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Relier proportionnalité et fonction linéaire

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Introduction :

L’objectif de ce cours est d’étudier les fonctions linéaires et de faire le lien avec la proportionnalité.

Pour cela, nous commencerons par un rappel sur la proportionnalité. Nous introduirons ensuite les fonctions linéaires et mettrons en évidence la relation entre les deux notions. Nous terminerons par une rapide application aux pourcentages.

Rappels sur la proportionnalité

Situations de proportionnalité

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Définition

Situation de proportionnalité :

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul appelé coefficient de proportionnalité. On dit alors qu’il y a situation de proportionnalité.

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Exemple

Le montant que l’on paye à une station essence est proportionnel au nombre de litres que nous mettons dans notre réservoir. C’est une situation de proportionnalité dont le coefficient de proportionnalité est le prix d’un litre d’essence.

Tableau de proportionnalité

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Définition

Tableau de proportionnalité :

Un tableau de proportionnalité caractérise une situation de proportionnalité. Il contient les valeurs de deux grandeurs proportionnelles. C’est donc un tableau dans lequel on obtient les nombres d’une ligne en multipliant les nombres de l’autre ligne par le coefficient de proportionnalité.

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Exemple

Voici un tableau de proportionnalité caractérisant la situation précédente :

Quantité ($l$) $15$ $22$ $y$ $40$ $47$
Montant (€) $18,75$ $x$ $38,75$ $50$ $58,75$

Dans les colonnes complètes du tableau, les quotients de la valeur de la 2e ligne par celle de la 1re de chaque colonne correspondante sont égaux : $$\dfrac{18,75}{15}=\dfrac{50}{40}=\dfrac{58,75}{47}=1,25$$

Ce tableau caractérise donc bien une situation de proportionnalité.
Son coefficient est $1,25$. Il correspond au prix d’un litre d’essence en euros.

Pour compléter un tableau de proportionnalité, on utilise :

  • le coefficient de proportionnalité :
  • La valeur $x$ est telle que $22\times 1,25=x$ donc $x=27,50$
  • La valeur $y$ est telle que $y\times 1,25=38,75$ donc $y=\dfrac{38,75}{1,25}=31$
  • ou le « produit en croix » :
  • $x=\dfrac{22\times 18,75}{15}=27,50$
  • $y=\dfrac{38,75 \times 40}{50}=31$

Le tableau de proportionnalité de cette situation de proportionnalité est donc :

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Représentation graphique

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Propriété

Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l’origine du repère.

Réciproquement, si une situation est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l’origine du repère, alors c’est une situation de proportionnalité.

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Exemple

Représentons graphiquement la situation de proportionnalité précédente dans un repère dont les axes représentent les valeurs des deux grandeurs proportionnelles :

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  • Cette représentation graphique est une droite qui passe par l’origine. Ce graphique est donc bien la représentation d’une situation de proportionnalité.

Autres exemples de représentations graphiques

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  • Cette représentation graphique n’est pas une droite. Ce n’est donc pas une situation de proportionnalité.

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  • Cette représentation graphique est une droite qui ne passe pas par l’origine. Ce n’est pas une situation de proportionnalité.

Ces rappels sur la proportionnalité étant faits, nous pouvons passer à l’étude des fonctions linéaires.  

Les fonctions linéaires

Définition et vocabulaire

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Définition

Fonction linéaire :

Une fonction linéaire est une fonction qui à un nombre $x$ associe le nombre $ax$.
On la note $f : x\rightarrow ax$ ou $f(x)=ax$ avec $a$ un nombre donné.

$a$ est appelé coefficient de la fonction linéaire $f$.

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Exemple

Soit la fonction $f$ définie par $f : x \rightarrow \dfrac{3}{4} x$

  • $f$ est une fonction linéaire. Elle a pour coefficient $\dfrac34$.

Soit la fonction $g$ définie par $g(x)=2x$

  • $g$ est une fonction linéaire. Elle a pour coefficient $2$.

Soit la fonction $h$ définie par $h(x)=5x+1$

  • $h$ n’est pas une fonction linéaire en raison du « $+1$ ».
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Propriété

On peut associer une fonction linéaire à toute situation de proportionnalité. On dit que cette fonction linéaire modélise la situation de proportionnalité.

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Attention

Par une fonction linéaire, l’antécédent d’un nombre est unique.

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Exemple

Déterminons la fonction linéaire $f$ qui à $4$ associe $13$.

$f$ est une fonction linéaire, elle est donc de la forme $f(x)=ax$ avec $a$ un nombre à déterminer.

On a : $f(4)=a \times 4$
Or : $f(4)=13$
Donc : $a \times 4=13$

$$\begin{aligned} \dfrac{a \times 4}{4}&= \dfrac{13}{4} \\ a&=\dfrac{13}{4}\end{aligned}$$

  • La fonction linéaire qui à $4$ associe $13$ est donc la fonction $f : x\rightarrow\dfrac {13}{4}x$ ou $f(x)= \dfrac {13}{4}x$

Tableau de valeurs

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Rappel

Un tableau de valeurs d’une fonction contient sur sa première ligne les valeurs de la variable et sur sa deuxième ligne les valeurs images correspondantes calculées à l’aide de la formule de définition de la fonction.

