Accueil
Programme Primaire CM2Cours MathématiquesRésoudre des problèmes additifs, multiplicatifs et mixtesundefined : Résoudre des problèmes additifs, multiplicatifs et mixtesRésoudre des problèmes additifs, multiplicatifs et mixtes
Introduction
Dans la vie quotidienne comme en mathématiques, certaines situations nécessitent plusieurs étapes de réflexion avant de trouver une réponse. Pour les résoudre, il faut comprendre les informations données, représenter la situation et choisir les opérations adaptées. Dans ce cours, nous allons apprendre à résoudre des problèmes additifs, multiplicatifs et mixtes.
Prérequis : N’hésite pas à aller consulter le cours de CM1 - Comprendre et résoudre des problèmes.
Rappel
Pour résoudre un problème, on peut suivre les étapes suivantes :
- lire attentivement l’énoncé et identifier la question posée ;
- repérer les informations utiles et déterminer ce que représente chaque nombre ;
- représenter la situation à l’aide d’un schéma, si cela est nécessaire ;
- déterminer la ou les opérations permettant de répondre à la question ;
- effectuer les calculs ;
- vérifier que le résultat est cohérent avec la situation ;
- répondre à la question par une phrase complète.
Les problèmes additifs en une ou plusieurs étapes
Définition
Un problème additif est un problème que l’on peut résoudre à l’aide d’une ou de plusieurs additions ou soustractions.
Choisir entre l’addition et la soustraction
Attention
Il ne faut pas choisir une opération uniquement à partir d’un mot rencontré dans l’énoncé. Il est nécessaire de comprendre la relation entre les différentes quantités.
Exemple
M. Martin a dépensé 15 € pour effectuer un achat. Il lui reste 18 €.
Quelle somme possédait-il avant son achat ?
Le mot « dépensé » pourrait faire penser à une soustraction. Pourtant, nous cherchons ici la somme que M. Martin possédait avant son achat.
Cette somme est composée :
- des 15 € qu’il a dépensés ;
- des 18 € qu’il lui reste.
On peut représenter la situation à l’aide d’un schéma en barres.
Grâce au schéma, on constate que la somme au départ correspond à la somme dépensée plus la somme restante. Le problème doit donc être résolu par une addition : $$15 + 18 = 33$$
M. Martin possédait 33 € avant son achat.
Résoudre des problèmes en plusieurs étapes
Certains problèmes nécessitent plusieurs calculs. Pour ne pas oublier d’information, il est important de procéder étape par étape.
Exemple
Le grand-père de Fiona lui donne un billet de 20 €, qu’elle ajoute à l’argent déjà présent dans son porte-monnaie. Fiona achète ensuite un sac à dos à 14,90 €. Après cet achat, il lui reste 8,40 €.
Quelle somme Fiona possédait-elle avant que son grand-père lui donne le billet ?
Procédons par étape :
- Première étape : retrouver la somme possédée avant l’achat.
Fiona a dépensé 14,90 € et il lui reste 8,40 €. Avant son achat, elle possédait donc : $$8,40+14,90=23,30$$ Fiona possédait 23,30 € juste avant d’acheter le sac à dos.
- Deuxième étape : trouver la somme possédée avant le don.
Dans les 23,30 €, 20 € lui ont été donnés par son grand-père. Avant de recevoir ce billet, elle possédait donc : $$23,30 – 20 = 3,30$$ Fiona possédait 3,30 € au départ.
Des problèmes additifs avec des fractions
Certains problèmes portent sur des parts d’une unité. Ces parts peuvent être représentées par des fractions.
Exemple
Kevin et ses parents ont acheté un gâteau. Son père en mange $\frac{3}{8}$ et sa mère en mange $\frac{1}{4}$.
Quelle part de gâteau reste-t-il pour Kevin ?
Procédons par étape :
- Première étape : déterminer la part mangée par les parents.
Pour additionner les deux fractions $\frac{3}{8}+\frac{1}{4}$, elles doivent avoir le même dénominateur. On transforme donc les quarts en huitièmes : $$\frac{1}{4}+\frac{2}{8}$$ On peut maintenant additionner les deux fractions : $$\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}$$
Les deux parents ont mangé $\frac{5}{8}$ du gâteau.
- Deuxième étape : déterminer la part restante.
Le gâteau entier peut être représenté par la fraction $\frac{8}{8}$. On calcule donc : $$\frac{8}{8}-\frac{5}{8}=\frac{3}{8}$$
Kevin pourra donc manger $\frac{3}{8}$ du gâteau.
Les problèmes multiplicatifs avec des parts égales
Dans certains problèmes, une quantité totale est composée de plusieurs parts égales. On parle alors de problèmes de type « parties-tout ». Selon la question posée, on peut rechercher :
- la quantité totale ;
- la valeur d’une part ;
- le nombre de parts.
Définition
Un problème multiplicatif est un problème que l’on peut résoudre avec une multiplication ou une division.
Rechercher la quantité totale
Lorsque l’on connaît le nombre de parts et la valeur d’une part, on peut effectuer une multiplication pour trouver la quantité totale.
Exemple
Une bibliothèque possède 7 étagères. Sur chaque étagère, 8 dictionnaires sont rangés.
