Produit scalaire des vecteurs
Introduction :
Dans ce cours, nous allons commencer par étendre la notion de produit scalaire à l’espace puis nous ferons le lien entre produit scalaire et orthogonalité dans l’espace pour arriver enfin aux notions de vecteur normal et d’équation cartésienne d’un plan.
Rappel
Le produit scalaire
Si $\overrightarrow {u}$ et $\overrightarrow {v}$ sont deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de $\overrightarrow {u}$ par $\overrightarrow {v}$ le nombre réel noté $\overrightarrow {u}.\overrightarrow {v}$ égal à : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}= ||(\overrightarrow{u})||\times ||(\overrightarrow{v})||\times cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
Extension du produit scalaire à l’espace
Extension du produit scalaire à l’espace
Norme d’un vecteur de l’espace
Norme d’un vecteur de l’espace
Définition
Norme d’un vecteur de l’espace :
Si $A$ et $B$ sont deux points de l’espace et si $\overrightarrow {u}$ est un vecteur de l’espace tels que $\overrightarrow {u}=\overrightarrow {AB}$ alors la norme du vecteur $\overrightarrow {u}$ notée $||\overrightarrow {u}||$ est la distance $AB$.
Ainsi, $||\overrightarrow {u}||=AB$.
Astuce
On retiendra que la norme d’un vecteur correspond toujours à une longueur.
Propriété
- Si $\overrightarrow {u}$ a pour coordonnées $\overrightarrow {u}\left( \begin{array}{ c c } x \\ y\\ z \end{array} \right)$ alors $\parallel \overrightarrow {u}\parallel =\sqrt{(x^2+y^2+z^2)}$
- Si $A(x_A\ ;\ y_A\ ;\ z_A)$ et $B(x_B\ ;\ y_B\ ;\ z_B)$, alors : $\parallel \overrightarrow {AB}\parallel =AB=\sqrt{((x_B-x_A )^2+(y_B-y_A )^2+(z_B-z_A)^2) }$
Exemple
Soit $A(3;4;-2)$et $B(1;6;0)$.
Calculons la norme du vecteur $\overrightarrow {AB}$.
$\begin{aligned}||\overrightarrow {AB}||=AB&=\sqrt{((1-3 )^2+(6-4 )^2+(0-(-2)^2)} \\ &=\sqrt{(-2)^2+2^2+2^2}\\&=\sqrt{4+4+4}\\&=\sqrt{12}\end{aligned}$
Expressions du produit scalaire
Expressions du produit scalaire
Propriété
- Si $\overrightarrow {u}$ et $\overrightarrow {v}$ sont deux vecteurs de l’espace, le produit scalaire de $\overrightarrow {u}$ par $\overrightarrow {v}$, noté $\overrightarrow {u} \cdot \overrightarrow {v}$, vaut : $\overrightarrow{u}= ||(\overrightarrow{u})||\times ||(\overrightarrow{v})||\times cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$
Si $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$ sont deux représentants des vecteurs non nuls $\overrightarrow {u}$ et $\overrightarrow {v}$, on peut écrire : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}= ||(\overrightarrow{AB})||\times ||(\overrightarrow{AC})||\times cos \widehat{BAC}$
Cette approche géométrique n’est pas la plus utilisée car, dans les exercices, on dispose rarement de la mesure de l’angle considéré. C’est pour cette raison que l’on fait souvent intervenir la notion de projeté orthogonal avec la propriété suivante.
Propriété
- Si $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$ sont deux vecteurs de l’espace et si $H$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite alors : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$
Astuce
Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$ s’avère beaucoup plus facile puisque l’angle $(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH})$ est connu.
- Si les vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AH}$ vont dans le même sens : $(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH})=0\degree$ et $cos(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH})=1$ donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}=AB\times AH$.
- Si les vecteurs $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AH}$ ne vont pas dans le même sens : $(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH})=180\degree$ et $cos(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH})=-1$ donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}=-AB\times AH$.
Propriété
- Si $\overrightarrow {u}$ et $\overrightarrow {v}$ sont deux vecteurs de l’espace, alors : $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}={1\over 2}( ||\overrightarrow{u}||^2+ ||\overrightarrow{v}||^2- ||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2)$
- Dans un repère orthonormé de l’espace, si $\overrightarrow {u}(x;y;z)$ et $\overrightarrow {v}(x';y';z')$ sont deux vecteurs, alors $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$
Exemple
Soit $\overrightarrow {u}(2;4;5)$ et $\overrightarrow {v}(8;2;-4)$. Calculons le produit scalaire de ces deux vecteurs.
$\begin{aligned}\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}&=2\times 8+4\times 2+5\times (-4)\\&=16+8-20 \\&=4\end{aligned}$
Propriété
Pour tous vecteurs $\overrightarrow {u}$, $\overrightarrow {v}$ et $\overrightarrow {w}$ et tout nombre réel $k$ :
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$
$(k\overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})$
$\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$
$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})^2 ={\overrightarrow{u}}^2+2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}+{\overrightarrow{v}}^2$
$(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})^2 ={\overrightarrow{u}}^2-2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}^2$
$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) \cdot (\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}) ={\overrightarrow{u}}^2-\overrightarrow{v}^2$
Produit scalaire et orthogonalité dans l’espace
Produit scalaire et orthogonalité dans l’espace
Définition
Vecteurs orthogonaux :
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux s’ils dirigent des droites orthogonales. Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l’espace.
