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Statistiques

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Introduction :

Les statistiques sont revues chaque année depuis la troisième, de manière toujours plus approfondie. Cette leçon est donc constituée de rappels (comme les définitions de la médiane ou de la moyenne) et de nouveaux éléments comme la variance et l’écart-type.

Nous commencerons par des rappels sur les représentations graphiques de séries statistiques puis nous parlerons de la médiane, des quartiles et des diagrammes en boîte et nous terminerons par la moyenne, la variance et l’écart-type.

Rappels sur les représentations graphiques

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Définition

Nuage de points :

Un nuage de points est, dans un repère, l’ensemble des points ayant pour abscisse une valeur du caractère et comme ordonnée l’effectif correspondant.

Un nuage de points

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Définition

Diagramme en bâtons :

Un diagramme en bâtons indique sous forme de segment les effectifs ou les fréquences qui correspondent aux valeurs du caractère étudié.

Un diagramme en bâtons

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Définition

Un histogramme :

Un histogramme indique sous forme de rectangle les effectifs ou les fréquences en fonction des différentes valeurs du caractère étudié.

Un histogramme

Il est souvent demandé de tracer la courbe des effectifs cumulés croissants (ou décroissants) ou encore la courbe des fréquences cumulées croissantes (ou décroissantes) car cela donne de nombreuses informations sur une série statistique.

Fréquences cumulées décroissantes Fréquences cumulées décroissantes

 Fréquences cumulées croissantes Fréquences cumulées croissantes

Caractéristiques de position

Mode et moyenne

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Définition

Moyenne d’une série statistique :

La moyenne d’une série statistique, dont les valeurs du caractère sont x1, x2, , xkx1,\ x2,\ …,\ xk et les effectifs correspondants n1, n2, , nkn1,\ n2,\ …,\ nk, est notée xˉ\bar x et vaut :

xˉ=1Ni=1k=nixi\begin{array}{lr} \bar x=\dfrac1N \displaystyle{\sum{i=1}^k}=nix_i\end{array}
NN est l'effectif total de la série.

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Astuce

xˉ\bar x se lit xx barre ; pour la formule précédente, cela donne xx barre égal 11 sur NN fois la somme pour ii allant de 11 à kk des nixinixi.

Voyons maintenant la définition du mode :

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Définition

Mode :

Le mode d’une série statistique est une valeur de la série dont l’effectif est strictement supérieur à celui des autres valeurs.

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Exemple

Voici les notes données à un groupe de 15 élèves.

Notes 3 5 6 7 7,5 8 9
Effectifs 2 1 4 1 2 3 2

xˉ=115×(3×2+5×1++9×2)=6,6\bar x=\dfrac{1}{15}\times (3\times 2+5\times 1+…+9\times 2)=6,6.

  • La moyenne des notes est de 6,66,6.

Médiane

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Définition

Médiane :

On considère une série statistique de NN données rangées dans l’ordre croissant. La médiane est le nombre qui partage cette série ordonnée en deux groupes de même effectif :

  • Si NN est impair : la médiane est la « donnée centrale » de la série, c’est-à-dire la valeur de rang N+12\dfrac{N+1}2.

  • Si NN est pair : la médiane est la moyenne des deux « données centrales » de la série, c’est-à-dire la demi-somme des termes de rangs N2\dfrac N2 et N2+1\dfrac{N}2+1.

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Exemple

On considère la série statistique suivante : 1 ; 3 ; 6 ; 8 ; 10 ; 15 ; 22 ; 23 ; 311\ ;\ 3\ ;\ 6\ ;\ 8\ ;\ 10\ ;\ 15\ ;\ 22\ ;\ 23\ ;\ 31

Cette série comporte 99 données.

N=9N=9 étant impair, la médiane est la valeur de rang 9+12=5\dfrac{9+1}2=5, c’est-à-dire la 5e5^\text{e} valeur. La médiane est donc Med=10Med=10.

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Exemple

On considère maintenant la série statistique suivante : 3  ;5  ;9  ;12  ;25  ;263\;; 5\;; 9\;;12\;; 25\;;26

Cette série comporte 6 données.

N=6N=6 étant pair, la médiane est la demi-somme des termes de rangs N2\dfrac N2 et N2+1\dfrac{N}2+1.