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Propriété

Le tableau de valeurs d’une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.

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Exemple

Le tableau de valeurs de la fonction $f$ définie par $f : x\rightarrow\dfrac {3}{4}x$ est (pour des valeurs entières de $x$ comprises entre $-5$ et $5$) :

$x$ $-5$ $-4$ $-3$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
$f(x)$ $-3,75$ $-3$ $-2,25$ $-1,5$ $-0,75$ $0$ $0,75$ $1,5$ $2,25$ $3$ $3,75$

Représentation graphique

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Rappel

Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction $f$ est l’ensemble des points de coordonnées $(x\ ;f(x))$.
Pour construire cette représentation graphique, on commence par positionner les points dont on connait les coordonnées grâce au tableau de valeurs puis on les relie entre eux.

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Exemple

Voici la représentation graphique de la fonction $f$ :

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  • On constate que la représentation graphique de $f$ est une droite passant par l’origine du repère. C’est donc bien une situation de proportionnalité.
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Propriété

Soit une fonction linéaire $f : x \rightarrow ax$

  • La représentation graphique de $f$ est une droite passant par l’origine $(0\ ; 0)$ du repère.
  • L’équation de cette droite est $y =ax$

$a$ est appelé coefficient directeur de la droite $y=ax$

Il donne une indication sur la direction de la droite :

  • si $a$ est positif, la droite « monte » ;
  • si $a$ est négatif, la droite « descend ».

Pour construire la représentation graphique d’une fonction linéaire $f$ dans un repère d’origine $O$ de coordonnée $(0\ ;0)$, il suffit de connaitre les coordonnées d’un seul point $M(x\ ; f(x))$ autre que $O$ et de tracer la droite $(OM)$.

  • La représentation graphique de la fonction $f$ est la droite $(OM)$. Elle a pour équation $y =ax$.

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Exemple

Construisons la représentation graphique de $g(x)=2x$

$g$ est une fonction linéaire de coefficient $2$, donc sa représentation graphique est la droite d’équation $y=2x$ passant par l’origine du repère et par un point $M$ dont les coordonnées vérifient la formule $g(x)=2x$

On peut donc construire le tableau de valeurs suivant avec, par exemple, les coordonnées du point $M$ d’abscisse $1$ et d’ordonnée $g(1)=2\times 1=2$

$x$ $0$ $1$
$g(x)$ $0$ $2$

On peut maintenant tracer sa représentation graphique :

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Application des fonctions linéaires aux pourcentages

Pratiquer une augmentation

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Exemple

On pratique une augmentation de $5\ \%$ à un prix initial.

Soit $PI$ le prix initial en €.

Le montant de l’augmentation est de $5\ \%$ de $PI$ c’est-à-dire $\dfrac{5}{100} \times PI=0,05PI$

Soit $PF$ le prix final en €, alors $PF = PI+0,05PI=1,05PI$

  • Le prix final d’un article après une augmentation de $5\ \%$ est donc proportionnel au prix initial.

On peut modéliser le prix final d’un article après une augmentation de $5\ \%$ par la fonction linéaire $f$ telle que $f(x)=1,05x$ avec $x$ prix initial et $f(x)$ prix final.

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Propriété

Si un prix initial $x$ subit une augmentation de $p\ \%$ alors le prix final est donné par la fonction linéaire $f(x)=ax$ ou bien $PF=a \times PI$ avec $a=1+\dfrac{p}{100}$

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Exemple

Une augmentation de $25\ \%$ revient à multiplier le prix initial par $1 + 0,25$ soit $1,25$.

Une augmentation de $50\ \%$ revient à multiplier le prix initial par $1 + 0,5$ soit $1,5$.

Une augmentation de $100\ \%$ revient à multiplier le prix initial par $1 + 1$ soit $2$.

Pratiquer une réduction

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Exemple

On pratique une réduction de $30\ \%$ à un prix initial.

Soit $PI$ le prix initial en €.

Le montant de la réduction est de $30\ \%$ de $PI$ c’est-à-dire $\dfrac{30}{100} \times PI=0,3PI$

Soit $PF$ le prix final en €, alors $PF=PI-0,3PI=0,7PI$

  • Le prix final d’un article après une réduction de $30\ \%$ est donc proportionnel au prix initial.

On peut modéliser le prix final d’un article après une réduction de $30\ \%$ par la fonction linéaire $f$ telle que $f(x)=0,7x$ avec $x$ prix initial et $f(x)$ prix final.

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Propriété

Si un prix initial $x$ subit une réduction de $p\ \%$ alors le prix final est donné par la fonction linéaire $f(x)=ax$ ou bien $PF=a \times PI$ avec $a=1-\dfrac{p}{100}$

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Exemple

Une réduction de $20\ \%$ revient à multiplier le prix initial par $1-0,2$ soit $0,8$.

Une réduction de $50\ \%$ revient à multiplier le prix initial par $1-0,5$ soit $0,5$.

Une réduction de $75\ \%$ revient à multiplier le prix initial par $1-0,75$ soit $0,25$.