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Statistiques
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Introduction :
Les statistiques sont revues chaque année depuis la troisième, de manière toujours plus approfondie. Cette leçon est donc constituée de rappels (comme les définitions de la médiane ou de la moyenne) et de nouveaux éléments comme la variance et l'écart-type.
Nous commencerons par des rappels sur les représentations graphiques de séries statistiques puis nous parlerons de la médiane, des quartiles et des diagrammes en boîte et nous terminerons par la moyenne, la variance et l'écart-type.
Rappels sur les représentations graphiques
Nuage de points :
Un nuage de points est, dans un repère, l'ensemble des points ayant pour abscisse une valeur du caractère et comme ordonnée l'effectif correspondant.
Un nuage de points
Diagramme en bâtons :
Un diagramme en bâtons indique sous forme de segments les effectifs ou les fréquences qui correspondent aux valeurs du caractère étudié.
Diagramme en bâtons
Histogramme :
Un histogramme indique sous forme de rectangles les effectifs ou les fréquences en fonction des différentes valeurs du caractère étudié.
Histogramme
Il est souvent demandé de tracer la courbe des effectifs cumulés croissants (ou décroissants) ou encore la courbe des fréquences cumulées croissantes (ou décroissantes) car cela donne de nombreuses informations sur une série statistique.
Fréquences cumulées décroissantes
Fréquences cumulées croissantes
Autour de la médiane
Médiane
Médiane :
On considère une série statistique de données rangées dans l'ordre croissant. La médiane est le nombre qui partage cette série ordonnée en deux groupes de même effectif :
On considère la série statistique suivante :
Cette série comporte données.
étant impair, la médiane est la valeur de rang , c'est-à-dire la valeur. La médiane est donc .
On considère maintenant la série statistique suivante :
Cette série comporte données.
étant pair, la médiane est la demi-somme des termes de rangs et .
et
On fait donc la moyenne entre la et la valeur : .
La médiane est donc .
Quartiles
Quartiles :
Dans une série où les termes sont ordonnés dans le sens croissant :
Écart interquartile :
Le nombre est appelé écart interquartile.
Étendue :
L'étendue d'une série statistique est la différence entre sa plus grande et sa plus petite valeur.
Voyons comment déterminer les quartiles d'une série statistique de valeurs :
Le plus petit entier supérieur à est .
Donc est la valeur.
Le plus petit entier supérieur à est .
Donc est la valeur.
Diagramme en boîte
Soit les nombres ainsi que les valeurs extrêmes de la série, notées ; ils donnent un résumé d'une série statistique et une représentation graphique par un diagramme en boîte.
L'épaisseur des rectangles tracés n'a pas de signification
D'autres représentations similaires sont utilisées, par exemple celle qui fait apparaître les déciles :
Les déciles sont définis de manière identique aux quartiles.
Déciles :
Autour de la moyenne
Moyenne
Moyenne :
La moyenne d'une série statistique, dont les valeurs du caractère sont et les effectifs correspondants , est notée et vaut :
où est l'effectif total de la série
se lit barre ; pour la formule précédente, cela donne barre égal sur fois la somme pour allant de à des .
Voici les notes données à un groupe de 15 élèves.
Notes | 3 | 5 | 6 | 7 | 7,5 | 8 | 9 |
Effectifs | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 | 3 | 2 |
.
Variance et écart-type
Variance :
Écart-type :
L'écart-type d'une série statistique, noté , est égal à la racine carrée de la variance
En reprenant la série de notes précédente et .