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Marianne

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Représentation et variation d’un vecteur vitesse

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Ce cours est en cours de création par nos équipes et il sera prêt pour la rentrée 2019 💪

Introduction :

Tout solide en mouvement se déplace à une vitesse non nulle. Il convient de distinguer la vitesse moyenne et la vitesse instantanée. Nous présenterons, dans une première partie, ces deux grandeurs caractéristiques d’un mouvement.

À un instant quelconque de son mouvement, un point du solide se déplace dans une direction et dans un sens donné, et avec une certaine vitesse. Aussi, est-il commode de caractériser le mouvement à cet instant par un vecteur appelé vecteur vitesse. Dans une deuxième partie, nous donnerons les caractéristiques de cette grandeur vectorielle et une méthode pour la représenter.
Dans une troisième partie, nous présenterons deux mouvements particuliers liés à leur vecteur vitesse.

Vitesse moyenne et vitesse instantanée

Vitesse moyenne

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Propriété

La vitesse moyenne vmvm d’un point mobile, la distance parcourue d et la durée du parcours Δt\Delta\text{t} vérifient la relation :
vm=dΔ[t]v
m=\frac{d}{\Delta\text[t]}

La distance parcourue dd s’exprime en m\text{m} et la durée du parcours Δt\Delta\text{t} s’exprime en s\text{s}, la vitesse moyenne vmv_m s’exprime donc en ms1\text{m}\cdot\text{s}^{-1}.
Dans les exemples suivants, le sens du mouvement est de MM vers MM^{\prime}.

  • Cas d’un mouvement rectiligne :

vm=MMttv_m=\frac{MM^{\prime}}{\text{t}^\prime-t}

mouvement rectiligne

  • Cas d’un mouvement curviligne :

vm=MMttv_m=\frac{MM^{\prime}}{\text{t}^{\prime}-t}

mouvement curviligne

Vitesse instantanée

Durant un trajet, la vitesse d’un véhicule ne reste pas constante. Le compteur de vitesse permet à l’automobiliste de connaître à chaque instant la vitesse de son véhicule, appelée vitesse instantanée.

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Définition

Vitesse instantanée :

La vitesse instantanée v(t)v(\text{t}) d’un point mobile MM, à la date t\text{t}, est pratiquement égale à sa vitesse moyenne calculée pendant un intervalle de temps Δt\Delta\text{t} très court encadrant l’instant t\text{t} considéré. Elle permet de mieux décrire le mouvement d’un point mobile.

v(t)MMttv\text{(t)}\approx\frac{MM^{\prime\prime}}{\text{t}^{\prime\prime}-t}

Vitesse instantanée

La valeur de v(t)v(\text{t}) est d’autant plus proche de la vraie valeur que la durée Δt=tt\Delta\text{t}={\text{t}^{\prime\prime}-t} est petite. Il faut toujours préciser le référentiel d’étude pour déterminer la valeur de la vitesse. La vitesse dépend du choix du référentiel d’étude : c’est la notion de relativité du mouvement.

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Définition

Mouvement uniforme :

Si la valeur de la vitesse ne change pas au cours du mouvement, on dit que le mouvement est uniforme.

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Définition

Mouvement ralenti :

Si la valeur de la vitesse diminue au cours du mouvement, on dit que le mouvement est ralenti (ou retardé).

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Définition

Mouvement accéléré :

Si la valeur de la vitesse augmente au cours du mouvement, on dit que le mouvement est accéléré.

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Astuce

Comment convertir une vitesse en ms1\text{m}\cdot\text{s}^{-1} en kmh1\text{km}\cdot\text{h}^{-1} et inversement ? v(m.s-1)=3,6×v(kmh1)v(m.s^\text{-1} )=3,6×v(\text{km}\cdot\text{h}^{-1} )

v(kmh1)=v(m.s-1)3,6v(\text{km}\cdot\text{h}^{-1})=\dfrac{v(m.s^\text{-1})}{3,6}

Vecteur déplacement et vecteur vitesse d’un point mobile

Vecteur déplacement d’un point mobile

On considère un point MM dont on repère la position en fonction du temps. On note MM et MM^\prime deux positions successives associées respectivement aux dates t\text{t} et t+Δt\text{t}+\Delta\text{t}. On définit alors le vecteur (MM)(\vec{\text{MM}^{\prime}}) appelé vecteur déplacement du point MM.

Vecteur déplacement d’un point mobile

Le vecteur déplacement définit le plus court chemin entre deux points ; cependant, ce chemin n’est pas toujours celui suivi par le système (voir figure ci-dessus, les courbes jaune et rouge).

