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Produit scalaire des vecteurs

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Introduction :

Dans ce cours, nous allons commencer par étendre la notion de produit scalaire à l’espace puis nous ferons le lien entre produit scalaire et orthogonalité dans l’espace pour arriver enfin aux notions de vecteur normal et d’équation cartésienne d’un plan.

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Rappel

Le produit scalaire

Si u\overrightarrow {u} et v\overrightarrow {v} sont deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u\overrightarrow {u} par v\overrightarrow {v} le nombre réel noté u.v\overrightarrow {u}.\overrightarrow {v} égal à : u.v=(u)×(v)×cos(u,v)\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= ||(\overrightarrow{u})||\times ||(\overrightarrow{v})||\times cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}).

Extension du produit scalaire à l’espace

Norme d’un vecteur de l’espace

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Définition

Norme d’un vecteur de l’espace :

Si AA et BB sont deux points de l’espace et si u\overrightarrow {u} est un vecteur de l’espace tels que u=AB\overrightarrow {u}=\overrightarrow {AB} alors la norme du vecteur u\overrightarrow {u} notée u||\overrightarrow {u}|| est la distance ABAB.

Ainsi, u=AB||\overrightarrow {u}||=AB.

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Astuce

On retiendra que la norme d’un vecteur correspond toujours à une longueur.

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Propriété

  • Si u\overrightarrow {u} a pour coordonnées u(xyz)\overrightarrow {u}\left( \begin{array}{ c c } x \ y\ z \end{array} \right) alors u=(x2+y2+z2)\parallel \overrightarrow {u}\parallel =\sqrt{(x^2+y^2+z^2)}
  • Si A(xA ; yA ; zA)A(xA\ ;\ yA\ ;\ zA) et B(xB ; yB ; zB)B(xB\ ;\ yB\ ;\ zB), alors : AB=AB=((xBxA)2+(yByA)2+(zBzA)2)\parallel \overrightarrow {AB}\parallel =AB=\sqrt{((xB-xA )^2+(yB-yA )^2+(zB-zA)^2) }
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Exemple

Soit A(3;4;2)A(3;4;-2)et B(1;6;0)B(1;6;0).

Calculons la norme du vecteur AB\overrightarrow {AB}.

AB=AB=((13)2+(64)2+(0(2)2)=(2)2+22+22=4+4+4=12\begin{aligned}||\overrightarrow {AB}||=AB&=\sqrt{((1-3 )^2+(6-4 )^2+(0-(-2)^2)} \ &=\sqrt{(-2)^2+2^2+2^2}\&=\sqrt{4+4+4}\&=\sqrt{12}\end{aligned}

Expressions du produit scalaire

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Propriété

  • Si u\overrightarrow {u} et v\overrightarrow {v} sont deux vecteurs de l’espace, le produit scalaire de u\overrightarrow {u} par v\overrightarrow {v}, noté uv\overrightarrow {u} \cdot \overrightarrow {v}, vaut : u=(u)×(v)×cos(u,v)\overrightarrow{u}= ||(\overrightarrow{u})||\times ||(\overrightarrow{v})||\times cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})
    Si AB\overrightarrow {AB} et AC\overrightarrow {AC} sont deux représentants des vecteurs non nuls u\overrightarrow {u} et v\overrightarrow {v}, on peut écrire : ABAC=(AB)×(AC)×cosBAC^\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}= ||(\overrightarrow{AB})||\times ||(\overrightarrow{AC})||\times cos \widehat{BAC}

Cette approche géométrique n’est pas la plus utilisée car, dans les exercices, on dispose rarement de la mesure de l’angle considéré. C’est pour cette raison que l’on fait souvent intervenir la notion de projeté orthogonal avec la propriété suivante.

