Savoir réaliser un calcul contenant une ou deux paires de parenthèses

Sommaire

Introduction
1 . Comprendre le rôle des parenthèses
2 . Respecter les priorités opératoires
Conclusion

Introduction

L'objectif de ce cours est d'apprendre à réaliser un calcul contenant une ou plusieurs paires de parenthèses. En mathématiques, tous les calculs ne se font pas forcément dans l'ordre où ils sont écrits. Il faut respecter un ordre précis : on parle de priorités opératoires.

Les parenthèses permettent d'indiquer qu'un calcul doit être effectué en premier.

Prérequis : N’hésite pas à aller consulter le cours de CM1 - Effectuer un calcul contenant des parenthèses.

Comprendre le rôle des parenthèses

En mathématiques, les parenthèses ont un rôle important. En effet, elles indiquent quelles opérations on effectue en premier : on dit que les calculs entre parenthèses sont prioritaires.

Exemple

Prenons l'opération suivante :

$$10 - (2 + 4) + 3$$

Ici, le premier calcul à effectuer sera $(2 + 4)$.

Exemple

Prenons l'opération suivante :

$$3 \times (2 + 5)$$

Ici, le premier calcul à effectuer sera $(2 + 5)$.

Exemple

Prenons l'opération suivante :

$$8 - (4 \times 2) + 3 \times (2 + 5)$$

Il faut d'abord calculer les deux paires de parenthèses. Ainsi, les premiers calculs à effectuer seront :

$(4 \times 2) = 8$
$(2 + 5) = 7$

Respecter les priorités opératoires

Lorsqu'on a une opération à traiter et qu'elle contient des parenthèses, il faut absolument respecter ces trois étapes dans cet ordre :

Étape	Description
En premier	On doit obligatoirement commencer par calculer le contenu des parenthèses. S'il y a plusieurs paires de parenthèses, on devra d'abord calculer le contenu de chacune d'elles : elles ont la priorité numéro 1 ! Puis, on remplace les parenthèses par le résultat du calcul qu'elles contenaient.
En deuxième	On regarde s'il y a des multiplications ou des divisions. Ce point est important : la multiplication et la division ont la priorité numéro 2 dans le calcul. Puis, on réécrit le calcul en remplaçant les multiplications et les divisions par les résultats que l'on vient de trouver. À la fin de cette étape, il ne doit rester que des additions et des soustractions.
En troisième	On calcule les additions et soustractions qu'il reste.

À retenir

On calcule d'abord le contenu des parenthèses ;
Puis les multiplications et les divisions ;
Enfin, on calcule les additions et les soustractions qu'il reste.

Exemple

Prenons l'opération suivante :

$$(7 + 2) + 4 \times (3 + 2) - 4$$

En premier : on calcule le contenu des parenthèses.
$(7 + 2) = 9$
$(3 + 2) = 5$

Puis, on remplace les parenthèses par le résultat du calcul qu'elles contenaient. Il ne reste donc plus qu’à calculer : $$ 9 + 4 \times 5 - 4$$

En deuxième : on repère les multiplications ou les divisions, puis on les calcule.

Ici, nous devons donc calculer $4 \times 5$, puis remplacer la multiplication par son résultat. Comme $4 \times 5 = 20$, le calcul à effectuer devient : $$9 + 20 - 4$$

En troisième : on finit en calculant les dernières additions ou soustractions.

$$\begin{aligned} 9 + 20 - 4 &= 29 - 4 \\ &= 25 \end{aligned}$$

Nous avons donc calculé :

$$\begin{aligned} (7 + 2) + 4 \times (3 + 2) - 4 &= 25 \end{aligned}$$

Attention

Il faut toujours tenir compte des parenthèses, et calculer les opérations qu'elles contiennent en premier.
Il faut toujours respecter la priorité des multiplications et des divisions par rapport aux additions et aux soustractions.

Exemple

Prenons l'opération suivante :

$$7 + ((5 - 3) + 2) \times 2 - 15 \div 3$$

Comme les parenthèses ont toujours la priorité, on calcule d'abord leur contenu. En premier, on doit donc faire le calcul des opérations dans cette grande parenthèse :

$$((5 - 3) + 2)$$

Ici, on observe qu’elle contient une autre paire de parenthèses. On continue donc d'appliquer notre méthode, et on calcule d'abord le contenu de cette nouvelle parenthèse :

$(5 - 3) = 2$

Puis on remplace cette petite paire de parenthèses par la valeur qu'elle contenait. Comme il n'y a pas de multiplication ni de division, on peut directement faire l'addition à l’intérieur de la grande parenthèse, ce qui donne :

$(2 + 2) = 4$

Si on récapitule, on a fait les calculs suivants :

$$\begin{aligned} 7 + ((5 - 3) + 2) \times 2 - 15 \div 3 &= 7 + (2 + 2) \times 2 - 15 \div 3 \\ &= 7 + 4 \times 2 - 15 \div 3 \end{aligned}$$

Maintenant, on peut observer qu'il n'y a plus de parenthèses. On regarde donc s'il y a des multiplications ou des divisions, et on les calcule en priorité. Ici, on a :
$4\times 2 = 8$
$15 \div 3 = 5$

Ce qui nous donne finalement : $$7 + 8 - 5$$

Maintenant qu'il n'y a plus de parenthèses, ni de multiplications, ni de divisions, on peut calculer les dernières additions et soustractions présentes dans notre opération :

$$\begin{aligned} 7 + 8 - 5 &= 15 - 5 \\ &= 10 \end{aligned}$$

Nous avons donc trouvé que :

$$7 + ((5 - 3) + 2) \times 2 - 15 \div 3 = 10$$

Conclusion

Il est très important de comprendre que les parenthèses indiquent où il faut commencer le calcul. Lorsque tu arriveras au collège et même plus tard au lycée, tu vas les rencontrer tout le temps. Cette leçon est donc très importante.

