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Représentation géométrique et module d'un nombre complexe

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Introduction :

Nous avons introduit les nombres complexes dans le cours précédent ; nous allons ici étudier leur représentation géométrique.

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Rappel

La représentation des nombres complexes se fait dans un repère. Il en existe plusieurs types :

Repésentations des nombres complexes-maths-tle

On parle de repère orthonormé direct lorsque le plan est orienté dans le sens direct : on passe de $\vec{i}$ à $\vec{j}$ en tournant de $90\degree$ dans le sens direct.

Repère orthonormé-maths-tle

Représentation des nombres complexes

Le plan complexe

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Définition

Plan complexe :

À tout nombre complexe $z=a+ib$ on associe un point $M$ de coordonnées $(a\;;\; b)\;$ appelé point image de $z$.

On dit que $\overrightarrow{OM}$ est le vecteur image de $z$.

$z$ est alors appelé affixe du point $M$.

Plan complexe-math-tle

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Exemple

Représentation de nombres complexes-maths-tle

Le point A a pour coordonnées $(3\ ;\ 2)$. Son affixe est $z=3+2i$.

Le point B a pour coordonnées $(0\ ;-2)$. Son affixe est $z=-2i$.

Le point C a pour coordonnées $(-1\ ;\ 3)$. Son affixe est $z=-1+3i$.

Le point D a pour coordonnées $(-3\ ;\ 0)$. Son affixe est $z=-3$.

Les réels sont donc placés sur l’axe des abcisses, appelé axe des réels.

Les imaginaires purs sont placés sur l’axe des ordonnées, appelé axe des imaginaires purs.

Représentation de nombres complexes exemple - maths - tle

Les points d’affixes $z$ et $\overline{z}$ sont symétriques par rapport à l’axe des imaginaires purs.

Les points d’affixes $z$ et $-z$ sont symétriques par rapport à l’origine du répère.

Utilisation des affixes

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Propriété

  • Pour tous points $A$ et $B$ du plan complexe, l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A$.
  • Pour tous points $A$ et $B$ du plan complexe, l’affixe du milieu $I$ du segment $\lbrack\overrightarrow{AB}\rbrack$ est $z_I=\dfrac{z_A+z_B}{2}$.
  • Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs affixes sont égales.
  • Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont 2 vecteurs d’affixes respectives $z$ et $z'$, alors l’affixe du vecteur $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ est $z+z^\prime$.
  • Si $\overrightarrow{u}$ est un vecteur d’affixe $z$, et si $\lambda$ est un réel, alors l’affixe du vecteur $\lambda\overrightarrow{u}$ est $\lambda z$.
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Exemple

Représentation des affixes - nombres complexes - maths - tle

Les points $A$ et $B$ ont pour affixes respectives $z_A=-3+i$ et $-1-2i$.

Alors l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est :
$z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=$ $(-1-2i)-(-3+i)=2-3i$.

Vérification graphique : pour aller du point $A$ au point $B$, on se déplace de 2 unités vers la droite $(\Re{(z_{\overrightarrow{AB}})}=2)$, et de 3 unités vers le bas $(\Im{(z_{\overrightarrow{AB}})}=-3)$.

Soit $C$ le point d’affixe $4+3i$, cherchons l’affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallèlogramme.

$ABCD$ est un parallèlogramme $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

$\begin{array}{l}\Leftrightarrow z_{\overrightarrow{AB}}=z_{\overrightarrow{DC}}\\ \Leftrightarrow z_B-z_A=z_C-z_D\\ \Leftrightarrow 2-3i=4+3i-z_D\\ \Leftrightarrow z_D=2+6i\end{array}$

On peut vérifier graphiquement le résultat :

Utilisation des affixe-nombres complexes-maths-tle

  • Suite de l’exemple :

Déterminer l’affixe du point $I$, milieu du segment $[AC]$.

Déterminer un affixes - nombre complexe - maths - tle

$\begin{aligned} z_I&=\dfrac{z_A+z_C}{2}\\&=\dfrac{-3+i+4-3i}{2}\\&=\dfrac{1+4i}{2}\\&=\dfrac{1}{2}+2i\end{aligned}$

Module d’un nombre complexe

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Définition

Module d’un nombre complexe :

Soit $z$ un nombre complexe, de point image$M$.

Le module du complexe $z$ est $|z|=\sqrt{(a^2+b^2)}$. Il représente la distance $OM$.

Module d’un nombre complexe-maths-tle

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Exemple

Le module du nombre complexe $3+2i$ est :

$\begin{aligned}|z|&=|3+2i|\\ &=\sqrt{(3^2+2^2)}\\ &=\sqrt{(9+4)}\\ &=\sqrt{13}\end{aligned}$.

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Propriété

Pour tous complexes $z$ et $z'$ non nuls, et pour tout entier naturel $n$ non nul :

$\begin{aligned}|-z|&=|z| \\ |\overline{z}|&=|z| \\ |zz^{\prime}|&=|z||z^{\prime}| \\ |z^n|&=|z|^n \\ |\dfrac{z}{z'}|&=\dfrac{|z|}{|z'|}\end{aligned}$

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Exemple

Calculer le module du complexe $z=(1-2i)(3+i)$

Première méthode : on développe le produit puis on prend le module

$\begin{aligned}(1-2i)(3+i)&=3+i-6i-2i^2\\ &=5-5i\end{aligned}$

$\begin{aligned}|5-5i|&=\sqrt{(5^2+5^2)}\\ &=\sqrt{50}\end{aligned}$

Deuxième méthode : on calcule directement le module

$\begin{aligned}|(1-2i)(3-i)|&=\sqrt{(1^3+2^2)}\sqrt{(3^2+1^2)}\\ &=\sqrt{5}\sqrt{10}\\ &=\sqrt{50}\end{aligned}$

On arrive bien au même résultat.

Ensembles de points

Voici 3 exemples mettant en jeu le module d’un nombre complexe comme distance entre 2 points.

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Exemple

Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixes $z$ tels que $|z|=5$.

L’ensemble des points $M$ d’affixes $z$ tels que $|z|=5$ est l’ensemble des points $M$ tels que la distance $OM$ est égale à $5$.

  • Il s’agit du cercle de centre $O$ et de rayon $5$.
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Exemple

Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixes $z$ tels que $|z-5|=2$.

Il faut ici introduire le point $A$ d’affixe $z_A=5$.

L’ensemble des points $M$ d’affixes $z$ tels que $|z-5|=2$ est l’ensemble des points $M$ d’affixes $z$ tels que $|z-z_A|=2$.

Il s’agit de l’ensemble des points $M$ tels que la distance $AM$ est égale à $2$.

  • Il s’agit du cercle de centre $A$ et de rayon $2$.
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Exemple

Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixes $z$ tels que $|z-3|=|z+4i|$.

Il faut ici introduire les points $A$ et $B$ d’affixes respectives $z_A=3$ et $z_B=-4i$.

L’ensemble des points $M$ d’affixes $z$ tels que $|z-3|=|z+4i|$ est l’ensemble des points $M$ d’affixes $z$ tels que $|z-z_A|=|z-z_B|$.

Il s’agit de l’ensemble des points $M$ tels que la distance $AM$ est égale à la distance $BM$.

  • Cet ensemble de points est la médiatrice du segment $[AB]$.