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Marianne

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Les probabilités : bases et vocabulaire

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Introduction :

Les objectifs du cours de 4e sur les probabilités sont d'introduire de nouvelles notions comme les événements particuliers et leurs propriétés, une méthode de représentation d'une expérience aléatoire, et de découvrir la relation entre probabilité et fréquence de réalisation.

Nous commencerons ce cours par un rappel de vocabulaire. Nous reverrons également la notion de probabilité avant d'introduire les différents événements particuliers et leurs propriétés spécifiques. Nous présenterons ensuite la méthode de représentation d'une situation en arbre de probabilités. Un dernier paragraphe fera le lien entre probabilité et fréquence.

Expérience aléatoire et probabilité

Vocabulaire

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Définition

Expérience aléatoire :

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles mais dont on ne peut pas prévoir le résultat qui se produira effectivement.

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Exemple

Tirer une carte au hasard d'un jeu de 3232 cartes est une expérience aléatoire. On sait quels sont tous les résultats possibles (les 3232 cartes du jeu) mais on ne sait pas à l'avance quelle carte va être tirée.

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Définition

Issue :

Une issue est un résultat possible d'une expérience.

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Exemple

Dans notre expérience précédente, il y a 3232 issues : les huit cartes 77, 88, 99, 1010, valet, dame, roi et as pour chacune des 44 couleurs ♥︎, ♦︎, ♠︎ et ♣︎.

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Définition

Événement :

Un événement est une condition qui peut être réalisée par une ou plusieurs issue(s) d'une expérience.

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Exemple

« Tirer un 99 rouge » est un événement. Il peut être réalisé par les issues « 99 de ♥︎ » et « 99 de ♦︎ ».

Notion de probabilité

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Définition

Probabilité d'un événement :

La probabilité d'un événement est la proportion de chance que cet événement se réalise.
Elle s'exprime sous forme d'une fraction, d'un nombre décimal ou d'un pourcentage.

Soit AA un événement d'une expérience aléatoire, on note p(A)p(A) la probabilité que cet événement se réalise.

La probabilité d'un événement est une proportion ; c'est un nombre positif ou nul.
Elle exprime le nombre de possibilités qu'a cet événement de se réaliser par rapport au nombre total de résultats possibles ; sa valeur est inférieure ou égale à 11, d'où la propriété fondamentale suivante.

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Propriété

La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 00 et 11.

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Exemple

Reprenons l'expérience précédente.

  • Soit l'événement AA « tirer un valet ». Il y a 44 valets dans le jeu donc 44 chances sur 3232 de tirer un valet.
  • La probabilité de l'événement donc AA est p(A)=432=18p(A) = \dfrac{4}{32} = \dfrac 18 soit 0,1250,125 ou 12,5 %12,5\ \%.
  • Soit l'événement BB « tirer un ♦︎ ». Il y a 88 ♦︎ dans le jeu donc 88 chances sur 3232 de tirer un ♦︎.
  • La probabilité de l'événement BB est p(B)=832=14p(B) = \dfrac{8}{32} = \dfrac 14 soit 0,250,25 ou 25 %25\ \%.

Inversement, dire que la probabilité d'un événement est de 0,10,1 signifie que cet événement à 10 %10\ \% de chance, soit 11 chance sur 1010, de se réaliser.

Événements particuliers et propriétés

Événement élémentaire

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Définition

Événement élémentaire :

Un événement élémentaire est un événement qui ne peut être réalisé que par une seule issue.

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Propriété

La somme des probabilités de tous les événements élémentaires (issues) d'une expérience aléatoire est égale à 11.

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Exemple

  • L'événement « tirer un as noir » est réalisé par les issues « as de ♠︎ » et « as de ♣︎ ».
  • Ce n'est donc pas un événement élémentaire.
  • L'événement « tirer un ♥︎ plus petit que le 88 » n'est réalisé que par l'issue « 77 de ♥︎ ».
  • C'est donc un événement élémentaire.
  • Chaque événement élémentaire (issue) a une probabilité de 132\frac{1}{32} soit 0,031250,03125.
    Il y a 3232 issues donc la somme de leurs probabilités est égale à 32×0,0312532 \times 0,03125 soit 11.