Propriété
Deux vecteurs $\overrightarrow {u}$ et $\overrightarrow {v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0$.
Propriété
Soit $d$ une droite de vecteur directeur $\overrightarrow {u}$. Soit $P$ un plan dirigé par un couple $(\overrightarrow {v};\overrightarrow {v'})$ de vecteurs non colinéaires.
La droite est orthogonale au plan $P$ si, et seulement si $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0$ et $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v'}=0$
Astuce
Une droite est orthogonale à un plan si un vecteur directeur de cette droite est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
Équation cartésienne d’un plan
Équation cartésienne d’un plan
Vecteur normal à un plan
Vecteur normal à un plan
Définition
Vecteur normal :
Un vecteur $\overrightarrow {n}$ non nul est normal à un plan $ P$ si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $ P$.
Propriété
Un vecteur normal à un plan est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan.
Astuce
Pour montrer qu’un vecteur est normal à un plan, il suffit de vérifier qu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Une fois que l’on sait qu’il est vecteur normal au plan, on peut en déduire qu’il est orthogonal à tous les vecteurs du plan.
Propriété
Tous les vecteurs normaux à un plan sont colinéaires entre eux.
Propriété
Deux plans sont parallèles si, et seulement si, un vecteur normal de l’un est colinéaire à un vecteur normal de l’autre.
Propriété
Deux plans sont perpendiculaires si, et seulement si, un vecteur normal à l’un est orthogonal à un vecteur normal à l’autre.
Exemple
On considère dans le repère orthonormé $(O;\overrightarrow {i};\overrightarrow {j};\overrightarrow {k})$ les points $A(1;1;3)$, $B(-3;1;1)$ et $C(-1;0;1)$.
On souhaite montrer que le vecteur $\overrightarrow {n}(1;2;-2)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
- Calcul des coordonnées de deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$ comme par exemple $\overrightarrow {AB}$ et $\overrightarrow {AC}$.
$\overrightarrow {AB}(-3-1;1-1;1-3)=\overrightarrow {AB}(-4;0;-2)$ $\overrightarrow {AC}(-1-1;0-1;1-3)=\overrightarrow {AC}(-2;-1;-2)$
- Vérification que $\overrightarrow {n}$ est bien orthogonal à $\overrightarrow {AB}$ et à $\overrightarrow {AC}$.
Pour cela, nous allons utiliser le produit scalaire.
$\begin{aligned}\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB}&= \left( \begin{array}{ c c } 1 \\ 2\\ -2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ c c } -4 \\ 0\\ -2 \end{array} \right)\\ &=1\times (-4)+2\times 0+(-2)\times (-2) \\&=-4+4 \\ &=0\end{aligned}$
- $\overrightarrow {n}$ est donc orthogonal à $\overrightarrow {AB}$.
$\begin{aligned}\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC}&= \left( \begin{array}{ c c } 1 \\ 2\\ -2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ c c } -2 \\ -1\\ -2 \end{array} \right)\\ &=1\times (-2)+2\times (-1)+(-2)\times (-2)\\ &=-2-2+4\\ &=0\end{aligned}$
- $\overrightarrow {n}$ est donc orthogonal à $\overrightarrow {AC}$.
Puisque $\overrightarrow {n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$ alors $\overrightarrow {n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
Équation cartésienne d’un plan
Équation cartésienne d’un plan
Définition
Équation cartésienne d’un plan :
Un plan de vecteur normal $\overrightarrow {n}(a;b;c)$ a une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$ où $d$ désigne un nombre réel. On dit que c’est une équation cartésienne de ce plan.
Reciproquement, si $a$, $b$, $c$ et $d$ sont quatre nombres réels donnés avec $a$, $b$ et $c$ non tous nuls, l’ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que $ax+by+cz+d=0$ est un plan de vecteur normal $\overrightarrow {n}(a;b;c)$.
Exemple
Reprenons l’exemple précédent.
Nous avons démontré que $\overrightarrow {n}(1;2;-2)$ était un vecteur normal du plan $(ABC).$
Déterminons une équation cartésienne de ce plan.
D’après les coordonnées du vecteur normal, $a=1;$ $b=2$ et $c=-2$ donc une équation est : $1x+2y-2z+d=0$
Or $A∈(ABC)$ donc :
$\begin{aligned}1×x_A+2×y_A-2×z_A+d=0 \\ \Leftrightarrow 1×1+2×1-2×3+d=0 \\ \Leftrightarrow 1+2-6+d=0 \\ \Leftrightarrow -3+d=0 \\ \Leftrightarrow d=3\end{aligned}$
- Une équation cartésienne de $(ABC)$ est donc : $x+2y-2z+3=0$.