Cours : Les probabilités : bases et vocabulaire

Tirer une carte au hasard d'un jeu de $32$ cartes est une expérience aléatoire. On sait quels sont tous les résultats possibles (les $32$ cartes du jeu) mais on ne sait pas à l'avance quelle carte va être tirée.

Dans notre expérience précédente, il y a $32$ issues : les huit cartes $7$, $8$, $9$, $10$, valet, dame, roi et as pour chacune des $4$ couleurs ♥︎, ♦︎, ♠︎ et ♣︎.

« Tirer un $9$ rouge » est un événement. Il peut être réalisé par les issues « $9$ de ♥︎ » et « $9$ de ♦︎ ».

Reprenons l'expérience précédente.

• Soit l'événement $A$ « tirer un valet ». Il y a $4$ valets dans le jeu donc $4$ chances sur $32$ de tirer un valet.
• La probabilité de l'événement $A$ est $p(A) = \dfrac{4}{32} = \dfrac 18$ soit $0,125$ ou $12,5\ \%$.
• Soit l'événement $B$ « tirer un ♦︎ ». Il y a $8$ ♦︎ dans le jeu donc $8$ chances sur $32$ de tirer un ♦︎.
• La probabilité de l'événement $B$ est $p(B) = \dfrac{8}{32} = \dfrac 14$ soit $0,25$ ou $25\ \%$.

Inversement, dire que la probabilité d'un événement est de $0,1$ signifie que cet événement à $10\ \%$ de chance, soit $1$ chance sur $10$, de se réaliser.

• L'événement « tirer un as noir » est réalisé par les issues « as de ♠︎ » et « as de ♣︎ ».
• Ce n'est donc pas un événement élémentaire.
• L'événement « tirer un ♥︎ plus petit que le $8$ » n'est réalisé que par l'issue « $7$ de ♥︎ ».
• C'est donc un événement élémentaire.
• Chaque événement élémentaire (issue) a une probabilité de $\frac{1}{32}$ soit $0,03125$.
  Il y a $32$ issues donc la somme de leurs probabilités est égale à $32 \times 0,03125$ soit $1$.

L'événement $C$ « tirer une carte rouge ou noire » est un événement certain : $$p(C) = 1$$

L'événement $D$ « tirer un $5$ » est un événement impossible : $$p(D) = 0$$

Les événements $E$ « tirer un ♣︎ » et $F$ « tirer un ♠︎ ou un ♦︎ ou un ♥︎ » sont deux événements contraires.
En effet, si on ne tire pas un ♣︎ alors on tire forcément un ♠︎ ou un ♦︎ ou un ♥︎, et si on ne tire ni un ♠︎ ni un ♦︎ ni un ♥︎, alors on tire forcément un ♣︎.

Donc l'événement $F$ est l'événement $\overline E$ d'où : $$p(F) = p(\overline E) = 1 - p(E)$$

Il y a $8$ chances sur $32$ de tirer un ♣︎ donc $p(E) = \dfrac{8}{32} = \dfrac 14$

Doù $p(F) = 1 - \dfrac 14 = \dfrac 34 = 0,75$ soit $75\ \%$.

• Il y a donc $75\ \%$ de chance de tirer un ♠︎ ou un ♦︎ ou un ♥︎.

Les événements $G$ « tirer un ♦︎ » et $H$ « tirer une carte noire » sont deux événements incompatibles (sans être contraires !). $$p(G\text{ ou }H) = p(G) + p(H)$$ Il y a $8$ chances sur $32$ de tirer un ♦︎ donc $p(G) = \dfrac{8}{32} = \dfrac 14$
Il y a $16$ chances sur $32$ de tirer une carte noire donc $p(H) = \dfrac{16}{32} = \dfrac 12$

Donc $p(G\text{ ou }H) = \dfrac 14 + \dfrac 12 = \dfrac 34$

• Il y a donc $75\ \%$ de chance de tirer un ♦︎ ou une carte noire.

$p(G\text{ et }H) = 0$

• En effet, on ne peut pas tirer un ♦︎ qui soit une carte noire.

Pour plus de clarté, gardons de notre jeu de cartes uniquement les ♥︎ et rajoutons-y $4$ jokers.
Nous disposons donc d'un jeu $12$ cartes.

Les issues de notre nouvelle expérience sont « $7$ de ♥︎ », « $8$ de ♥︎ », « $9$ de ♥︎ », « $10$ de ♥︎ », « valet de ♥︎ », « dame de ♥︎ », « roi de ♥︎ », « as de ♥︎ » et « joker ».

Chacune des $8$ issues « ♥︎ » a une probabilité de $\dfrac{1}{12}$.

L'issue « joker » a une probabilité de $\dfrac{4}{12}$ (puisqu'il y a $4$ jokers identiques parmi les $12$ cartes) soit $\dfrac 13$.

Astuce

Nous laissons volontairement ces nombres sous forme de fractions, ils seront plus faciles à manipuler par la suite.

Cette expérience peut être représentée par l'arbre de probabilités suivant :

Certaines expériences peuvent être simulées par tableur, comme le lancer d'un dé.

Grâce à une fonction qui affecte un nombre aléatoire (en l'occurrence ici entre $1$ à $6$ compris) à une cellule, nous avons effectué une simulation de $100$ lancers et relevé le nombre de « $3$ » obtenus.
Nous avons ensuite répété cette expérience $20$ fois (soit un total de $2000$ lancers) et calculé la fréquence d'obtention du « $3$ » en fonction du nombre cumulé de lancers.

Voici le graphique représentant l'évolution de cette fréquence :

On constate que la fréquence d'obtention du « $3$ » a tendance à se stabiliser entre $0,16$ et $0,17$ ce qui confirme la probabilité théorique de $\dfrac 16 = 0,16…$

Le dé étant équilibré, cette expérience aurait pu s'appliquer à n'importe quelle face du dé.

• On peut ainsi confirmer l'ensemble des probabilités des $6$ issues de l'expérience.

« Lancer une punaise et regarder comment elle retombe » est une expérience aléatoire à deux issues :

• elle peut retomber sur le dos, pointe en haut,
• ou sur le côté (posée sur la tranche et pointe vers le bas).

La probabilité de ces issues ne peut pas se calculer de manière intuitive.

Seule la méthode expérimentale, en répétant l'expérience un très grand nombre de fois et en calculant la fréquence de réalisation de chaque issue, permettra de déterminer leur probabilité (ou fréquence théorique).