Sommaire

Introduction
1 . Comprendre le rôle des parenthèses
2 . Respecter les priorités opératoires
Conclusion

Introduction

Les parenthèses permettent d'indiquer qu'un calcul doit être effectué en premier.

Prérequis : N’hésite pas à aller consulter le cours de CM1 - Effectuer un calcul contenant des parenthèses.

Comprendre le rôle des parenthèses

En mathématiques, les parenthèses ont un rôle important. En effet, elles indiquent quelles opérations on effectue en premier : on dit que les calculs entre parenthèses sont prioritaires.

Exemple

Prenons l'opération suivante :

$$10 - (2 + 4) + 3$$

Ici, le premier calcul à effectuer sera $(2 + 4)$.

Exemple

Prenons l'opération suivante :

$$3 \times (2 + 5)$$

Ici, le premier calcul à effectuer sera $(2 + 5)$.

Exemple

Prenons l'opération suivante :

$$8 - (4 \times 2) + 3 \times (2 + 5)$$

Il faut d'abord calculer les deux paires de parenthèses. Ainsi, les premiers calculs à effectuer seront :

$(4 \times 2) = 8$
$(2 + 5) = 7$

Respecter les priorités opératoires

Lorsqu'on a une opération à traiter et qu'elle contient des parenthèses, il faut absolument respecter ces trois étapes dans cet ordre :

Étape	Description
En premier	On doit obligatoirement commencer par calculer le contenu des parenthèses. S'il y a plusieurs paires de parenthèses, on devra d'abord calculer le contenu de chacune d'elles : elles ont la priorité numéro 1 ! Puis, on remplace les parenthèses par le résultat du calcul qu'elles contenaient.
En deuxième	On regarde s'il y a des multiplications ou des divisions. Ce point est important : la multiplication et la division ont la priorité numéro 2 dans le calcul. Puis, on réécrit le calcul en remplaçant les multiplications et les divisions par les résultats que l'on vient de trouver. À la fin de cette étape, il ne doit rester que des additions et des soustractions.
En troisième	On calcule les additions et soustractions qu'il reste.

À retenir

On calcule d'abord le contenu des parenthèses ;
Puis les multiplications et les divisions ;
Enfin, on calcule les additions et les soustractions qu'il reste.

Exemple

Prenons l'opération suivante :

$$(7 + 2) + 4 \times (3 + 2) - 4$$

En premier : on calcule le contenu des parenthèses.
$(7 + 2) = 9$
$(3 + 2) = 5$

Puis, on remplace les parenthèses par le résultat du calcul qu'elles contenaient. Il ne reste donc plus qu’à calculer : $$ 9 + 4 \times 5 - 4$$

En deuxième : on repère les multiplications ou les divisions, puis on les calcule.

Ici, nous devons donc calculer $4 \times 5$, puis remplacer la multiplication par son résultat. Comme $4 \times 5 = 20$, le calcul à effectuer devient : $$9 + 20 - 4$$

En troisième : on finit en calculant les dernières additions ou soustractions.

$$\begin{aligned} 9 + 20 - 4 &= 29 - 4 \\ &= 25 \end{aligned}$$

Nous avons donc calculé :

$$\begin{aligned} (7 + 2) + 4 \times (3 + 2) - 4 &= 25 \end{aligned}$$

Attention

Il faut toujours tenir compte des parenthèses, et calculer les opérations qu'elles contiennent en premier.
Il faut toujours respecter la priorité des multiplications et des divisions par rapport aux additions et aux soustractions.

Exemple

Prenons l'opération suivante :

$$7 + ((5 - 3) + 2) \times 2 - 15 \div 3$$

Comme les parenthèses ont toujours la priorité, on calcule d'abord leur contenu. En premier, on doit donc faire le calcul des opérations dans cette grande parenthèse :

$$((5 - 3) + 2)$$

Ici, on observe qu’elle contient une autre paire de parenthèses. On continue donc d'appliquer notre méthode, et on calcule d'abord le contenu de cette nouvelle parenthèse :

$(5 - 3) = 2$

$(2 + 2) = 4$

Si on récapitule, on a fait les calculs suivants :

$$\begin{aligned} 7 + ((5 - 3) + 2) \times 2 - 15 \div 3 &= 7 + (2 + 2) \times 2 - 15 \div 3 \\ &= 7 + 4 \times 2 - 15 \div 3 \end{aligned}$$

Maintenant, on peut observer qu'il n'y a plus de parenthèses. On regarde donc s'il y a des multiplications ou des divisions, et on les calcule en priorité. Ici, on a :
$4\times 2 = 8$
$15 \div 3 = 5$

Ce qui nous donne finalement : $$7 + 8 - 5$$

Maintenant qu'il n'y a plus de parenthèses, ni de multiplications, ni de divisions, on peut calculer les dernières additions et soustractions présentes dans notre opération :

$$\begin{aligned} 7 + 8 - 5 &= 15 - 5 \\ &= 10 \end{aligned}$$

Nous avons donc trouvé que :

$$7 + ((5 - 3) + 2) \times 2 - 15 \div 3 = 10$$

Conclusion