Combien de dictionnaires la bibliothèque possède-t-elle au total ?
La bibliothèque possède 7 groupes de 8 dictionnaires. On effectue donc la multiplication suivante : $$7\times8=56$$
La bibliothèque possède 56 dictionnaires.
Rechercher la valeur d’une part
Lorsque l’on connaît la quantité totale et le nombre de parts égales, on effectue une division pour déterminer la valeur d’une part.
Exemple
Une enseignante achète 6 dictionnaires identiques pour un montant total de 73,20 €.
Quel est le prix d’un dictionnaire ?
Les 73,20 € sont répartis en 6 parts égales. On effectue donc la division suivante : $$73,20\div6=12,20$$
Un dictionnaire coûte 12,20 €.
Rechercher le nombre de parts
Lorsque l’on connaît la quantité totale et la valeur d’une part, on effectue une division pour déterminer le nombre de parts.
Exemple
Un éleveur récupère 1 020 œufs. Il les range dans des boîtes contenant chacune 6 œufs.
Combien de boîtes peut-il remplir ?
On divise le nombre total d’œufs par le nombre d’œufs placés dans chaque boîte : $$1\,020\div6=170$$
L’éleveur peut remplir 170 boîtes. On peut vérifier le résultat à l’aide d’une multiplication : $$170\times6=1\,020$$
Les problèmes mixtes en plusieurs étapes
Définition
Un problème mixte est un problème dont la résolution nécessite plusieurs opérations de natures différentes, par exemple une addition, une soustraction, une multiplication ou une division.
Exemple
Au marché, Fatima achète 2 melons à 3,35 € l’unité ainsi que 5 kg de pommes de terre. Elle donne deux billets de 10 € au marchand, qui lui rend 8,40 €. Quel est le prix d’un kilogramme de pommes de terre ? Plusieurs étapes sont nécessaires pour répondre à la question.
- Première étape : déterminer le prix total des courses.
Fatima donne 20 € et reçoit 8,40 € de monnaie : $$20−8,40=11,60$$ L’ensemble de ses courses coûte 11,60 €.
- Deuxième étape : déterminer le prix des melons.
Fatima achète 2 melons à 3,35 € l’unité : $$2\times3,35=6,70$$ Les deux melons coûtent 6,70 €.
- Troisième étape : déterminer le prix des pommes de terre.
On soustrait le prix des melons au prix total des courses : $$11,60−6,70=4,90$$ Les 5 kg de pommes de terre coûtent 4,90 €.
- Quatrième étape : déterminer le prix d’un kilogramme de pommes de terre.
On partage le prix des pommes de terre en 5 parts égales : $$4,90\div5=0,98$$ Un kilogramme de pommes de terre coûte 0,98 €.
Les problèmes de comparaisons multiplicatives
Une comparaison multiplicative permet d’indiquer combien de fois une quantité est plus grande ou plus petite qu’une autre.
L’expression « fois plus »
Dire qu’une quantité est cinq fois plus grande qu’une autre signifie que la première quantité est égale à cinq fois la seconde.
Exemple
Une poire pèse 180 g. Une noix de coco est cinq fois plus lourde que la poire.
Quelle est la masse de la noix de coco ?
La masse de la noix de coco est égale à cinq fois celle de la poire : $$180\times5=900$$ La noix de coco pèse 900 g.
L’expression « fois moins »
Dire qu’une quantité est quatre fois moins grande qu’une autre signifie que la première quantité correspond au quart de la seconde.
Exemple
Une paire de crampons coûte 48 €. Un ballon coûte quatre fois moins cher que la paire de crampons.
Quel est le prix du ballon ?
Le prix du ballon correspond au quart du prix des crampons. On calcule donc : $$48\div4=12$$ Le ballon coûte 12 €.
Attention
Les expressions « de plus » et « fois plus » ne traduisent pas la même relation entre deux quantités.
Exemple
- Un ruban bleu mesure 11 cm.
- Un ruban rouge mesure 2 cm de plus que le ruban bleu : $$11+2=13$$
- Le ruban rouge mesure 13 cm.
- Un ruban vert est deux fois plus long que le ruban bleu : $$11\times2=22$$
- Le ruban vert mesure 22 cm.
Résoudre une comparaison multiplicative en plusieurs étapes
Certains problèmes de comparaison multiplicative nécessitent plusieurs opérations.
Exemple
Un casque et une trottinette coûtent ensemble 150 €. La trottinette coûte quatre fois plus cher que le casque. Quel est le prix de chaque objet ? On peut représenter le prix du casque par une part. Puisque la trottinette coûte quatre fois plus cher, son prix est représenté par quatre parts identiques.
- casque : 1 part ;
- trottinette : 4 parts ;
- total : 150 €.
Le prix total correspond donc à : $$1+4=5\text{ parts}$$
- Première étape : déterminer la valeur d’une part $$150\div5=30$$ Une part vaut 30 €. Le casque coûte donc 30 €.
- Deuxième étape : déterminer le prix de la trottinette $$30\times4=120$$ La trottinette coûte 120 €. On peut vérifier le résultat : $$30+120=150$$ Le casque coûte 30 € et la trottinette coûte 120 €.
