Cours Les probabilités
Introduction :
Le mot « hasard » vient de l’arabe az-zahr, qui signifie « jeu de dé ». Le résultat de certaines actions, que l’on appellera « expériences » en mathématiques, comme lancer un dé à 6 faces et relever le nombre obtenu, ou jouer à pile ou face, est le fruit du hasard.
Ces expériences sont dites « aléatoires », adjectif venant du latin alea signifiant également « dé ».
Dans ce cours, nous allons donc d’abord parler de situations liées au hasard en définissant précisément les termes d’expérience aléatoire, d’issue et d’événement. Nous parlerons ensuite des chances de réalisation d’un événement, ce qui nous permettra d’introduire la notion de probabilité.
Vocabulaire des probabilités
Vocabulaire des probabilités
Rappel
Définition
Expérience aléatoire :
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat qui se produira effectivement.
Définition
Issue :
Une issue est un résultat possible d’une expérience aléatoire.
Définition
Événement :
Un événement est une condition qui peut être réalisée par une ou plusieurs issue(s) d’une expérience.
Notion de probabilité
Notion de probabilité
Chances de réalisation d’un événement
Chances de réalisation d’un événement
Définition
Chances de réalisation d’un événement :
Les chances de réalisation d’un événement sont le nombre de possibilités qu’il a de se réaliser par rapport au nombre de résultats possibles.
Exemple
Il y a $6$ résultats possibles au lancer de dé à $6$ faces. Ils correspondent aux $6$ issues : $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$.
- L’événement « obtenir $2$ » ne peut être réalisé que par $1$ issue : l’issue $2$.
- « Obtenir $2$ » a donc $1$ chance sur $6$ de se réaliser.
- L’événement « obtenir un nombre impair » peut être réalisé par $3$ issues : les issues $1$, $3$ et $5$.
- « Obtenir un nombre impair » a donc $3$ chances sur $6$ de se réaliser.
Équiprobabilité
Équiprobabilité
Définition
Équiprobabilité :
Une situation est dite équiprobable lorsque toutes les issues d’une expérience aléatoire ont la même probabilité de se réaliser.
Exemple
Lorsqu’on lance un dé équilibré à $6$ faces, chacune des issues $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$ a la même probabilité de se réaliser.
Il s’agit donc d’une situation d’équiprobabilité.
Probabilité d’un événement
Probabilité d’un événement
Définition
Probabilité d’un événement :
La probabilité d’un événement est la proportion de chance que cet événement se réalise.
- C’est un nombre compris entre $0$ et $1$.
Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement est égale au nombre d’issues qui réalisent l’événement divisé par le nombre total d’issues.
Elle s’exprime sous la forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.
À retenir
- Une probabilité nulle correspond à un événement impossible (qui ne peut pas se réaliser).
- Une probabilité égale à $1$ correspond à un événement certain (qui est sûr de se réaliser).
- Plus sa probabilité est grande, plus un événement a de chance de se réaliser.
Exemple
Reprenons l’exemple du dé à $6$ faces.
C’est une situation d’équiprobabilité à $6$ issues, donc chaque issue a une probabilité de $\dfrac{1}{6}$.
- L’événement» obtenir $2$ » a $1$ chance sur $6$ de se réaliser.
- Sa probabilité est donc égale à $\frac 16$, soit environ $0,167$, soit environ $16,7\ \%$.
- L’événement « obtenir un nombre impair » a $3$ chances sur $6$ de se réaliser.
- Sa probabilité est donc égale à $\frac 36=\frac 12$ (en simplifiant la fraction), soit $0,5$, soit $50\ \%$.
On peut aussi dire que l’événement a $1$ chance sur $2$, ou $50\ \%$ de chance, de se réaliser. - Puisqu’il s’agit d’un dé à $6$ faces, donc numéroté de $1$ à $6$, l’événement « obtenir $7$ » n’a aucune chance de se réaliser.
- Sa probabilité est nulle.
- Puisque tous les numéros du dé sont positifs, l’événement « obtenir un nombre positif » est certain de se réaliser.
- Sa probabilité vaut $1$.
Attention
Nous parlons ici de situations où la probabilité peut se déterminer de façon simple.
Cette valeur est bien sûr théorique. Si on tente notre expérience du lancer de dé $6$ fois consécutivement, il y a très peu de chances que chacune des issues possibles se produise effectivement une fois !
À retenir
Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence observée d’un événement tend à se rapprocher de sa probabilité théorique.
Répéter une expérience aléatoire
Répéter une expérience aléatoire
On peut répéter plusieurs fois une même expérience aléatoire et noter les résultats obtenus.
Tableau d’effectifs
Tableau d’effectifs
Définition
Effectif :
L’effectif d’une issue est le nombre de fois où cette issue a été obtenue lors des répétitions d’une expérience aléatoire.
Exemple
On lance une pièce $20$ fois.
On obtient $11$ fois « Pile » et $9$ fois « Face ».
On peut enregistrer les résultats dans un tableau d’effectifs :
Fréquence
Fréquence
Définition
Fréquence :
La fréquence d’une issue est le quotient de son effectif par le nombre total de répétitions de l’expérience.
Exemple
Dans l’expérience précédente :
- la fréquence de « Pile » est $\frac{11}{20}=0,55$ ;
- la fréquence de « Face » est $\frac{9}{20}=0,45$.
On peut compléter le tableau :
À retenir
Lorsqu’on répète une expérience aléatoire :
- l’effectif indique combien de fois une issue a été obtenue ;
- la fréquence indique la proportion de fois où cette issue a été obtenue.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons étudié des situations liées au hasard en utilisant les notions d’expérience aléatoire, d’issue et d’événement.
Nous avons appris à attribuer une probabilité à un événement dans des situations simples d’équiprobabilité, à l’exprimer sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage, et à comparer les chances de réalisation de différents événements.
Enfin, nous avons vu qu’en répétant une expérience aléatoire, on peut enregistrer les résultats obtenus dans un tableau d’effectifs et de fréquences.
