Cours : Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité

Dans cette leçon, nous allons apprendre à reconnaître une situation de proportionnalité, puis nous apprendrons à utiliser certaines méthodes afin de mieux raisonner, pour faciliter les calculs.

Comment reconnaître une situation de proportionnalité ?

À retenir

Lorsque deux grandeurs évoluent toujours de la même façon, on dit qu’elles sont proportionnelles.

Mais comment procéder si l’on veut faire un gâteau pour 6, 9 ou 12 personnes ?
Reportons d’abord les données de la recette pour 3 personnes dans un tableau et décrivons comment calculer le reste :

• Pour 6 personnes, nous pouvons multiplier 3 par 2, car nous savons que 6 est le double de 3. Il nous faudra donc le double de tous les ingrédients.
  Toutes les grandeurs de la recette pour 3 personnes sont multipliées par 2.

• Pour 9 personnes, nous pouvons multiplier 3 par 3, car nous savons que 9 est le triple de 3. Il nous faudra donc le triple de tous les ingrédients.
  Toutes les grandeurs de la recette pour 3 personnes sont multipliées par 3.

• Pour 12 personnes, nous pouvons multiplier 3 par 4 ou 6 par 2, car nous savons que 12 est le double de 6.
  Toutes les grandeurs de la recette pour 3 personnes sont multipliées par 4.
  Ou toutes les grandeurs de la recette pour 6 personnes sont multipliées par 2.

• L’exemple décrit ci-dessus est une situation de proportionnalité.

À retenir

Pour reconnaître une situation de proportionnalité, on peut se servir d’un tableau. Puis on vérifie si toutes les grandeurs peuvent être multipliées par le même nombre.

Astuce

Si nous reprenons notre tableau de proportionnalité ci-dessus, nous pouvons dire que :

• la recette pour 3 personnes contient 2 œufs, alors que la recette pour 6 personnes en contient 2 fois plus ;
• la recette pour 12 personnes contient 8 œufs, alors que la recette pour 6 personnes en contient 2 fois moins.

Dans certaines situations, nous pouvons dire « …fois plus (que) » ou « …fois moins (que) », alors nous sommes dans une situation de proportionnalité.

Exemple

Un sportif qui court 10 km le 1^er jour, 12 km le 2^e jour et 7 km le 3^e jour ne progresse pas de façon régulière.
Il n’y a pas, dans ce cas, une situation de proportionnalité.

Méthodes pour résoudre une situation de proportionnalité

Dans une situation de proportionnalité, il est possible :

• de multiplier les grandeurs par le même nombre ;

Exemple

Sur un marché, 2 ananas coûtent 5 euros. Combien coûtent 8 ananas ?

Il nous faut 4 fois plus d’ananas, car 2 × 4 = 8.
Alors 8 ananas coûtent 20 euros, car 5 × 4 = 20, soit 4 fois plus.

• d’ajouter les grandeurs de la même catégorie ;

Exemple

Sur un marché, 2 ananas coûtent 5 euros et 8 ananas coûtent 20 euros. Combien coûtent 10 ananas ?

10 ananas (2 + 8) coûtent 25 euros (5 + 20).

• de diviser deux grandeurs de la même catégorie.

Exemple

Sur un marché, 2 ananas coûtent 5 euros. Combien coûtent 1 ananas ?

1 ananas est la moitié de 2 ananas. Donc 1 ananas coûte 2,50 euros (la moitié de 5 euros).

Application

Dans un magasin, 1 bouteille contient 2 litres.
Combien de litres contient 7 bouteilles ?

Le tableau ci-dessous représente la situation de proportionnalité :

Pour répondre à la question posée, il y a deux possibilités.

• Première possibilité

D’après le tableau de proportionnalité, 7 bouteilles contiennent 7 fois 1 bouteille.

• Ici, on utilise la règle de trois, c’est-à-dire que nous avons 3 données pour en trouver 1.

Donc on calcule :

Alors 7 bouteilles contiennent 14 litres.

• Deuxième possibilité

D’après le tableau de proportionnalité, 7 bouteilles contiennent autant que 5 bouteilles + 2 bouteilles.
Donc on calcule : 10 litres + 4 litres = 14 litres.
Alors 7 bouteilles contiennent 14 litres