Fonction linéaire et proportionnalité

Proportionnalité

Situation de proportionnalité :

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul appelé coefficient de proportionnalité.

• Une situation de proportionnalité peut être modélisée par une fonction linéaire.

Tableau de proportionnalité :

Un tableau de proportionnalité présente les valeurs de deux grandeurs proportionnelles. Les valeurs de l’une des lignes s’obtiennent en multipliant celles de l’autre ligne par le même nombre.

Fonction linéaire

Une fonction linéaire est une fonction qui associe à tout nombre $x$ un nombre $ax$, où $a$ est un nombre donné.

• Notation : $f : x \mapsto ax$ ou $f(x) = ax$
• $a$ est appelé coefficient de la fonction linéaire ou coefficient directeur de la droite représentative.

Lien avec la proportionnalité :

Toute situation de proportionnalité peut être modélisée par une fonction linéaire.

• Le tableau de valeurs d’une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité, et son coefficient vaut $a$.

Déterminer le coefficient d’une fonction linéaire :

$f$ est une fonction linéaire de coefficient $\red a$ que l’on cherche à déterminer.
On connaît l’image $c$ d’un nombre $b$ par $f$ : $f(b)=c$.

• On sait ainsi que : $f(b)=\red ab=c$
• On en déduit que : $\red a=\dfrac cb$

Représentation graphique :

La représentation graphique d’une fonction linéaire $f : x \mapsto ax$ est :

• Une droite passant par l’origine $(0\ ; 0)$.
• L’équation de la droite est : $y = ax$
• Le coefficient directeur $a$ indique le sens de la droite :
• si $a > 0$ → la droite monte
• si $a < 0$ → la droite descend

Pourcentages et fonction linéaire

Calcul d’un pourcentage :

Pour calculer $p\,\%$ d’une quantité, on multiplie cette quantité par $\dfrac p{100}$.

Pourcentage d’évolution et coefficient multiplicateur :

Soit $p$ un nombre positif.

• Augmenter un nombre de $p\,\%$ revient à le multiplier par un nombre $a$ qui vaut :

$$a=1\ +\dfrac p{100}$$

• Diminuer un nombre de $p\,\%$ revient à le multiplier par un nombre $a$ qui vaut :

$$a=1\ -\dfrac p{100}$$

• $a$ est appelé coefficient multiplicateur.