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Définition (rappel) : produit scalaire dans le plan
Si et sont deux vecteurs du plan, on appelle produit scalaire de par le nombre réel noté égal à : .
Produit scalaire dans l’espace
Définition : produit scalaire dans l’espace
Si et sont deux points de l’espace et si est un vecteur de l’espace tels que alors la norme du vecteur notée est la distance .
Ainsi, .
Propriétés : norme d’un vecteur de l’espace
Propriétés :
Propriétés :
Formules de calcul :
Produit scalaire et orthogonalité dans l’espace
Définition :
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux s’ils dirigent des droites orthogonales. Le vecteur nul, par convention, est orthogonal à tous les vecteurs de l’espace.
Propriété :
Deux vecteurs et sont orthogonaux si, et seulement si,
Propriété :
Soit , une droite de vecteur directeur .
Soit un plan dirigé par un couple de vecteurs non colinéaires un vecteur quelconque de ce plan non confondu et non colinéaire avec . La droite est orthogonale au plan si, et seulement si, et
En somme, une droite est orthogonale à un plan si un vecteur directeur de cette droite est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
Définitions :
Un vecteur est normal à un plan si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de .
Propriété :
Un vecteur normal à un plan est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan.
Méthode pour démontrer qu’un vecteur est normal à un plan :
Du fait de la propriété précédente, pour démontrer qu’un vecteur est normal à un plan, il faut et il suffit de démontrer qu’il est normal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
Propriétés : Tous les vecteurs normaux à un plan sont colinéaires entre eux
Équation cartésienne d’un plan
Définition :
Un plan de vecteur normal a une équation de la forme où désigne un nombre réel. On dit que c’est une équation cartésienne de ce plan.
Réciproque :
Si et sont quatre nombres réels donnés avec et non tous nuls, l’ensemble des points tels que est un plan de vecteur normal .