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Représentation géométrique et module d'un nombre complexe
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Introduction :
Nous avons introduit les nombres complexes dans le cours précédent ; nous allons ici étudier leur représentation géométrique.
Rappel
La représentation des nombres complexes se fait dans un repère. Il en existe plusieurs types :
On parle de repère orthonormé direct lorsque le plan est orienté dans le sens direct : on passe de $\vec{i}$ à $\vec{j}$ en tournant de $90\degree$ dans le sens direct.
Représentation des nombres complexes
Représentation des nombres complexes
Le plan complexe
Le plan complexe
Définition
Plan complexe :
À tout nombre complexe $z=a+ib$ on associe un point $M$ de coordonnées $(a\;;\; b)\;$ appelé point image de $z$.
On dit que $\overrightarrow{OM}$ est le vecteur image de $z$.
$z$ est alors appelé affixe du point $M$.
Exemple
Le point A a pour coordonnées $(3\ ;\ 2)$. Son affixe est $z=3+2i$.
Le point B a pour coordonnées $(0\ ;-2)$. Son affixe est $z=-2i$.
Le point C a pour coordonnées $(-1\ ;\ 3)$. Son affixe est $z=-1+3i$.
Le point D a pour coordonnées $(-3\ ;\ 0)$. Son affixe est $z=-3$.
Les réels sont donc placés sur l’axe des abcisses, appelé axe des réels.
Les imaginaires purs sont placés sur l’axe des ordonnées, appelé axe des imaginaires purs.
Les points d’affixes $z$ et $\overline{z}$ sont symétriques par rapport à l’axe des imaginaires purs.
Les points d’affixes $z$ et $-z$ sont symétriques par rapport à l’origine du répère.
Utilisation des affixes
Utilisation des affixes
Propriété
- Pour tous points $A$ et $B$ du plan complexe, l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$.
- Pour tous points $A$ et $B$ du plan complexe, l’affixe du milieu $I$ du segment $\lbrack\overrightarrow{AB}\rbrack$ est $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$.
- Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs affixes sont égales.
- Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont 2 vecteurs d’affixes respectives $z$ et $z'$, alors l’affixe du vecteur $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ est $z+z^\prime$.
- Si $\overrightarrow{u}$ est un vecteur d’affixe $z$, et si $\lambda$ est un réel, alors l’affixe du vecteur $\lambda\overrightarrow{u}$ est $\lambda z$.
Exemple
Les points $A$ et $B$ ont pour affixes respectives $z_A=-3+i$ et $-1-2i$.
Alors l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est :
$z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=$ $(-1-2i)-(-3+i)=2-3i$.
Vérification graphique : pour aller du point $A$ au point $B$, on se déplace de 2 unités vers la droite $(\Re{(z_{\overrightarrow{AB}})}=2)$, et de 3 unités vers le bas $(\Im{(z_{\overrightarrow{AB}})}=-3)$.
Soit $C$ le point d’affixe $4+3i$, cherchons l’affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallèlogramme.
$ABCD$ est un parallèlogramme $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
$\begin{array}{l}\Leftrightarrow z_{\overrightarrow{AB}}=z_{\overrightarrow{DC}}\\ \Leftrightarrow z_B-z_A=z_C-z_D\\ \Leftrightarrow 2-3i=4+3i-z_D\\ \Leftrightarrow z_D=2+6i\end{array}$
On peut vérifier graphiquement le résultat :
- Suite de l’exemple :
Déterminer l’affixe du point $I$, milieu du segment $[AC]$.
$\begin{aligned} z_I&=\dfrac{z_A+z_C}{2}\\&=\dfrac{-3+i+4-3i}{2}\\&=\dfrac{1+4i}{2}\\&=\dfrac{1}{2}+2i\end{aligned}$
Module d’un nombre complexe
Module d’un nombre complexe
Définition
Module d’un nombre complexe :
Soit $z$ un nombre complexe, de point image$M$.
Le module du complexe $z$ est $|z|=\sqrt{(a^2+b^2)}$. Il représente la distance $OM$.
Exemple
Le module du nombre complexe $3+2i$ est :
$\begin{aligned}|z|&=|3+2i|\\ &=\sqrt{(3^2+2^2)}\\ &=\sqrt{(9+4)}\\ &=\sqrt{13}\end{aligned}$.
Propriété
Pour tous complexes $z$ et $z'$ non nuls, et pour tout entier naturel $n$ non nul :
$\begin{aligned}|-z|&=|z| \\ |\overline{z}|&=|z| \\ |zz^{\prime}|&=|z||z^{\prime}| \\ |z^n|&=|z|^n \\ |\dfrac{z}{z'}|&=\dfrac{|z|}{|z'|}\end{aligned}$
Exemple
Calculer le module du complexe $z=(1-2i)(3+i)$
Première méthode : on développe le produit puis on prend le module
$\begin{aligned}(1-2i)(3+i)&=3+i-6i-2i^2\\ &=5-5i\end{aligned}$
$\begin{aligned}|5-5i|&=\sqrt{(5^2+5^2)}\\ &=\sqrt{50}\end{aligned}$
Deuxième méthode : on calcule directement le module
$\begin{aligned}|(1-2i)(3-i)|&=\sqrt{(1^3+2^2)}\sqrt{(3^2+1^2)}\\ &=\sqrt{5}\sqrt{10}\\ &=\sqrt{50}\end{aligned}$
On arrive bien au même résultat.
Ensembles de points
Ensembles de points
Voici 3 exemples mettant en jeu le module d’un nombre complexe comme distance entre 2 points.
Exemple
Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixes $z$ tels que $|z|=5$.
L’ensemble des points $M$ d’affixes $z$ tels que $|z|=5$ est l’ensemble des points $M$ tels que la distance $OM$ est égale à $5$.
- Il s’agit du cercle de centre $O$ et de rayon $5$.
Exemple
Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixes $z$ tels que $|z-5|=2$.
Il faut ici introduire le point $A$ d’affixe $z_A=5$.
L’ensemble des points $M$ d’affixes $z$ tels que $|z-5|=2$ est l’ensemble des points $M$ d’affixes $z$ tels que $|z-z_A|=2$.
Il s’agit de l’ensemble des points $M$ tels que la distance $AM$ est égale à $2$.
- Il s’agit du cercle de centre $A$ et de rayon $2$.
Exemple
Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixes $z$ tels que $|z-3|=|z+4i|$.
Il faut ici introduire les points $A$ et $B$ d’affixes respectives $z_A=3$ et $z_B=-4i$.
L’ensemble des points $M$ d’affixes $z$ tels que $|z-3|=|z+4i|$ est l’ensemble des points $M$ d’affixes $z$ tels que $|z-z_A|=|z-z_B|$.
Il s’agit de l’ensemble des points $M$ tels que la distance $AM$ est égale à la distance $BM$.
- Cet ensemble de points est la médiatrice du segment $[AB]$.