Événement certain

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Définition

Événement certain :

Un événement certain est un événement réalisé par toutes les issues.
Autrement dit, il est sûr de se produire.

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Propriété

La probabilité d'un événement certain est égale à 11.

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Exemple

L'événement CC « tirer une carte rouge ou noire » est un événement certain : p(C)=1p(C) = 1

Événement impossible

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Définition

Événement impossible :

Un événement impossible n'est réalisé par aucune issue.
Autrement dit, il ne peut pas se produire.

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Propriété

La probabilité d'un événement impossible est égale à 00.

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Exemple

L'événement DD « tirer un 55 » est un événement impossible : p(D)=0p(D) = 0

Événements contraires

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Définition

Événements contraires :

Deux événements sont contraires si chacun d'entre eux est sûr de se réaliser lorsque l'autre ne se réalise pas.

Soit AA un événement d'une expérience aléatoire, on note A\overline A (ou non A\text{non } A) son événement contraire.

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Propriété

La somme des probabilités d'un événement et de son contraire est égale à 11 : p(A)+p(A)=1p(A) + p(\overline A) = 1

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Exemple

Les événements EE « tirer un ♣︎ » et FF « tirer un ♠︎ ou un ♦︎ ou un ♥︎ » sont deux événements contraires.
En effet, si on ne tire pas un ♣︎ alors on tire forcément un ♠︎ ou un ♦︎ ou un ♥︎, et si on ne tire ni un ♠︎ ni un ♦︎ ni un ♥︎, alors on tire forcément un ♣︎.

Donc l'événement FF est l'événement E\overline E d'où : p(F)=p(E)=1p(E)p(F) = p(\overline E) = 1 - p(E)

Il y a 88 chances sur 3232 de tirer un ♣︎ donc p(E)=832=14p(E) = \dfrac{8}{32} = \dfrac 14

Doù p(F)=114=34=0,75p(F) = 1 - \dfrac 14 = \dfrac 34 = 0,75 soit 75 %75\ \%.

  • Il y a donc 75 %75\ \% de chance de tirer un ♠︎ ou un ♦︎ ou un ♥︎.

Événements incompatibles

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Définition

Événements incompatibles :

Deux événements sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas se produire en même temps.

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Propriété

Lorsque deux événements sont incompatibles :

  • la probabilité pour que l'un ou l'autre se réalise est égale à la somme de leur probabilité ;
  • la probabilité pour que l'un et l'autre se réalisent est nulle.

Soient AA et BB deux événements incompatibles : p(A ou B)=p(A)+p(B)p(A\text{ ou }B) = p(A) + p(B)

et

p(A et B)=0p(A \text{ et } B) = 0

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Exemple

Les événements GG « tirer un ♦︎ » et HH « tirer une carte noire » sont deux événements incompatibles (sans être contraires !). p(G ou H)=p(G)+p(H)p(G\text{ ou }H) = p(G) + p(H) Il y a 88 chances sur 3232 de tirer un ♦︎ donc p(G)=832=14p(G) = \dfrac{8}{32} = \dfrac 14
Il y a 1616 chances sur 3232 de tirer une carte noire donc p(H)=1632=12p(H) = \dfrac{16}{32} = \dfrac 12

Donc p(G ou H)=14+12=34p(G\text{ ou }H) = \dfrac 14 + \dfrac 12 = \dfrac 34

  • Il y a donc 75 %75\ \% de chance de tirer un ♦︎ ou une carte noire.

p(G et H)=0p(G\text{ et }H) = 0

  • En effet, on ne peut pas tirer un ♦︎ qui soit une carte noire.

Arbre de probabilités

Une expérience aléatoire peut être modélisée par un arbre de probabilités.

