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Représentation géométrique et module d'un nombre complexe

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Le plan complexe

Définition : Plan complexe

À tout nombre complexe z=a+ibz=a+ib on associe un point MM de coordonnées (a ;b)(a\ ; b) appelé point image de zz. On dit que OM\overrightarrow{OM} est le vecteur image de zz.

zz est alors appelé affixe du point MM.

Plan complexe-maths-tle

Propriété :

  • Les points d'affixes zz et z\overline z sont symétriques par rapport à l’axe des imaginaires purs.
  • Les points d'affixes zz et z-z sont symétriques par rapport à l'origine du repère.

Représentation géométrique :

Représentation géométrique des nombres complexes-math-tle

Utilisation des affixes

Le point AA a pour coordonnées (3;2)(3; 2), son affixe est z=3+2iz=3+2i.

Le point BB a pour coordonnées (0;2)(0; -2), son affixe est z=2iz=-2i.

Le point CC a pour coordonnées (1;3)(-1; 3), son affixe est z=1+3iz=-1+3i.

Le point DD a pour coordonnées (3;0)(-3; 0), son affixe est z=3z=-3.

Utilisation des affixes-nombres complexes - maths - tle

Propriétés :

  • Pour tous points AA et BB du plan complexe, l'affixe du vecteur AB\overrightarrow{AB} est zAB=zBzAz{\overrightarrow{AB}}=zB-z_A.
  • Pour tous points AA et BB du plan complexe, l'affixe du milieu II du segment [AB][AB] est zI=zA+zB2zI=\dfrac{zA+z_B}{2}.
  • Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs affixes sont égales.
  • Si u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont deux vecteurs d'affixes respectives zz et zz', alors l'affixe du vecteur u\overrightarrow{u} + v\overrightarrow{v} est z+zz+z'.
  • Si u\overrightarrow{u} est un vecteur d'affixe zz, et si λ\lambda est un réel, alors l’affixe du vecteur λu\overrightarrow{\lambda u} est λzλz.

Module d’un nombre complexe

Définition : Module d’un nombre complexe

Soit zz un nombre complexe, de point image MM.
Le module du complexe zz est z=sqrt(a2+b2)|z|=_sqrt{(a^2+b^2 )}.
Il représente la distance OM.

Propriétés :

Pour tous complexes zz et zz' non nuls, et pour tout entier naturel nn non nul :

  • z=z|-z|=|z|
  • |z=z\overline z|=|z|
  • zz=zz|zz'|=|z||z'|
  • zn=zn|z^n |=|z|^n
  • |zz=zz\dfrac {z}{z'}|=\dfrac{|z|}{|z'|}