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Représentation géométrique et module d'un nombre complexe

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Introduction :

Nous avons introduit les nombres complexes dans le cours précédent ; nous allons ici étudier leur représentation géométrique.

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Rappel

La représentation des nombres complexes se fait dans un repère. Il en existe plusieurs types :

Repésentations des nombres complexes-maths-tle

On parle de repère orthonormé direct lorsque le plan est orienté dans le sens direct : on passe de i\vec{i} à j\vec{j} en tournant de 90°90\degree dans le sens direct.

Repère orthonormé-maths-tle

Représentation des nombres complexes

Le plan complexe

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Définition

Plan complexe :

À tout nombre complexe z=a+ibz=a+ib on associe un point MM de coordonnées (a  ;  b)  (a\;;\; b)\; appelé point image de zz.

On dit que OM\overrightarrow{OM} est le vecteur image de zz.

zz est alors appelé affixe du point MM.

Plan complexe-math-tle

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Exemple

Représentation de nombres complexes-maths-tle

Le point A a pour coordonnées (3 ; 2)(3\ ;\ 2). Son affixe est z=3+2iz=3+2i.

Le point B a pour coordonnées (0 ;2)(0\ ;-2). Son affixe est z=2iz=-2i.

Le point C a pour coordonnées (1 ; 3)(-1\ ;\ 3). Son affixe est z=1+3iz=-1+3i.

Le point D a pour coordonnées (3 ; 0)(-3\ ;\ 0). Son affixe est z=3z=-3.

Les réels sont donc placés sur l’axe des abcisses, appelé axe des réels.

Les imaginaires purs sont placés sur l’axe des ordonnées, appelé axe des imaginaires purs.

Représentation de nombres complexes exemple - maths - tle

Les points d’affixes zz et z\overline{z} sont symétriques par rapport à l’axe des imaginaires purs.

Les points d’affixes zz et z-z sont symétriques par rapport à l’origine du répère.

Utilisation des affixes

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Propriété

  • Pour tous points AA et BB du plan complexe, l’affixe du vecteur AB\overrightarrow{AB} est zAB=zBzAz{\overrightarrow{AB}}=zB-z_A.
  • Pour tous points AA et BB du plan complexe, l’affixe du milieu II du segment [AB]\lbrack\overrightarrow{AB}\rbrack est zI=zA+zB2zI=\dfrac{zA+z_B}{2}.
  • Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs affixes sont égales.
  • Si u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont 2 vecteurs d’affixes respectives zz et zz', alors l’affixe du vecteur u+v\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} est z+zz+z^\prime.
  • Si u\overrightarrow{u} est un vecteur d’affixe zz, et si λ\lambda est un réel, alors l’affixe du vecteur λu\lambda\overrightarrow{u} est λz\lambda z.
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Exemple

Représentation des affixes - nombres complexes - maths - tle

Les points AA et BB ont pour affixes respectives zA=3+iz_A=-3+i et 12i-1-2i.

Alors l’affixe du vecteur AB\overrightarrow{AB} est :
zAB=zBzA=z{\overrightarrow{AB}}=zB-z_A= (12i)(3+i)=23i(-1-2i)-(-3+i)=2-3i.

Vérification graphique : pour aller du point AA au point BB, on se déplace de 2 unités vers la droite ((zAB)=2)(\Re{(z{\overrightarrow{AB}})}=2), et de 3 unités vers le bas ((zAB)=3)(\Im{(z{\overrightarrow{AB}})}=-3).

Soit CC le point d’affixe 4+3i4+3i, cherchons l’affixe du point DD tel que ABCDABCD soit un parallèlogramme.

ABCDABCD est un parallèlogramme \Leftrightarrow AB=DC\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}

zAB=zDCzBzA=zCzD23i=4+3izDzD=2+6i\begin{array}{l}\Leftrightarrow z{\overrightarrow{AB}}=z{\overrightarrow{DC}}\ \Leftrightarrow zB-zA=zC-zD\ \Leftrightarrow 2-3i=4+3i-zD\ \Leftrightarrow zD=2+6i\end{array}

On peut vérifier graphiquement le résultat :

Utilisation des affixe-nombres complexes-maths-tle

  • Suite de l’exemple :

Déterminer l’affixe du point II, milieu du segment [AC][AC].