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Définition

Arbre de probabilités :

L'arbre de probabilités d'une expérience aléatoire indique chacune des issues de l'expérience en spécifiant sur chaque branche la probabilité correspondante.

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Exemple

Pour plus de clarté, gardons de notre jeu de cartes uniquement les ♥︎ et rajoutons-y 44 jokers.
Nous disposons donc d'un jeu 1212 cartes.

Les issues de notre nouvelle expérience sont « 77 de ♥︎ », « 88 de ♥︎ », « 99 de ♥︎ », « 1010 de ♥︎ », « valet de ♥︎ », « dame de ♥︎ », « roi de ♥︎ », « as de ♥︎ » et « joker ».

Chacune des 88 issues « ♥︎ » a une probabilité de 112\dfrac{1}{12}.

L'issue « joker » a une probabilité de 412\dfrac{4}{12} (puisqu'il y a 44 jokers identiques parmi les 1212 cartes) soit 13\dfrac 13.

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Astuce

Nous laissons volontairement ces nombres sous forme de fractions, ils seront plus faciles à manipuler par la suite.

Cette expérience peut être représentée par l'arbre de probabilités suivant :

arbre de probabilité mathématiques quatrième

On peut profiter de cet exemple pour vérifier la propriété sur la somme des probabilités des événements élémentaires (issues).
En effet 8×112+412=1212=18 \times \dfrac{1}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{12}{12} = 1

  • La somme des probabilités des événements élémentaires est bien égale à 11.

En 3e, nous apprendrons à calculer la probabilité d'un événement en fonction des issues qui lui sont favorables.
L'arbre de probabilités sera un moyen précieux pour y parvenir.

Fréquence et probabilité

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Propriété

Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de réalisation d'un événement se rapproche d'une fréquence théorique appelée « probabilité ».

Illustration

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Exemple

Certaines expériences peuvent être simulées par tableur, comme le lancer d'un dé.

Grâce à une fonction qui affecte un nombre aléatoire (en l'occurrence ici entre 11 à 66 compris) à une cellule, nous avons effectué une simulation de 100100 lancers et relevé le nombre de « 33 » obtenus.
Nous avons ensuite répété cette expérience 2020 fois (soit un total de 20002000 lancers) et calculé la fréquence d'obtention du « 33 » en fonction du nombre cumulé de lancers.

Voici le graphique représentant l'évolution de cette fréquence :

fréquence et probabilité mathématique quatrième

On constate que la fréquence d'obtention du « 33 » a tendance à se stabiliser entre 0,160,16 et 0,170,17 ce qui confirme la probabilité théorique de 16=0,16\dfrac 16 = 0,16…

Le dé étant équilibré, cette expérience aurait pu s'appliquer à n'importe quelle face du dé.

  • On peut ainsi confirmer l'ensemble des probabilités des 66 issues de l'expérience.

Application

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À retenir

Cette propriété permet d'estimer la probabilité d'une issue d'une expérience lorsque cette dernière ne peut pas se déterminer de façon intuitive.

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Exemple

« Lancer une punaise et regarder comment elle retombe » est une expérience aléatoire à deux issues :

  • elle peut retomber sur le dos, pointe en haut,
  • ou sur le côté (posée sur la tranche et pointe vers le bas).

La probabilité de ces issues ne peut pas se calculer de manière intuitive.

Seule la méthode expérimentale, en répétant l'expérience un très grand nombre de fois et en calculant la fréquence de réalisation de chaque issue, permettra de déterminer leur probabilité (ou fréquence théorique).

Conclusion :

Ce cours est riche en nouvelles notions. Ce qu'il faut en retenir, ce sont les différents types d'événements et leurs propriétés propres qui nous permettrons de calculer des probabilités. Il faut également maîtriser la construction d'un arbre de probabilités simple avant d'aborder des situations plus complexes l'année prochaine. Enfin, comprendre la relation entre probabilité et fréquence permet de mieux appréhender les problématiques de probabilité en général.