Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Marianne

Conforme au programme
officiel 2018 - 2019

Proportionnalité et pourcentages

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Introduction :

L’objectif de ce cours est de savoir reconnaître si une situation est de proportionnalité ou non, de savoir compléter un tableau de proportionnalité et de savoir appliquer un pourcentage à un nombre.
Dans un premier temps, nous apprendrons à reconnaître si une situation est de proportionnalité ou non. Dans un deuxième temps, nous apprendrons à compléter un tableau de proportionnalité et, dans un troisième temps, nous montrerons comment appliquer un pourcentage à un nombre.

Reconnaître une situation de proportionnalité

bannière definition

Définition

Situation de proportionnalité :

Situation dans laquelle deux grandeurs sont proportionnelles.

bannière definition

Définition

Grandeurs proportionnelles :

On dit que deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l’on peut obtenir l’une à partir de l’autre en la multipliant par un nombre appelé « coefficient de proportionnalité ».

bannière exemple

Exemple

Un groupe d’adultes visite un musée pour lequel le tarif d’entrée est de 77 € par personne.
Nous obtenons le tableau suivant :

tableau de proportionnalité

Nous avons les égalités suivantes :
71=142=355=568=7\frac{7}{1} = \frac{14}{2} = \frac{35}{5} = \frac{56}{8} = 7

Dans ce tableau, on obtient le prix à payer (en €) en multipliant le nombre d’entrées par 77.

  • Il s’agit donc d’un tableau de proportionnalité dont le coefficient de proportionnalité est 77.

Le tableau suivant indique le prix de paquets de bonbons dans un supermarché.

tableau de proportionnalité

Ici, nous avons :
2,501=52=7,503=2,5\frac{2,50}{1} = \frac{5}{2} = \frac{7,50}{3} = 2,5 et 94=2,252,5\frac{9}{4} = 2,25 \neq 2,5

  • Le tableau n’est donc pas un tableau de proportionnalité : il y a une réduction pour le quatrième paquet de bonbons acheté.

Une personne achète des tomates dans une épicerie : elles sont vendues 33 € le kilogramme.
Nous obtenons le tableau suivant :

tableau de proportionnalité

Nous avons les égalités suivantes :
1,500,5=31=3,601,20=4,501,5=3\frac{1,50}{0,5} = \frac{3}{1} = \frac{3,60}{1,20} = \frac{4,50}{1,5} = 3

Dans ce tableau, on obtient le prix à payer (en €) en multipliant la quantité achetée par 33.

  • Il s’agit donc d’un tableau de proportionnalité dont le coefficient de proportionnalité est 33.

Le tableau suivant indique l’aire d’un carré en fonction de la longueur de son côté.

tableau de proportionnalité

Nous avons :
42=2\frac{4}{2} = 2 ; 93=3\frac{9}{3} = 3 ; 164=4\frac{16}{4} = 4 et 255=5\frac{25}{5} = 5

  • Les quotients ne sont pas égaux, le tableau n’est donc pas un tableau de proportionnalité.

Compléter un tableau de proportionnalité

MÉTHODE

  • Pour compléter un tableau de proportionnalité, on doit d’abord trouver son coefficient de proportionnalité : il s’agit de la valeur correspondant à « l’unité ».
  • On peut ensuite compléter le tableau de proportionnalité à l’aide de multiplications ou de divisions en utilisant le coefficient de proportionnalité.
bannière exemple

Exemple

On souhaite compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous qui indique le montant payé pour un plein d’essence en fonction du nombre de litres d’essence achetés.

tableau de proportionnalité

Commençons par calculer le coefficient de proportionnalité de ce tableau : 4230=1,4\frac{42}{30} = 1,4

Cette valeur est le prix au litre de l’essence : pour chaque litre d’essence acheté, on payera 1,401,40 €.

On peut ensuite compléter le tableau.

