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Reconnaître un multiple et un diviseur

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Introduction :

Dans ce cours, nous allons voir ce que sont les multiples et les diviseurs.
Pour cela, nous commencerons par définir ces termes pour ensuite voir quelques exemples d’application. Nous étudierons enfin les différents critères de divisibilité.

Diviseur et multiple

Diviseur

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Définition

Diviseur :

On dit qu’un nombre bb est un diviseur d’un nombre aa si le reste de la division euclidienne de aa par bb est nul.
Concrètement, dire que bb est un diviseur de aa signifie qu’il existe un entier nn tel que :
a=b×na = b \times n

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Exemple

44 est un diviseur de 88 car 8=4×28 = 4 \times 2

Contre-exemple

44 n’est pas un diviseur de 1010 car il n’existe pas d’entier nn tel que 10=4×n10 = 4 \times n

En effet, si on effectue la division euclidienne de 1010 par 44, on obtient :

reconnaitre un multiple et un diviseur mathématiques quatrième

  • 2×4=82 \times 4 = 8 et 3×4=123 \times 4 = 12
  • 33 ne permet pas de résoudre l’équation car 12>1012 > 10.
  • On inscrit le 22 sous le 44 puis on effectue la multiplication 2×4=82 \times 4 = 8 et on inscrit le résultat sous le 1010.
  • On effectue la soustraction 108=210 - 8 = 2
  • On constate que dans 22 on ne peut pas mettre 44 car 2<42 < 4.
  • Le résultat de la division euclidienne de 1010 par 44 est donc 22 et il reste 22 :
    10=4×2+210=4 \times 2 +2
  • 44 n’est donc pas un diviseur de 1010 car il y a un reste.

Multiple

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Définition

Multiple :

On dit qu’un nombre aa est un multiple d’un nombre bb si aa est le résultat de la multiplication de bb par un entier.
Concrètement, dire que aa est un multiple de bb signifie qu’il existe un entier nn tel que : a=b×na = b \times n

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Exemple

2020 est un multiple de 44 car 4×5=204 \times 5 = 20

Contre-exemple

2020 n’est pas un multiple de 33 car il n’existe pas d’entier nn tel que 20=3×n20 = 3 \times n

En effet, on a 3×6=18<203 \times 6 = 18 < 20 et 3×7=21>203 \times 7 = 21 > 20

Quelques applications

On peut écrire que 63=9×763 = 9 \times 7 ou que 63÷9=763 \div 9 = 7, ou encore que 63÷7=963 \div 7 = 9

Ces égalités peuvent se traduire de différentes façons :

  • 99 est un diviseur de 6363 ;
  • 77 est un diviseur de 6363 ;
  • 6363 est un multiple de 77 ;
  • 6363 est un multiple de 99.

Ainsi, un même nombre peut être le multiple de plusieurs chiffres et peut avoir plusieurs diviseurs.

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Exemple

44 est-il un diviseur de 1212 ?

Pour vérifier, on applique la division euclidienne.

Reconnaitre un multiple et un diviseur mathématiques quatrième

  • Dans 1212, combien de fois trouve-t-on 44 ? 33 fois puisque 3×4=123 \times 4 = 12
  • On inscrit le 33 sous le 44. On effectue la multiplication 3×4=123 \times 4 = 12 et on inscrit le résultat sous le 1212.
  • On effectue la soustraction 1212=012 - 12 = 0
  • Le résultat de la division euclidienne de 1212 par 44 est 33 et il reste 00 :
    12=4×3+012 = 4 \times 3 + 0
  • 44 est donc bien un diviseur de 1212 puisqu’il n’y a pas de reste.
  • On constate que 33 est également un diviseur de 1212.
  • 1212 est donc un multiple de 33 et de 44.
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Exemple

1212 est-il un multiple de 66 ?

  • On sait que 6×2=126 \times 2 = 12
  • Donc 1212 est bien un multiple de 66. C’est également un multiple de 22.
  • 22 et 66 sont donc des diviseurs de 1212.
  • Si on reprend les résultats de l'exemple précédent, on remarque que 1212 à quatre diviseurs : 22, 66, 33 et 44.
  • 1212 est donc aussi un multiple de 22, 66, 33 et 44.

Conclusion :

On sait désormais reconnaitre un multiple et un diviseur. On sait également qu’un même nombre peut être le multiple de plusieurs chiffres et peut avoir plusieurs diviseurs. Pour savoir rapidement si un nombre est divisible par un chiffre, nous verrons dans le prochain cours qu’on peut utiliser des critères de divisibilités.