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Programme Collège 3eCours MathématiquesSemaine 6 - Solides et transformationsFiche de révision : Semaine 6 - Solides et transformationsSemaine 6 - Solides et transformations
Solides et transformations
Solides et transformations
Sphère et boule
Sphère et boule
🎯 Objectifs du programme
- Connaître les définitions de la sphère et de la boule.
- Calculer leur aire et leur volume.
- Se repérer sur une sphère avec les notions de latitude et longitude.
📘 Définitions
Définition
Sphère : ensemble des points situés à une même distance $R$ d’un point $O$ (centre).
Boule : ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à $R$ du point $O$.
Grand cercle : cercle de centre $O$ et de rayon $R$, obtenu par la section de la sphère par un plan passant par son centre.
📐 Aire et volume
Définition
- Aire de la sphère : $ A = 4\pi R^2 $
- Volume de la boule : $ V = \dfrac{4}{3}\pi R^3 $
Exemple
Pour $R = 6,378$ km (Terre) : $ A \approx 4\pi \cdot 6,378^2 \approx 511,000,000\ \text{km}^2 $ $ V \approx \dfrac{4}{3}\pi \cdot 6,378^3 \approx 1{,}087 \cdot 10^{12}\ \text{km}^3 $
🧭 Latitude et longitude
Définition
Latitude : angle mesurant la position nord ou sud par rapport à l’équateur (de $0°$ à $90°$).
Longitude : angle mesurant la position est ou ouest par rapport au méridien de Greenwich (de $0°$ à $180°$).
Coordonnées géographiques : $ (\text{latitude} ; \text{longitude}) $
Exemple
New Delhi : $ (28°\text{N} ; 77°\text{E}) $
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Sections planes de solides
Sections planes de solides
🎯 Objectifs du programme
- Comprendre les sections de solides (pavés, cylindres, pyramides, sphères).
- Identifier la forme et dimensions des sections.
- Utiliser ces sections pour calculer des longueurs, aires, volumes.
📘 Pavés droits
Définition
Section parallèle à une face : rectangle identique à la face.
Section parallèle à une arête : rectangle dont une dimension est celle de l’arête.
Exemple
Une section parallèle à $[BC]$ d’un pavé donne un rectangle de largeur $BC$.
📘 Cylindres
Définition
- Section parallèle à la base : disque identique à la base.
- Section parallèle à l’axe : rectangle.
- Section passant par l’axe : rectangle de largeur égale au diamètre du cylindre.
📘 Pyramides et cônes
Définition
Section parallèle à la base : polygone (ou disque pour les cônes) réduit du polygone (ou disque) de base.
Rapport de réduction $k = \dfrac{\text{hauteur sectionnée}}{\text{hauteur totale}}$
- Aire de la section : multipliée par $k^2$
- Volume restant : soustraction entre le volume total et le volume réduit (multiplié par $k^3$)
Exemple
- Une pyramide de hauteur $6$ cm est coupée à $3$ cm → $k = \dfrac{1}{2}$
- Aire de la section : $ \dfrac{1}{4} $ de l’aire de base
- Volume restant : $ \dfrac{7}{8} $ du volume initial
📘 Sphères
Définition
Section d’une sphère par un plan : cercle.
Si le plan passe par le centre, c’est un grand cercle.
Rayon de la section : $ r = \sqrt{R^2 - OH^2} $
Exemple
Latitude $60°$ : $ r = R \cdot \cos(60°) = \dfrac{R}{2} $
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Homothétie
Homothétie
🎯 Objectifs du programme
- Comprendre la notion d’homothétie de centre $O$ et de rapport $k$.
- Construire des images par homothétie.
- Connaître les effets sur longueurs et aires.
📘 Définition
Définition
L’image $M'$ d’un point $M$ par une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ est le point tel que : $ OM' = |k| \cdot OM $,
même sens si $k > 0$,
sens opposé si $k < 0$.
📏 Effets de l'homothétie
Définition
Longueurs multipliées par $|k|$.
Aires multipliées par $k^2$.
$k > 1$ : agrandissement, $0 < k < 1$ : réduction
$k < 0$ : image retournée (de l’autre côté du centre)
Exemple
Si $ABC$ a une aire de $12$ et $k = 3$, alors aire de l’image = $3^2 \cdot 12 = 108$
📐 Propriétés et méthode
Astuce
- Méthode de construction :
- Tracer la droite $(OM)$
- Placer $M'$ à la distance $|k| \cdot OM$ du centre $O$
- Si $k < 0$, $M'$ est de l’autre côté
Définition
L’image d’un segment est parallèle au segment d’origine. Cela justifie le lien avec le théorème de Thalès (cas des triangles semblables).
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✅ À retenir pour le brevet
- Une sphère est une surface, une boule est un solide plein.
- La section d’un solide dépend de la position du plan : rectangle, disque, polygone…
- Une homothétie conserve les formes mais change les dimensions.
- Elle est utile pour modéliser agrandissement ou réduction en géométrie.
- Le rapport $k$ donne toutes les informations sur le sens, l’échelle et les aires.