  • Pour 1010 litres, on payera 10×1,4=1410\times 1,4 = 14 €.
  • Pour 2020 litres, on payera 20×1,4=2820\times 1,4 = 28 €.
  • Pour 4040 litres, on payera 40×1,4=5640\times 1,4 = 56 €.
  • Pour 5050 litres, on payera 50×1,4=7050\times 1,4 = 70 €.
  • Si l’on paye 8484 €, on obtiendra 841,4=60\frac{84}{1,4} = 60 litres d’essence.

On obtient donc le tableau de proportionnalité suivant.

tableau de proportionnalité

On souhaite compléter le tableau de proportionnalité ci-dessous qui indique le montant payé pour des kiwis dans une épicerie. Ils sont vendus 0,600,60 € à l’unité.

tableau de proportionnalité

D’après l’énoncé, le coefficient de proportionnalité de ce tableau est 0,60,6.

On peut maintenant compléter le tableau.

  • Pour acheter 11 kiwi, on payera 0,600,60 €.
  • Pour acheter 22 kiwis, on payera 2×0,6=1,202\times 0,6 = 1,20 €.
  • Pour acheter 55 kiwis, on payera 5×0,6=35\times 0,6 = 3 €.
  • Pour acheter 1212 kiwis, on payera 12×0,6=7,2012\times 0,6 = 7,20 €.
  • Pour 2,402,40 €, on obtiendra 2,400,6=4\frac{2,40}{0,6} = 4 kiwis.
  • Pour 4,804,80 €, on obtiendra 4,800,6=8\frac{4,80}{0,6} = 8 kiwis.

On obtient donc le tableau de proportionnalité suivant.

tableau de proportionnalité

Appliquer un pourcentage

Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité.

Appliquer un pourcentage à un nombre revient à effectuer une multiplication : il s’agit de multiplier la fraction qui correspond au pourcentage par le nombre.

bannière definition

Définition

Pourcentage :

Un pourcentage représente la proportion d’une quantité comparée à 100100. Il s’exprime sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est 100100.

52 %52\ \% se lit « cinquante-deux pour cent ».

bannière exemple

Exemple

Un réservoir de voiture de contenance 60 L60\text{ L} est plein à 40 %40\ \%.
Calculons combien il contient de litres d’essence.

100 %100\ \% du réservoir correspondent à 60 L60\text{ L}.
Nous devons chercher ici à combien de litres correspondent 40 %40\ \% du réservoir.

On peut représenter la situation à l’aide d’un tableau de proportionnalité.

tableau de proportionnalité

  • Le réservoir contient donc 40100×60=40×60100=2 400100=24 L\frac{40}{100} \times 60 = \frac{40\times 60}{100} = \frac{2~400}{100} = 24 \text{ L}.

Un ordinateur portable a une autonomie de 150150 minutes. Sachant que sa batterie est pleine à 60 %60\ \%.
Calculons le temps qu’il reste avant que l’ordinateur ne s’éteigne.

  • Avant que l’ordinateur ne s’éteigne, il reste 60100×150=60×150100=9 000100=90 min\frac{60}{100} \times 150 = \frac{60\times 150}{100} = \frac{9~000}{100} = 90\text{ min}.

Dans un collège de 500500 élèves, 25 %25\ \% des élèves font du sport en club.
Calculons combien d’élèves de ce collège font du sport en club.

  • Le nombre d’élèves de ce collège qui font du sport en club est 25100×500=25×500100=25×5=125\frac{25}{100} \times 500 = 25\times \frac{500}{100} = 25\times 5 = 125.

Pourcentages particuliers

bannière astuce

Astuce

Calculer 10 %10\ \% d’un nombre revient à le diviser par 1010.
Calculer 20 %20\ \% d’un nombre revient à le diviser par 55.
Calculer 25 %25\ \% d’un nombre revient à le diviser par 44.
Calculer 50 %50\ \% d’un nombre revient à le diviser par 22.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons appris à reconnaître une situation de proportionnalité et à utiliser le coefficient de proportionnalité afin de compléter un tableau de proportionnalité.
Enfin, nous avons vu qu’un pourcentage traduisait une situation de proportionnalité et nous avons appris à appliquer un pourcentage à un nombre.