Représentation et variation d’un vecteur vitesse

Déplacement d’un système

• Dans un référentiel donné, la trajectoire d’un point est l’ensemble des positions successives occupées par ce point au cours du temps.
• Un point mobile se déplace entre deux points $M$ et $M^{\prime}$, on définit donc le vecteur déplacement $\overrightarrow{MM^{\prime}}$ ayant les propriétés suivantes :
• direction : droite $(MM^{\prime})$
• sens du mouvement : origine $M$ et extrémité $M^{\prime}$
• valeur (norme) : longueur du segment $[MM^{\prime}]$
• Le vecteur déplacement définit donc le plus court chemin entre les points $M$ et $M^{\prime}$.

Vitesse d’un point mobile

Vitesse moyenne

• Un mobile qui se déplace, parcourt une distance notée $d$ (en $\text{m}$) entre les positions $M_1$ et $M_2$, pendant une durée $\Delta t$ (en $\text{s}$) aux temps $t_1$ et $t_2$.

$$v_{moy} =\dfrac{d}{\Delta t}$$

• $v_{moy}$ s’exprime en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

Vitesse instantanée

• La vitesse instantanée $v(t)$ du mobile au point $M$, à la date $t$, peut-être approximée par la vitesse moyenne sur un intervalle de temps $\Delta t$ très court.

Vecteurs vitesses moyenne

• Le vecteur vitesse moyenne $\vec{v}_{moy}$, d’un point matériel, est définit entre les points $M$ à la date $t$ et $M^{\prime}$ à la date $t^{\prime}$.

$$\vec{v}_{moy} =\dfrac{\overrightarrow{MM^{\prime}}}{\Delta t}$$

• Le vecteur vitesse moyenne et le vecteur déplacement sont donc colinéaires et de même sens.

Vecteurs vitesses instantanée

• Le vecteur vitesse instantanée $\vec{v}$, à un instant $t$, est approximé par le vecteur vitesse moyenne entre l’instant $t$ et un instant $t^{\prime}$ suivant très proche. Soient $M$ et $M^{\prime}$ les positions du point matériel respectivement à $t$ et $t^{\prime}$.
• Le vecteur vitesse instantanée $\vec{v}$ à l’instant $t$ est porté par la droite tangente à la trajectoire en $M$.

Caractéristiques du vecteur $\vec{v}$  :

• origine : point $M$
• direction : tangente à la trajectoire en $M$
• sens : celui du mouvement
• valeur : vitesse instantanée du mobile au point $M$
• La direction, le sens du déplacement ainsi que la variation de la vitesse peuvent être utilisés afin de décrire un mouvement particulier.

Tracé des vecteurs vitesses

Méthode :
On veut tracer le vecteur vitesse moyenne $\vec{v}_5$ entre les points $M_1$ et $M_5$.

• On mesure sur le schéma la distance séparant ces deux points.
• Connaissant l’échelle, on calcule la distance réelle $d$.
• On calcule $v_5 =\frac{d}{5\times \Delta t}$, qui est la norme du vecteur vitesse.
• On choisit une échelle pour tracer ce vecteur ($1\ \text{cm}$ sur le schéma représente $5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$).
• On trace le vecteur demandé d’origine $M_1$, de direction et sens $M_1$ vers $M_5$, et de longueur $l$.

Le mouvement rectiligne et circulaire

Mouvement rectiligne

• Un point mobile est animé d’un mouvement rectiligne si sa trajectoire est une droite dans le référentiel utilisé. Le vecteur déplacement entre deux points $M_1$ et $M_2$ garde toujours la même direction (la droite).
• Mouvement rectiligne uniforme
• Un mouvement est uniforme, si sa vitesse instantanée est constante au cours du temps et donc égale à sa vitesse moyenne :

$$v(t) = v_{moy}$$

• Pour un mouvement rectiligne uniforme, le vecteur vitesse est constant :

$$\vec{v}= \overrightarrow{cste}$$

• Un vecteur est constant si sa direction, son sens et sa valeur ne varient pas au cours du temps.
• Mouvement rectiligne varié
• Un mouvement rectiligne d’un point mobile est varié, si sa vitesse instantanée change au cours du temps.
• Il peut être accéléré si sa vitesse augmente.
• Il peut être ralenti si sa vitesse diminue.
• Si un mouvement rectiligne est accéléré, avec un mobile qui se déplace de $M_1$ vers $M_3$ avec une vitesse qui augmente, alors : $$v_1 < v_2 < v_3 \Longleftrightarrow ||\vec{v}_1|| < ||\vec{v}_2|| < ||\vec{v}_3||$$

Mouvement circulaire uniforme

• Un mouvement circulaire d’un point mobile est dit uniforme si sa vitesse instantanée est constante au cours du temps et si sa trajectoire dans le référentiel considéré est un cercle.
• Sa direction n’est pas constante car elle est tangente à la trajectoire à chaque instant $t$.