Déjà plus de
1 million
d'inscrits !
Déjà plus de
1 million
d'inscrits !
Avant de commencer, regarde les vidéos
Introduction :
Nous avons introduit les nombres complexes dans le cours précédent ; nous allons ici étudier leur représentation géométrique.
La représentation des nombres complexes se fait dans un repère. Il en existe plusieurs types :
On parle de repère orthonormé direct lorsque le plan est orienté dans le sens direct : on passe de à en tournant de dans le sens direct.
Représentation des nombres complexes
Le plan complexe
Plan complexe :
À tout nombre complexe on associe un point de coordonnées appelé point image de .
On dit que est le vecteur image de .
est alors appelé affixe du point .
Le point A a pour coordonnées . Son affixe est .
Le point B a pour coordonnées . Son affixe est .
Le point C a pour coordonnées . Son affixe est .
Le point D a pour coordonnées . Son affixe est .
Les réels sont donc placés sur l’axe des abcisses, appelé axe des réels.
Les imaginaires purs sont placés sur l’axe des ordonnées, appelé axe des imaginaires purs.
Les points d’affixes et sont symétriques par rapport à l’axe des imaginaires purs.
Les points d’affixes et sont symétriques par rapport à l’origine du répère.
Utilisation des affixes
Les points et ont pour affixes respectives et .
Alors l’affixe du vecteur est :
.
Vérification graphique : pour aller du point au point , on se déplace de 2 unités vers la droite , et de 3 unités vers le bas .
Soit le point d’affixe , cherchons l’affixe du point tel que soit un parallèlogramme.
est un parallèlogramme
On peut vérifier graphiquement le résultat :
Déterminer l’affixe du point , milieu du segment .
Module d’un nombre complexe
Module d’un nombre complexe :
Soit un nombre complexe, de point image.
Le module du complexe est . Il représente la distance .
Le module du nombre complexe est :
.
Pour tous complexes et non nuls, et pour tout entier naturel non nul :
Calculer le module du complexe
Première méthode : on développe le produit puis on prend le module
Deuxième méthode : on calcule directement le module
On arrive bien au même résultat.
Ensembles de points
Voici 3 exemples mettant en jeu le module d’un nombre complexe comme distance entre 2 points.
Déterminer l’ensemble des points d’affixes tels que .
L’ensemble des points d’affixes tels que est l’ensemble des points tels que la distance est égale à .
Déterminer l’ensemble des points d’affixes tels que .
Il faut ici introduire le point d’affixe .
L’ensemble des points d’affixes tels que est l’ensemble des points d’affixes tels que .
Il s’agit de l’ensemble des points tels que la distance est égale à .
Déterminer l’ensemble des points d’affixes tels que .
Il faut ici introduire les points et d’affixes respectives et .
L’ensemble des points d’affixes tels que est l’ensemble des points d’affixes tels que .
Il s’agit de l’ensemble des points tels que la distance est égale à la distance .