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Relier proportionnalité et fonction linéaire

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Les fonctions linéaires

  • Une fonction linéaire est une fonction qui à un nombre xx associe le nombre axax.
    On la note f:xaxf : x\rightarrow ax ou f(x)=axf(x)=ax avec aa un nombre donné.
  • aa est appelé coefficient de la fonction linéaire ff.
  • On peut associer une fonction linéaire à toute situation de proportionnalité. On dit que cette fonction linéaire modélise la situation de proportionnalité.
  • Par une fonction linéaire, l’antécédent d’un nombre est unique.
  • Le tableau de valeurs d’une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.
  • Soit une fonction linéaire f:xaxf : x \rightarrow ax
  • La représentation graphique de ff est une droite passant par l’origine (0 ;0)(0\ ; 0) du repère.
  • L’équation de cette droite est y=axy =ax
  • aa est appelé coefficient directeur de la droite y=axy=ax
    Il donne une indication sur la direction de la droite :
  • si aa est positif, la droite « monte » ;
  • si aa est négatif, la droite « descend ».
  • Pour construire la représentation graphique d’une fonction linéaire ff dans un repère d’origine OO de coordonnée (0 ;0)(0\ ;0), il suffit de connaitre les coordonnées d’un seul point M(x ;f(x))M(x\ ; f(x)) autre que OO et de tracer la droite (OM)(OM).
  • La représentation graphique de la fonction ff est la droite (OM)(OM). Elle a pour équation y=axy =ax.

Application des fonctions linéaires aux pourcentages

  • Si un prix initial xx subit une augmentation de p %p\ \% alors le prix final est donné par la fonction linéaire f(x)=axf(x)=ax ou bien PF=a×PIPF=a \times PI avec a=1+p100a=1+\dfrac{p}{100}
  • Si un prix initial xx subit une réduction de p %p\ \% alors le prix final est donné par la fonction linéaire f(x)=axf(x)=ax ou bien PF=a×PIPF=a \times PI avec a=1p100a=1-\dfrac{p}{100}