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Produit scalaire des vecteurs
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Introduction :
Dans ce cours, nous allons commencer par étendre la notion de produit scalaire à l’espace puis nous ferons le lien entre produit scalaire et orthogonalité dans l’espace pour arriver enfin aux notions de vecteur normal et d’équation cartésienne d’un plan.
Le produit scalaire
Si et sont deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de par le nombre réel noté égal à : .
Extension du produit scalaire à l’espace
Norme d’un vecteur de l’espace
Norme d’un vecteur de l’espace :
Si et sont deux points de l’espace et si est un vecteur de l’espace tels que alors la norme du vecteur notée est la distance .
Ainsi, .
On retiendra que la norme d’un vecteur correspond toujours à une longueur.
Soit et .
Calculons la norme du vecteur .
Expressions du produit scalaire
Cette approche géométrique n’est pas la plus utilisée car, dans les exercices, on dispose rarement de la mesure de l’angle considéré. C’est pour cette raison que l’on fait souvent intervenir la notion de projeté orthogonal avec la propriété suivante.
Calculer le produit scalaire s’avère beaucoup plus facile puisque l’angle est connu.
Soit et . Calculons le produit scalaire de ces deux vecteurs.
Pour tous vecteurs , et et tout nombre réel :
Produit scalaire et orthogonalité dans l’espace
Vecteurs orthogonaux :
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux s’ils dirigent des droites orthogonales. Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l’espace.
Deux vecteurs et sont orthogonaux si, et seulement si, .
Soit une droite de vecteur directeur . Soit un plan dirigé par un couple de vecteurs non colinéaires.
La droite est orthogonale au plan si, et seulement si et
Une droite est orthogonale à un plan si un vecteur directeur de cette droite est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
Équation cartésienne d’un plan
Vecteur normal à un plan
Vecteur normal :
Un vecteur non nul est normal à un plan si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de .
Un vecteur normal à un plan est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan.
Pour montrer qu’un vecteur est normal à un plan, il suffit de vérifier qu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Une fois que l’on sait qu’il est vecteur normal au plan, on peut en déduire qu’il est orthogonal à tous les vecteurs du plan.
Tous les vecteurs normaux à un plan sont colinéaires entre eux.
Deux plans sont parallèles si, et seulement si, un vecteur normal de l’un est colinéaire à un vecteur normal de l’autre.
Deux plans sont perpendiculaires si, et seulement si, un vecteur normal à l’un est orthogonal à un vecteur normal à l’autre.
On considère dans le repère orthonormé les points , et .
On souhaite montrer que le vecteur est un vecteur normal au plan .
Pour cela, nous allons utiliser le produit scalaire.
Puisque est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan alors est un vecteur normal au plan .
Équation cartésienne d’un plan
Équation cartésienne d’un plan :
Un plan de vecteur normal a une équation de la forme où désigne un nombre réel. On dit que c’est une équation cartésienne de ce plan.
Reciproquement, si , , et sont quatre nombres réels donnés avec , et non tous nuls, l’ensemble des points tels que est un plan de vecteur normal .
Reprenons l’exemple précédent.
Nous avons démontré que était un vecteur normal du plan
Déterminons une équation cartésienne de ce plan.
D’après les coordonnées du vecteur normal, et donc une équation est :
Or donc :