Produit scalaire des vecteurs

Définition (rappel) : produit scalaire dans le plan

Si $\overrightarrow {u}$ et $\overrightarrow {v}$ sont deux vecteurs du plan, on appelle produit scalaire de $\overrightarrow {u}$ par $\overrightarrow {v}$ le nombre réel noté $\overrightarrow {u}.\overrightarrow {v}$ égal à : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= ||(\overrightarrow{u})||\times ||(\overrightarrow{v})||\times cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

Produit scalaire dans l’espace

Définition : produit scalaire dans l’espace

Si $A$ et $B$ sont deux points de l’espace et si $\overrightarrow {u}$ est un vecteur de l’espace tels que $\overrightarrow {u}=\overrightarrow {AB}$ alors la norme du vecteur $\overrightarrow {u}$ notée $\parallel \overrightarrow {u}\parallel$ est la distance $AB$.

Ainsi, $||\overrightarrow {u}||=AB$.

Propriétés : norme d’un vecteur de l’espace

• Si $\overrightarrow {u}$ a pour coordonnées $\overrightarrow {u}\left( \begin{array}{ c c } x \\ y\\ z \end{array} \right)$ alors: $\parallel \overrightarrow {u} \parallel=\sqrt{(x^2+y^2+z^2)}$
• Si $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$, alors : $\parallel \overrightarrow {AB}\parallel =AB=\sqrt{((x_B-x_A )^2+(y_B-y_A )^2+(z_B-z_A)^2) }$

Propriétés :

• Si $\overrightarrow {u}$ et $\overrightarrow {v}$ sont deux vecteurs de l’espace. Le produit scalaire de $\overrightarrow {u}$ par $\overrightarrow {v}$ noté $\overrightarrow {u}.\overrightarrow {v}$ vaut : $\overrightarrow{u}= ||(\overrightarrow{u})||\times ||(\overrightarrow{v})||\times cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$
• Si $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$ sont deux représentants des vecteurs non nuls $\overrightarrow {u}$ et $\overrightarrow {v}$, on peut écrire : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}= ||(\overrightarrow{AB})||\times ||(\overrightarrow{AC})||\times cos \widehat{BAC}$
• Si $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$ sont deux vecteurs de l’espace et si $H$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite alors : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}$.

Propriétés :

• Si $\overrightarrow {u}$ et $\overrightarrow {v}$ sont deux vecteurs de l’espace, alors : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}={1\over 2}( ||\overrightarrow{u}||^2+ ||\overrightarrow{v}||^2- ||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2)$
• Dans un repère orthonormé de l’espace, si $\overrightarrow {u}(x;y;z)$ et $\overrightarrow {v}(x';y';z')$ sont deux vecteurs, alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$

Formules de calcul :

• $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
• $(k\overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$
• $\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$
• $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^2={\overrightarrow{u}}^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v^2}$
• $(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2={\overrightarrow{u}}^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v^2}$
• $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})=\overrightarrow{u^2}-\overrightarrow{v^2}$

Produit scalaire et orthogonalité dans l’espace

Définition :

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux s’ils dirigent des droites orthogonales. Le vecteur nul, par convention, est orthogonal à tous les vecteurs de l’espace.

Propriété :

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

Propriété :

Soit $d$, une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.

Soit $ P$ un plan dirigé par un couple $(\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v})$ de vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{v'}$ un vecteur quelconque de ce plan non confondu et non colinéaire avec $\overrightarrow{v}$. La droite $d$ est orthogonale au plan $P$ si, et seulement si, $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$ et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v'}=0$

En somme, une droite est orthogonale à un plan si un vecteur directeur de cette droite est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Définitions :

Un vecteur $\overrightarrow{n}$ est normal à un plan $P$ si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $P$.

Propriété :

Un vecteur normal à un plan est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan.

Méthode pour démontrer qu’un vecteur est normal à un plan :

Du fait de la propriété précédente, pour démontrer qu’un vecteur est normal à un plan, il faut et il suffit de démontrer qu’il est normal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Propriétés : Tous les vecteurs normaux à un plan sont colinéaires entre eux

• Deux plans sont parallèles si, et seulement si, un vecteur normal à l’un est colinéaire à un vecteur normal à l’autre.
• Deux plans sont perpendiculaires si, et seulement si, un vecteur normal à l'un est orthogonal à un vecteur normal à l’autre.

Équation cartésienne d’un plan

Définition :

Un plan de vecteur normal $\overrightarrow {n}\left( \begin{array}{ c c } a \\ b\\ c \end{array} \right)$ a une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$ où $d$ désigne un nombre réel. On dit que c’est une équation cartésienne de ce plan.

Réciproque :

Si $a, b, c$ et $d$ sont quatre nombres réels donnés avec $a, b$ et $c$ non tous nuls, l’ensemble des points $M(x,y,z)$ tels que $ax+by+cz+d=0$ est un plan de vecteur normal $\overrightarrow {n}\left( \begin{array}{ c c } a \\ b\\ c \end{array} \right)$.