Déterminer un affixes - nombre complexe - maths - tle

zI=zA+zC2=3+i+43i2=1+4i2=12+2i\begin{aligned} zI&=\dfrac{zA+z_C}{2}\&=\dfrac{-3+i+4-3i}{2}\&=\dfrac{1+4i}{2}\&=\dfrac{1}{2}+2i\end{aligned}

Module d’un nombre complexe

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Définition

Module d’un nombre complexe :

Soit zz un nombre complexe, de point imageMM.

Le module du complexe zz est z=(a2+b2)|z|=\sqrt{(a^2+b^2)}. Il représente la distance OMOM.

Module d’un nombre complexe-maths-tle

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Exemple

Le module du nombre complexe 3+2i3+2i est :

z=3+2i=(32+22)=(9+4)=13\begin{aligned}|z|&=|3+2i|\ &=\sqrt{(3^2+2^2)}\ &=\sqrt{(9+4)}\ &=\sqrt{13}\end{aligned}.

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Propriété

Pour tous complexes zz et zz' non nuls, et pour tout entier naturel nn non nul :

z=zz=zzz=zzzn=znzz=zz\begin{aligned}|-z|&=|z| \ |\overline{z}|&=|z| \ |zz^{\prime}|&=|z||z^{\prime}| \ |z^n|&=|z|^n \ |\dfrac{z}{z'}|&=\dfrac{|z|}{|z'|}\end{aligned}

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Exemple

Calculer le module du complexe z=(12i)(3+i)z=(1-2i)(3+i)

Première méthode : on développe le produit puis on prend le module

(12i)(3+i)=3+i6i2i2=55i\begin{aligned}(1-2i)(3+i)&=3+i-6i-2i^2\ &=5-5i\end{aligned}

55i=(52+52)=50\begin{aligned}|5-5i|&=\sqrt{(5^2+5^2)}\ &=\sqrt{50}\end{aligned}

Deuxième méthode : on calcule directement le module

(12i)(3i)=(13+22)(32+12)=510=50\begin{aligned}|(1-2i)(3-i)|&=\sqrt{(1^3+2^2)}\sqrt{(3^2+1^2)}\ &=\sqrt{5}\sqrt{10}\ &=\sqrt{50}\end{aligned}

On arrive bien au même résultat.

Ensembles de points

Voici 3 exemples mettant en jeu le module d’un nombre complexe comme distance entre 2 points.

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Exemple

Déterminer l’ensemble des points MM d’affixes zz tels que z=5|z|=5.

L’ensemble des points MM d’affixes zz tels que z=5|z|=5 est l’ensemble des points MM tels que la distance OMOM est égale à 55.

  • Il s’agit du cercle de centre OO et de rayon 55.
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Exemple

Déterminer l’ensemble des points MM d’affixes zz tels que z5=2|z-5|=2.

Il faut ici introduire le point AA d’affixe zA=5z_A=5.

L’ensemble des points MM d’affixes zz tels que z5=2|z-5|=2 est l’ensemble des points MM d’affixes zz tels que zzA=2|z-z_A|=2.

Il s’agit de l’ensemble des points MM tels que la distance AMAM est égale à 22.

  • Il s’agit du cercle de centre AA et de rayon 22.
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Exemple

Déterminer l’ensemble des points MM d’affixes zz tels que z3=z+4i|z-3|=|z+4i|.

Il faut ici introduire les points AA et BB d’affixes respectives zA=3zA=3 et zB=4izB=-4i.

L’ensemble des points MM d’affixes zz tels que z3=z+4i|z-3|=|z+4i| est l’ensemble des points MM d’affixes zz tels que zzA=zzB|z-zA|=|z-zB|.

Il s’agit de l’ensemble des points MM tels que la distance AMAM est égale à la distance BMBM.

  • Cet ensemble de points est la médiatrice du segment [AB][AB].