Vecteur vitesse d’un point mobile

La valeur de la vitesse instantanée est insuffisante pour caractériser le mouvement d’un point mobile car elle n’indique ni la direction du mouvement, ni le sens du mouvement de ce dernier.

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Définition

Vecteur vitesse :

Le vecteur vitesse permet d’introduire et de définir une direction et un sens. Il a pour formule :
v=MMΔtt\vec{v}=\dfrac{MM^{\prime}}{\Delta\text{t}^{\prime\prime}-t}

Le vecteur vitesse v\vec{v} d’un point mobile MM se déplaçant sur une trajectoire a pour caractéristiques :

  • un point d’application : le point MM ;
  • une direction : celle de la tangente à la trajectoire en MM ;
  • un sens : celui du mouvement ;
  • une valeur (ou norme) : valeur de la vitesse instantanée à l’instant t\text{t}.

Représentation du vecteur vitesse

vecteur vitesse

Ainsi, les caractéristiques du vecteur vitesse v2\vec{v2} au point M2M2 à la date t2\text{t}_2 sont&nbsp ;les suivantes :

  • un point d’application : le point M2M_2  ;
  • une direction : celle de la tangente à la trajectoire en M2M_2  ;
  • un sens : celui du mouvement ;
  • une valeur (ou norme) : v(t2)=(v(t2))v(t2 )=\vec{\Vert(v(t2))}\Vert avec v(t2)=M1M3t3t1v(t2 )=\dfrac{M1 M3}{t3-t_1}.

Déterminons la valeur de la vitesse :

On note Δt\Delta\text{t}, l’intervalle de temps entre deux positions successives du point MM. On a donc :

  • t2t1=Δtt2-t1=\Delta\text{t}
  • t3t2=Δtt3-t2=\Delta\text{t}

Soit t3t1=2×Δtt3-t1=2×\Delta\text{t}.

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Exemple

On pose : Δt=0,01s\Delta\text{t}=0,01\text{s}.
On a : M1M36cmM1M3\approx6 cm.

Ainsi : v(t2)=0,060,02v(t_2 )=\dfrac{0,06}{0,02}

soit v(t2)=3ms1v(t_2 )=3 \text{m}\cdot\text{s}^{-1}. On peut alors représenter le vecteur vitesse en définissant une échelle : 1 cm\text{cm}0,5ms10,5 \text{m}\cdot\text{s}^{-1}. Le vecteur vitesse, représenté par un segment fléché, a donc une norme de 6 cm.

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Astuce

Plus la durée Δt est courte, plus l’approximation de la vitesse instantanée est précise.

Étude de cas particuliers

Mouvement rectiligne uniforme

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Définition

Mouvement rectiligne uniforme :

Un point mobile est animé d’un mouvement rectiligne uniforme si sa trajectoire est rectiligne et si sa vitesse instantanée est constante au cours du mouvement.

Mouvement rectiligne uniforme

Conséquences :

  • Le vecteur vitesse d’un point mobile est constant. Sa valeur, sa direction et son sens restent les mêmes à chaque instant.
  • La vitesse instantanée v(t)v(\text{t}) est égale à la vitesse moyenne vmv_m.

Mouvement rectiligne varié

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Définition

Mouvement rectiligne varié :

Un point mobile est animé d’un mouvement rectiligne varié si sa trajectoire est rectiligne et si sa vitesse instantanée change au cours du mouvement.

Mouvement rectiligne varié

Conséquences :

  • Le vecteur vitesse garde la même direction mais les distances parcourues par le point mobile pendant des durées égales sont différentes.
  • La vitesse instantanée v(t)v(\text{t}) est différente de la vitesse moyenne vmv_m.

Sur la figure ci-dessus, le mouvement est rectiligne ralenti ; la vitesse du point diminue avec le temps la norme du vecteur vitesse diminue au cours du temps :

v1>v3v5\Vert\vec{v1}\Vert>\Vert\vec{v3}\Vert>\Vert\vec{v_5}\Vert

Conclusion :

Il convient de ne pas confondre la vitesse moyenne et la vitesse instantanée d’un point mobile. La valeur de la vitesse instantanée est insuffisante pour caractériser son mouvement car elle n’indique ni la direction du mouvement, ni le sens du mouvement de ce dernier : le vecteur vitesse permet d’en rendre compte. Le vecteur vitesse v\vec{v} d’un point mobile MM se déplaçant sur une trajectoire a pour caractéristiques :

  • un point d’application : le point MM ;
  • une direction : celle de la tangente à la trajectoire en MM ;
  • un sens : celui du mouvement ;
  • une valeur (ou norme) : valeur de la vitesse instantanée à l’instant t\text{t}.