {v} le nombre réel noté u.v\overrightarrow {u}.\overrightarrow {v} égal à : u.v=(u)×(v)×cos(u,v)\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= ||(\overrightarrow{u})||\times ||(\overrightarrow{v})||\times cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}).

Produit scalaire dans l’espace

Définition : produit scalaire dans l’espace

Si AA et BB sont deux points de l’espace et si u\overrightarrow {u} est un vecteur de l’espace tels que u=AB\overrightarrow {u}=\overrightarrow {AB} alors la norme du vecteur u\overrightarrow {u} notée u\parallel \overrightarrow {u}\parallel est la distance ABAB.

Ainsi, u=AB||\overrightarrow {u}||=AB.

Propriétés : norme d’un vecteur de l’espace

  • Si u\overrightarrow {u} a pour coordonnées u(xyz)\overrightarrow {u}\left( \begin{array}{ c c } x \ y\ z \end{array} \right) alors: u=(x2+y2+z2)\parallel \overrightarrow {u} \parallel=\sqrt{(x^2+y^2+z^2)}
  • Si A(xA;yA;zA)A(xA;yA;zA) et B(xB;yB;zB)B(xB;yB;zB), alors : AB=AB=((xBxA)2+(yByA)2+(zBzA)2)\parallel \overrightarrow {AB}\parallel =AB=\sqrt{((xB-xA )^2+(yB-yA )^2+(zB-zA)^2) }

Propriétés :

  • Si u\overrightarrow {u} et v\overrightarrow {v} sont deux vecteurs de l’espace. Le produit scalaire de u\overrightarrow {u} par v\overrightarrow {v} noté u.v\overrightarrow {u}.\overrightarrow {v} vaut : u=(u)×(v)×cos(u,v)\overrightarrow{u}= ||(\overrightarrow{u})||\times ||(\overrightarrow{v})||\times cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})
  • Si AB\overrightarrow {AB} et AC\overrightarrow {AC} sont deux représentants des vecteurs non nuls u\overrightarrow {u} et v\overrightarrow {v}, on peut écrire : AB.AC=(AB)×(AC)×cosBAC^\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= ||(\overrightarrow{AB})||\times ||(\overrightarrow{AC})||\times cos \widehat{BAC}
  • Si AB\overrightarrow {AB} et AC\overrightarrow {AC} sont deux vecteurs de l’espace et si HH est le projeté orthogonal du point CC sur la droite alors : AB.AC=AB.AH\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}.

Propriétés :

  • Si u\overrightarrow {u} et v\overrightarrow {v} sont deux vecteurs de l’espace, alors : u.v=12(u2+v2uv2)\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}={1\over 2}( ||\overrightarrow{u}||^2+ ||\overrightarrow{v}||^2- ||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2)
  • Dans un repère orthonormé de l’espace, si u(x;y;z)\overrightarrow {u}(x;y;z) et v(x;y;z)\overrightarrow {v}(x';y';z') sont deux vecteurs, alors u.v=xx+yy+zz\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'

Formules de calcul :

  • u.v=v.u\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}
  • (ku).v=k(u.v)(k\overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})
  • u.(v+w)=u.v+u.w\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}
  • (u+v)2=u2+2u.v+v2(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^2={\overrightarrow{u}}^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v^2}
  • (uv)2=u22u.v+v2(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2={\overrightarrow{u}}^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v^2}
  • (u+v)(uv)=u2v2(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})=\overrightarrow{u^2}-\overrightarrow{v^2}

Produit scalaire et orthogonalité dans l’espace

Définition :

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux s’ils dirigent des droites orthogonales. Le vecteur nul, par convention, est orthogonal à tous les vecteurs de l’espace.

Propriété :

Deux vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont orthogonaux si, et seulement si, u.v=0\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0

Propriété :

Soit dd, une droite de vecteur directeur u\overrightarrow{u}.

Soit P P un plan dirigé par un couple (u;v)(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v}) de vecteurs non colinéaires v\overrightarrow{v'} un vecteur quelconque de ce plan non confondu et non colinéaire avec v\overrightarrow{v}. La droite dd est orthogonale au plan PP si, et seulement si, u.v=0\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 et u.v=0\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v'}=0

En somme, une droite est orthogonale à un plan si un vecteur directeur de cette droite est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Définitions :

Un vecteur n\overrightarrow{n} est normal à un plan PP si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de PP.

Propriété :

Un vecteur normal à un plan est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan.

Méthode pour démontrer qu’un vecteur est normal à un plan :

Du fait de la propriété précédente, pour démontrer qu’un vecteur est normal à un plan, il faut et il suffit de démontrer qu’il est normal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Propriétés : Tous les vecteurs normaux à un plan sont colinéaires entre eux

  • Deux plans sont parallèles si, et seulement si, un vecteur normal à l’un est colinéaire à un vecteur normal à l’autre.
  • Deux plans sont perpendiculaires si, et seulement si, un vecteur normal à l'un est orthogonal à un vecteur normal à l’autre.

Équation cartésienne d’un plan

Définition :

Un plan de vecteur normal n(abc)\overrightarrow {n}\left( \begin{array}{ c c } a \ b\ c \end{array} \right) a une équation de la forme ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0dd désigne un nombre réel. On dit que c’est une équation cartésienne de ce plan.

Réciproque :

Si a,b,ca, b, c et dd sont quatre nombres réels donnés avec a,ba, b et cc non tous nuls, l’ensemble des points M(x,y,z)M(x,y,z) tels que ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 est un plan de vecteur normal n(abc)\overrightarrow {n}\left( \begin{array}{ c c } a \ b\ c \end{array} \right).