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Statistiques

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Introduction :

Les statistiques sont revues chaque année depuis la troisième, de manière toujours plus approfondie. Cette leçon est donc constituée de rappels (comme les définitions de la médiane ou de la moyenne) et de nouveaux éléments comme la variance et l'écart-type.

Nous commencerons par des rappels sur les représentations graphiques de séries statistiques puis nous parlerons de la médiane, des quartiles et des diagrammes en boîte et nous terminerons par la moyenne, la variance et l'écart-type.

Rappels sur les représentations graphiques

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Définition

Nuage de points :

Un nuage de points est, dans un repère, l'ensemble des points ayant pour abscisse une valeur du caractère et comme ordonnée l'effectif correspondant.

Un nuage de points Un nuage de points

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Définition

Diagramme en bâtons :

Un diagramme en bâtons indique sous forme de segments les effectifs ou les fréquences qui correspondent aux valeurs du caractère étudié.

Diagramme en bâtons Diagramme en bâtons

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Définition

Histogramme :

Un histogramme indique sous forme de rectangles les effectifs ou les fréquences en fonction des différentes valeurs du caractère étudié.

Histogramme Histogramme

Il est souvent demandé de tracer la courbe des effectifs cumulés croissants (ou décroissants) ou encore la courbe des fréquences cumulées croissantes (ou décroissantes) car cela donne de nombreuses informations sur une série statistique.

Fréquences cumulées décroissantes Fréquences cumulées décroissantes

 Fréquences cumulées croissantes Fréquences cumulées croissantes

Autour de la médiane

Médiane

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Définition

Médiane :

On considère une série statistique de $N$ données rangées dans l'ordre croissant. La médiane est le nombre qui partage cette série ordonnée en deux groupes de même effectif :

  • Si $N$ est impair : la médiane est la « donnée centrale » de la série, c'est-à-dire la valeur de rang $\dfrac{N+1}2$.
  • Si $N$ est pair : la médiane est la moyenne des deux « données centrales » de la série, c'est-à-dire la demi-somme des termes de rangs $\dfrac N2$ et $\dfrac{N}2+1$.
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Exemple

On considère la série statistique suivante : $1\ ;\ 3\ ;\ 6\ ;\ 8\ ;\ 10\ ;\ 15\ ;\ 22\ ;\ 23\ ;\ 31$

Cette série comporte $9$ données.

$N=9$ étant impair, la médiane est la valeur de rang $\dfrac{9+1}2=5$, c'est-à-dire la $5^\text{e}$ valeur. La médiane est donc $Med=10$.

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Exemple

On considère maintenant la série statistique suivante : $3\ ;\ 5\ ;\ 9\ ;\ 12\ ;\ 25\ ;\ 26$

Cette série comporte $6$ données.

$N=6$ étant pair, la médiane est la demi-somme des termes de rangs $\dfrac N2$ et $\dfrac{N}2+1$.

$\dfrac N2=\dfrac 62=3$ et $\dfrac{N}2+1=\dfrac{6}2+1=4$

On fait donc la moyenne entre la $3^\text{e}$ et la $4^\text{e}$ valeur : $\dfrac{9+12}2=\dfrac{21}2=10,5$.

La médiane est donc $Med=10,5$.

Quartiles

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Définition

Quartiles :

Dans une série où les termes sont ordonnés dans le sens croissant :

  • Le premier quartile est la plus petite valeur telle qu'au moins $25$% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à $Q_1$.
  • ​Le troisième quartile est la plus petite valeur telle qu'au moins $75$% des valeurs de la série sont inférieures ou égales à $Q_3$.

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Définition

Écart interquartile :

​Le nombre $Q_3-Q_1$ est appelé écart interquartile.

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Définition

Étendue :

L'étendue d'une série statistique est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur.

  • $Max-Min$
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Exemple

Voyons comment déterminer les quartiles d'une série statistique de $50$ valeurs :

  • $N=50\Leftrightarrow\dfrac14N=12,5$

Le plus petit entier supérieur à $12,5$ est $13$.

Donc $Q_1$ est la $13^\text{e}$ valeur.

  • $N=50\Leftrightarrow\dfrac34N=37,5$

Le plus petit entier supérieur à $37,5$ est $38$.

Donc $Q_3$ est la $38^\text{e}$ valeur.

Diagramme en boîte

Soit les nombres $Q_1,\ Med\text{ et }Q_3$ ainsi que les valeurs extrêmes de la série, notées $Min\text{ et }Max$ ; ils donnent un résumé d'une série statistique et une représentation graphique par un diagramme en boîte.

bannière à retenir

À retenir

L'épaisseur des rectangles tracés n'a pas de signification

D'autres représentations similaires sont utilisées, par exemple celle qui fait apparaître les déciles :

Les déciles sont définis de manière identique aux quartiles.

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Définition

Déciles :

  • Le premier décile $D_1$ est le plus petit élément des valeurs de la série tel qu'au moins $10$% des données sont inférieures ou égales à $D_1$.
  • Le neuvième décile $D_9$ est le plus petit élément des valeurs de la série tel qu'au moins $90$% des données sont inférieures ou égales à $D_9$.

Autour de la moyenne

Moyenne

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Définition

Moyenne :

La moyenne d'une série statistique, dont les valeurs du caractère sont $x_1,\ x_2,\ …,\ x_k$ et les effectifs correspondants $n_1,\ n_2,\ …,\ n_k$, est notée $\bar x$ et vaut :

$\begin{array}{lr} \bar x=\dfrac1N \displaystyle{\sum_{i=1}^k}=n_ix_i \end{array}$
où $N$ est l'effectif total de la série

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Astuce

$\bar x$ se lit $x$ barre ; pour la formule précédente, cela donne $x$ barre égal $1$ sur $N$ fois la somme pour $i$ allant de $1$ à $k$ des $n_ix_i$.

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Exemple

Voici les notes données à un groupe de 15 élèves.

Notes 3 5 6 7 7,5 8 9
Effectifs 2 1 4 1 2 3 2

$\bar x=\dfrac{1}{15}×(3×2+5×1+…+9×2)=6,6$.

  • La moyenne des notes est de $6,6$.

Variance et écart-type

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Définition

Variance :

  • La variance d'une série statistique, dont les valeurs du caractère sont $x_1,\ x_2,\ …,\ x_k$, les effectifs correspondants $n_1,\ n_2,\ …,\ n_k$ et la moyenne $\bar x$, est égale à :

$\begin{aligned} V&=\dfrac1N\Bigg[\displaystyle{\sum_{i=1}^kn_i(x_i-\bar x)^2}\Bigg] \\ V&=\dfrac1N\Bigg[\displaystyle{\sum_{i=1}^k{n_ix_i}^2}\Bigg]-{\bar x}^2 \end{aligned}$

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Définition

Écart-type :

L'écart-type d'une série statistique, noté $σ$, est égal à la racine carrée de la variance $σ=\sqrt V$

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Exemple

En reprenant la série de notes précédente $V=\dfrac1{15}×(3^2×2+5^2×1+…+9^2×2)-6,6^2≈3,3$ et $σ=\sqrt V≈1,8$.