Cours : Reconnaître un multiple et un diviseur

Reconnaître un multiple et un diviseur

Introduction :

Dans ce cours, nous allons voir ce que sont les multiples et les diviseurs.
Pour cela, nous commencerons par définir ces termes pour ensuite voir quelques exemples d’application. Nous étudierons enfin les différents critères de divisibilité.

Diviseur et multiple

Diviseur

Définition

Diviseur :

On dit qu’un nombre $b$ est un diviseur d’un nombre $a$ si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul.
Concrètement, dire que $b$ est un diviseur de $a$ signifie qu’il existe un entier $n$ tel que :
$$a = b \times n$$

Exemple

$4$ est un diviseur de $8$ car $8 = 4 \times 2$

Contre-exemple

$4$ n’est pas un diviseur de $10$ car il n’existe pas d’entier $n$ tel que $10 = 4 \times n$

En effet, si on effectue la division euclidienne de $10$ par $4$, on obtient :

$reconnaitre un multiple et un diviseur mathématiques quatrième$

$2 \times 4 = 8$ et $3 \times 4 = 12$
$3$ ne permet pas de résoudre l’équation car $12 > 10$.
On inscrit le $2$ sous le $4$ puis on effectue la multiplication $2 \times 4 = 8$ et on inscrit le résultat sous le $10$.
On effectue la soustraction $10 - 8 = 2$
On constate que dans $2$ on ne peut pas mettre $4$ car $2 < 4$.
Le résultat de la division euclidienne de $10$ par $4$ est donc $2$ et il reste $2$ :
$10=4 \times 2 +2$
$4$ n’est donc pas un diviseur de $10$ car il y a un reste.

Multiple

Définition

Multiple :

On dit qu’un nombre $a$ est un multiple d’un nombre $b$ si $a$ est le résultat de la multiplication de $b$ par un entier.
Concrètement, dire que $a$ est un multiple de $b$ signifie qu’il existe un entier $n$ tel que : $a = b \times n$

Exemple

$20$ est un multiple de $4$ car $4 \times 5 = 20$

Contre-exemple

$20$ n’est pas un multiple de $3$ car il n’existe pas d’entier $n$ tel que $20 = 3 \times n$

En effet, on a $3 \times 6 = 18 < 20$ et $3 \times 7 = 21 > 20$

Quelques applications

On peut écrire que $63 = 9 \times 7$ ou que $63 \div 9 = 7$, ou encore que $63 \div 7 = 9$

Ces égalités peuvent se traduire de différentes façons :

$9$ est un diviseur de $63$ ;
$7$ est un diviseur de $63$ ;
$63$ est un multiple de $7$ ;
$63$ est un multiple de $9$.

Ainsi, un même nombre peut être le multiple de plusieurs nombres et peut avoir plusieurs diviseurs.

Exemple

$4$ est-il un diviseur de $12$ ?

Pour vérifier, on applique la division euclidienne.

$Reconnaitre un multiple et un diviseur mathématiques quatrième$

Dans $12$, combien de fois trouve-t-on $4$ ? $3$ fois puisque $3 \times 4 = 12$
On inscrit le $3$ sous le $4$. On effectue la multiplication $3 \times 4 = 12$ et on inscrit le résultat sous le $12$.
On effectue la soustraction $12 - 12 = 0$
Le résultat de la division euclidienne de $12$ par $4$ est $3$ et il reste $0$ :
$12 = 4 \times 3 + 0$
$4$ est donc bien un diviseur de $12$ puisqu’il n’y a pas de reste.
On constate que $3$ est également un diviseur de $12$.
$12$ est donc un multiple de $3$ et de $4$.

Exemple

$12$ est-il un multiple de $6$ ?

On sait que $6 \times 2 = 12$
Donc $12$ est bien un multiple de $6$. C’est également un multiple de $2$.
$2$ et $6$ sont donc des diviseurs de $12$.
Si on reprend les résultats de l'exemple précédent, on remarque que $12$ à quatre diviseurs : $2$, $6$, $3$ et $4$.
$12$ est donc aussi un multiple de $2$, $6$, $3$ et $4$.

Conclusion :

On sait désormais reconnaitre un multiple et un diviseur. On sait également qu’un même nombre peut être le multiple de plusieurs nombres et peut avoir plusieurs diviseurs. Pour savoir rapidement si un nombre est divisible par un nombre, nous verrons dans le prochain cours qu’on peut utiliser des critères de divisibilités.