N2=62=3\dfrac N2=\dfrac 62=3 et N2+1=62+1=4\dfrac{N}2+1=\dfrac{6}2+1=4

On fait donc la moyenne entre la 3e3^\text{e} et la 4e4^\text{e} valeur : 9+122=212=10,5\dfrac{9+12}2=\dfrac{21}2=10,5.

La médiane est donc Med=10,5Med=10,5.

Quartiles

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Propriété

Dans une série où les termes sont ordonnés dans le sens croissant :

  • Le premier quartile est la plus petite valeur telle qu’au moins 25 % des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Q1Q_1.
  • Le troisième quartile est la plus petite valeur telle qu’au moins 75 % des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Q3Q_3.

  • Le nombre Q3Q1Q3-Q1 est appelé écart interquartile.
  • Le nombre MaxMinMax-Min est appelé étendue.
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Exemple

Voyons comment déterminer les quartiles d’une série statistique de 50 valeurs :

  • N=5014N=12,5N=50\Leftrightarrow\dfrac14N=12,5

Le plus petit entier supérieur à 12,5 est 13.

Donc Q1Q_1 est la 13e13^\text{e} valeur.

  • N=5034N=37,5N=50\Leftrightarrow\dfrac34N=37,5

Le plus petit entier supérieur à 37,5 est 38.

Donc Q3Q_3 est la 38e38^\text{e} valeur.

Diagramme en boîte

Soit les nombres Q1, Med et Q3Q1,\ Med\text{ et }Q3 ainsi que les valeurs extrêmes de la série, notées Min et MaxMin\text{ et }Max ; ils donnent un résumé d’une série statistique et une représentation graphique par un diagramme en boîte.

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Attention

L’épaisseur des rectangles tracés n’a pas de signification.

Caractéristiques de dispersion

Étendue, écart et intervalle interquartile

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Définition

Étendue :

L’étendue d’une série statistique est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur.

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Définition

Écart interquartile :

Le nombre Q3Q1Q3-Q1 est appelé écart interquartile.

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Définition

Intervalle interquartile :

L’intervalle interquartile est [Q1 ; Q3][Q1\ ;\ Q3]

Valeur xix_i

-24

22

23

26

30

33

35

54

57

65

100

Effectifs nin_i

1

2

3

1

2

3

1

2

2

1

1

Cette série statistique a pour étendue : 100(24)=124100-(-24)=124

N4=194=4,75\dfrac{N}{4}=\dfrac{19}4=4,75 donc Q1Q1est la cinquième valeur. Q1=23Q1=23

3N4=3x194=14,25\dfrac{3N}{4}=\dfrac{3x19}4=14,25 donc Q3Q3 est la quinzième valeur. Q3=54Q3=54

L’intervalle interquartile est [23 ; 54][23 \ ; \ 54] et l’écart interquartile est : 5423=3154-23=31

Variance et écart-type

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Définition

Variance :

La variance d’une série statistique, dont les valeurs du caractère sont x1, x2, , xkx1,\ x2,\ …,\ xk, les effectifs correspondants n1, n2, , nkn1,\ n2,\ …,\ nk et la moyenne xˉ\bar x, est égale à :

V=1N[i=1kni(xixˉ)2]V=1N[i=1knixi2]xˉ2\begin{aligned} V&=\dfrac1N\Bigg[\displaystyle{\sum{i=1}^kni(xi-\bar x)^2}\Bigg] \ V&=\dfrac1N\Bigg[\displaystyle{\sum{i=1}^k{nixi}^2}\Bigg]-{\bar x}^2 \end{aligned}

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Définition

Écart-type :

L’écart-type d’une série statistique, noté σσ, est égal à la racine carrée de la variance σ=V\sigma =\sqrt V

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Exemple

En reprenant la série de notes précédente V=115×(32×2+52×1++92×2)6,623,3V=\dfrac1{15}\times (3^2\times 2+5^2\times 1+…+9^2\times 2)-6,6^2≈3,3 et σ=V1,8σ=\sqrt V\approx 1,8.

On pourra remarquer que lorsque l’on compare deux séries, celle qui a l’écart-type le plus grand est celle dont les valeurs sont les plus dispersées autour de la moyenne.