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Propriété

  • Si AB\overrightarrow {AB} et AC\overrightarrow {AC} sont deux vecteurs de l’espace et si HH est le projeté orthogonal du point CC sur la droite alors : ABAC=ABAH\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}

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Astuce

Calculer le produit scalaire ABAH\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} s’avère beaucoup plus facile puisque l’angle (ABAH)(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}) est connu.

  • Si les vecteurs AB\overrightarrow {AB} et AH\overrightarrow {AH} vont dans le même sens : (ABAH)=0°(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH})=0\degree et cos(ABAH)=1cos(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH})=1 donc ABAH=AB×AH\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}=AB\times AH.
  • Si les vecteurs AB\overrightarrow {AB} et AH\overrightarrow {AH} ne vont pas dans le même sens : (ABAH)=180°(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH})=180\degree et cos(ABAH)=1cos(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH})=-1 donc ABAH=AB×AH\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}=-AB\times AH.
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Propriété

  • Si u\overrightarrow {u} et v\overrightarrow {v} sont deux vecteurs de l’espace, alors : uv=12(u2+v2uv2)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}={1\over 2}( ||\overrightarrow{u}||^2+ ||\overrightarrow{v}||^2- ||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2)
  • Dans un repère orthonormé de l’espace, si u(x;y;z)\overrightarrow {u}(x;y;z) et v(x;y;z)\overrightarrow {v}(x';y';z') sont deux vecteurs, alors uv=xx+yy+zz\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'
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Exemple

Soit u(2;4;5)\overrightarrow {u}(2;4;5) et v(8;2;4)\overrightarrow {v}(8;2;-4). Calculons le produit scalaire de ces deux vecteurs.

uv=2×8+4×2+5×(4)=16+820=4\begin{aligned}\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}&=2\times 8+4\times 2+5\times (-4)\&=16+8-20 \&=4\end{aligned}

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Propriété

Pour tous vecteurs u\overrightarrow {u}, v\overrightarrow {v} et w\overrightarrow {w} et tout nombre réel kk :

  • uv=vu\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}

  • (ku)v=k(uv)(k\overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})

  • u(v+w)=uv+uw\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}

  • (u+v)2=u2+2uv+v2(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^2 ={\overrightarrow{u}}^2+2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}+{\overrightarrow{v}}^2

  • (uv)2=u22uv+v2(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2 ={\overrightarrow{u}}^2-2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}^2

  • (u+v)(uv)=u2v2(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) ={\overrightarrow{u}}^2-\overrightarrow{v}^2

Produit scalaire et orthogonalité dans l’espace

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Définition

Vecteurs orthogonaux :

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux s’ils dirigent des droites orthogonales. Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l’espace.

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Propriété

Deux vecteurs u\overrightarrow {u} et v\overrightarrow {v} sont orthogonaux si, et seulement si, uv=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0.

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Propriété

Soit dd une droite de vecteur directeur u\overrightarrow {u}. Soit PP un plan dirigé par un couple (v;v)(\overrightarrow {v};\overrightarrow {v'}) de vecteurs non colinéaires.

La droite est orthogonale au plan PP si, et seulement si uv=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0 et uv=0\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v'}=0

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Astuce

Une droite est orthogonale à un plan si un vecteur directeur de cette droite est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Équation cartésienne d’un plan

Vecteur normal à un plan

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Définition

Vecteur normal :

Un vecteur n\overrightarrow {n} non nul est normal à un plan P P si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P P.

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Propriété

Un vecteur normal à un plan est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan.

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Astuce

Pour montrer qu’un vecteur est normal à un plan, il suffit de vérifier qu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Une fois que l’on sait qu’il est vecteur normal au plan, on peut en déduire qu’il est orthogonal à tous les vecteurs du plan.

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Propriété

Tous les vecteurs normaux à un plan sont colinéaires entre eux.

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Propriété

Deux plans sont parallèles si, et seulement si, un vecteur normal de l’un est colinéaire à un vecteur normal de l’autre.

