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Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité

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Dans cette leçon, nous allons apprendre à reconnaître une situation de proportionnalité, puis nous apprendrons à utiliser certaines méthodes afin de mieux raisonner, pour faciliter les calculs.

Comment reconnaître une situation de proportionnalité ?

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À retenir

Lorsque deux grandeurs évoluent toujours de la même façon, on dit qu’elles sont proportionnelles.

Voici la recette d’un gâteau pour 3 personnes :

  • 2 œufs
  • 120 g de farine
  • 100 g de sucre
  • 1 demi-paquet de levure

Mais comment procéder si l’on veut faire un gâteau pour 6, 9 ou 12 personnes ?
Reportons d’abord les données de la recette pour 3 personnes dans un tableau et décrivons comment calculer le reste :

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  • Pour 6 personnes, nous pouvons multiplier 3 par 2, car nous savons que 6 est le double de 3. Il nous faudra donc le double de tous les ingrédients.
    Toutes les grandeurs de la recette pour 3 personnes sont multipliées par 2.

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  • Pour 9 personnes, nous pouvons multiplier 3 par 3, car nous savons que 9 est le triple de 3. Il nous faudra donc le triple de tous les ingrédients.
    Toutes les grandeurs de la recette pour 3 personnes sont multipliées par 3.

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  • Pour 12 personnes, nous pouvons multiplier 3 par 4 ou 6 par 12, car nous savons que 12 est le double de 6.
    Toutes les grandeurs de la recette pour 3 personnes sont multipliées par 4.
    Ou toutes les grandeurs de la recette pour 6 personnes sont multipliées par 2.

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  • L’exemple décrit ci-dessus est une situation de proportionnalité.
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À retenir

Pour reconnaître une situation de proportionnalité, on peut se servir d’un tableau. Puis on vérifie si toutes les grandeurs peuvent être multipliées par le même nombre.

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Astuce

Si nous reprenons notre tableau de proportionnalité ci-dessus, nous pouvons dire que :

  • la recette pour 3 personnes contient 2 œufs, alors que la recette pour 6 personnes en contient 2 fois plus ;
  • la recette pour 12 personnes contient 8 œufs, alors que la recette pour 6 personnes en contient 2 fois moins.

Dans certaines situations, nous pouvons dire « …fois plus (que) » ou « …fois moins (que) », alors nous sommes dans une situation de proportionnalité.

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Exemple

Un sportif qui court 10 km le 1er jour, 12 km le 2e jour et 7 km le 3e jour ne progresse pas de façon régulière.
Il n’y a pas, dans ce cas, une situation de proportionnalité.

Méthodes pour résoudre une situation de proportionnalité

Dans une situation de proportionnalité, il est possible :

  • de multiplier les grandeurs par le même nombre ;
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Exemple

Sur un marché, 2 ananas coûtent 5 euros. Combien coûtent 8 ananas ?

Il nous faut 4 fois plus d’ananas, car 2 × 4 = 8.
Alors 8 ananas coûtent 20 euros, car 5 × 4 = 20, soit 4 fois plus.

  • d’ajouter les grandeurs de la même catégorie ;
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Exemple

Sur un marché, 2 ananas coûtent 5 euros et 8 ananas coûtent 20 euros. Combien coûtent 10 ananas ?

10 ananas (2 + 8) coûtent 25 euros (5 + 20).

  • de diviser deux grandeurs de la même catégorie.
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Exemple

Sur un marché, 2 ananas coûtent 5 euros. Combien coûtent 1 ananas ?

1 ananas est la moitié de 2 ananas. Donc 1 ananas coûte 2,50 euros (la moitié de 5 euros).

Application

Dans un magasin, 1 bouteille contient 2 litres.
Combien de litres contient 7 bouteilles ?

Le tableau ci-dessous représente la situation de proportionnalité :

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Pour répondre à la question posée, il y a deux possibilités.

  • Première possibilité

D’après le tableau de proportionnalité, 7 bouteilles contiennent 7 fois 1 bouteille.

  • Ici, on utilise la règle de trois, c’est-à-dire que nous avons 3 données pour en trouver 1.

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Donc on calcule :

7×21\dfrac{7\times 2} 1 = 14 : 1 = 14

Alors 7 bouteilles contiennent 14 litres.

  • Deuxième possibilité

D’après le tableau de proportionnalité, 7 bouteilles contiennent autant que 5 bouteilles + 2 bouteilles.
Donc on calcule : 10 litres + 4 litres = 14 litres.
Alors 7 bouteilles contiennent 14 litres