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Introduction :
L’objectif de ce cours est d’étudier les fonctions linéaires et de faire le lien avec la proportionnalité.
Pour cela, nous commencerons par un rappel sur la proportionnalité. Nous introduirons ensuite les fonctions linéaires et mettrons en évidence la relation entre les deux notions. Nous terminerons par une rapide application aux pourcentages.
Rappels sur la proportionnalité
Situations de proportionnalité
Situation de proportionnalité :
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul appelé coefficient de proportionnalité. On dit alors qu’il y a situation de proportionnalité.
Le montant que l’on paye à une station essence est proportionnel au nombre de litres que nous mettons dans notre réservoir. C’est une situation de proportionnalité dont le coefficient de proportionnalité est le prix d’un litre d’essence.
Tableau de proportionnalité
Tableau de proportionnalité :
Un tableau de proportionnalité caractérise une situation de proportionnalité. Il contient les valeurs de deux grandeurs proportionnelles. C’est donc un tableau dans lequel on obtient les nombres d’une ligne en multipliant les nombres de l’autre ligne par le coefficient de proportionnalité.
Voici un tableau de proportionnalité caractérisant la situation précédente :
Quantité () | |||||
Montant (€) |
Dans les colonnes complètes du tableau, les quotients de la valeur de la 2e ligne par celle de la 1re de chaque colonne correspondante sont égaux :
Ce tableau caractérise donc bien une situation de proportionnalité.
Son coefficient est . Il correspond au prix d’un litre d’essence en euros.
Pour compléter un tableau de proportionnalité, on utilise :
Le tableau de proportionnalité de cette situation de proportionnalité est donc :
Représentation graphique
Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l’origine du repère.
Réciproquement, si une situation est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l’origine du repère, alors c’est une situation de proportionnalité.
Représentons graphiquement la situation de proportionnalité précédente dans un repère dont les axes représentent les valeurs des deux grandeurs proportionnelles :
Autres exemples de représentations graphiques
Ces rappels sur la proportionnalité étant faits, nous pouvons passer à l’étude des fonctions linéaires.
Les fonctions linéaires
Définition et vocabulaire
Fonction linéaire :
Une fonction linéaire est une fonction qui à un nombre associe le nombre .
On la note ou avec un nombre donné.
est appelé coefficient de la fonction linéaire .
Soit la fonction définie par
Soit la fonction définie par
Soit la fonction définie par
On peut associer une fonction linéaire à toute situation de proportionnalité. On dit que cette fonction linéaire modélise la situation de proportionnalité.
Par une fonction linéaire, l’antécédent d’un nombre est unique.
Déterminons la fonction linéaire qui à associe .
est une fonction linéaire, elle est donc de la forme avec un nombre à déterminer.
On a :
Or :
Donc :
Tableau de valeurs
Un tableau de valeurs d’une fonction contient sur sa première ligne les valeurs de la variable et sur sa deuxième ligne les valeurs images correspondantes calculées à l’aide de la formule de définition de la fonction.
Le tableau de valeurs d’une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.
Le tableau de valeurs de la fonction définie par est (pour des valeurs entières de comprises entre et ) :
Représentation graphique
Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction est l’ensemble des points de coordonnées .
Pour construire cette représentation graphique, on commence par positionner les points dont on connait les coordonnées grâce au tableau de valeurs puis on les relie entre eux.
Voici la représentation graphique de la fonction :
Soit une fonction linéaire
Il donne une indication sur la direction de la droite :
Pour construire la représentation graphique d’une fonction linéaire dans un repère d’origine de coordonnées , il suffit de connaître les coordonnées d’un seul point autre que et de tracer la droite .
Construisons la représentation graphique de
est une fonction linéaire de coefficient , donc sa représentation graphique est la droite d’équation passant par l’origine du repère et par un point dont les coordonnées vérifient la formule
On peut donc construire le tableau de valeurs suivant avec, par exemple, les coordonnées du point d’abscisse et d’ordonnée
On peut maintenant tracer sa représentation graphique :
Application des fonctions linéaires aux pourcentages
Pratiquer une augmentation
On pratique une augmentation de à un prix initial.
Soit le prix initial en €.
Le montant de l’augmentation est de de c’est-à-dire
Soit le prix final en €, alors
On peut modéliser le prix final d’un article après une augmentation de par la fonction linéaire telle que avec prix initial et prix final.
Si un prix initial subit une augmentation de alors le prix final est donné par la fonction linéaire ou bien avec
Une augmentation de revient à multiplier le prix initial par soit .
Une augmentation de revient à multiplier le prix initial par soit .
Une augmentation de revient à multiplier le prix initial par soit .
Pratiquer une réduction
On pratique une réduction de à un prix initial.
Soit le prix initial en €.
Le montant de la réduction est de de c’est-à-dire
Soit le prix final en €, alors
On peut modéliser le prix final d’un article après une réduction de par la fonction linéaire telle que avec prix initial et prix final.
Si un prix initial subit une réduction de alors le prix final est donné par la fonction linéaire ou bien avec
Une réduction de revient à multiplier le prix initial par soit .
Une réduction de revient à multiplier le prix initial par soit .
Une réduction de revient à multiplier le prix initial par soit .