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Propriété

Deux plans sont perpendiculaires si, et seulement si, un vecteur normal à l’un est orthogonal à un vecteur normal à l’autre.

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Exemple

On considère dans le repère orthonormé (O;i;j;k)(O;\overrightarrow {i};\overrightarrow {j};\overrightarrow {k}) les points A(1;1;3)A(1;1;3), B(3;1;1)B(-3;1;1) et C(1;0;1)C(-1;0;1).

On souhaite montrer que le vecteur n(1;2;2)\overrightarrow {n}(1;2;-2) est un vecteur normal au plan (ABC)(ABC).

  • Calcul des coordonnées de deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC)(ABC) comme par exemple AB\overrightarrow {AB} et AC\overrightarrow {AC}.

AB(31;11;13)=AB(4;0;2)\overrightarrow {AB}(-3-1;1-1;1-3)=\overrightarrow {AB}(-4;0;-2) AC(11;01;13)=AC(2;1;2)\overrightarrow {AC}(-1-1;0-1;1-3)=\overrightarrow {AC}(-2;-1;-2)

  • Vérification que n\overrightarrow {n} est bien orthogonal à AB\overrightarrow {AB} et à AC\overrightarrow {AC}.

Pour cela, nous allons utiliser le produit scalaire.

nAB=(122)(402)=1×(4)+2×0+(2)×(2)=4+4=0\begin{aligned}\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB}&= \left( \begin{array}{ c c } 1 \ 2\ -2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ c c } -4 \ 0\ -2 \end{array} \right)\ &=1\times (-4)+2\times 0+(-2)\times (-2) \&=-4+4 \ &=0\end{aligned}

  • n\overrightarrow {n} est donc orthogonal à AB\overrightarrow {AB}.

nAC=(122)(212)=1×(2)+2×(1)+(2)×(2)=22+4=0\begin{aligned}\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC}&= \left( \begin{array}{ c c } 1 \ 2\ -2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ c c } -2 \ -1\ -2 \end{array} \right)\ &=1\times (-2)+2\times (-1)+(-2)\times (-2)\ &=-2-2+4\ &=0\end{aligned}

  • n\overrightarrow {n} est donc orthogonal à AC\overrightarrow {AC}.

Puisque n\overrightarrow {n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC)(ABC) alors n\overrightarrow {n} est un vecteur normal au plan (ABC)(ABC).

Équation cartésienne d’un plan

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Définition

Équation cartésienne d’un plan :

Un plan de vecteur normal n(a;b;c)\overrightarrow {n}(a;b;c) a une équation de la forme ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0dd désigne un nombre réel. On dit que c’est une équation cartésienne de ce plan.

Reciproquement, si aa, bb, cc et dd sont quatre nombres réels donnés avec aa, bb et cc non tous nuls, l’ensemble des points M(x;y;z)M(x;y;z) tels que ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 est un plan de vecteur normal n(a;b;c)\overrightarrow {n}(a;b;c).

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Exemple

Reprenons l’exemple précédent.

Nous avons démontré que n(1;2;2)\overrightarrow {n}(1;2;-2) était un vecteur normal du plan (ABC).(ABC).

Déterminons une équation cartésienne de ce plan.

D’après les coordonnées du vecteur normal, a=1;a=1; b=2b=2 et c=2c=-2 donc une équation est : 1x+2y2z+d=01x+2y-2z+d=0

Or A(ABC)A∈(ABC) donc :

1×xA+2×yA2×zA+d=01×1+2×12×3+d=01+26+d=03+d=0d=3\begin{aligned}1×xA+2×yA-2×z_A+d=0 \ \Leftrightarrow 1×1+2×1-2×3+d=0 \ \Leftrightarrow 1+2-6+d=0 \ \Leftrightarrow -3+d=0 \ \Leftrightarrow d=3\end{aligned}

  • Une équation cartésienne de (ABC)(ABC) est donc : x+2y2z+3=0x+2y-2z+3=0.