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Marianne

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Suites arithmétiques et géométriques

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Introduction :

Nous avons déjà vu, dans une précédente leçon, la définition d’une suite numérique et les différentes expressions possibles ainsi que les méthodes pour déterminer leur sens de variation. Nous avons également introduit la notion de limite d’une suite.

Dans cette leçon, nous allons poursuivre le travail sur les suites : nous parlerons tout d’abord des suites arithmétiques puis nous aborderons les suites géométriques.

Suites arithmétiques

Définition et propriétés

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Définition

Suite arithmétique :

Une suite (un)(u_n) est arithmétique si et seulement si il existe un réel rr tel que, pour tout nNn∈\mathbb N :

un+1=un+ru{n+1}=un+r

Le nombre rr est appelé raison de la suite (un)(u_n).

  • Pour passer d’un terme au suivant on ajoute toujours le même nombre rr.
bannière propriete

Propriété

On considère une suite (un)(un) de premier terme u0u0 et de raison rr.

Alors, pour tout entier naturel nn, on a : un=u0+nrun=u0+nr

bannière exemple

Exemple

Soit une suite arithmétique de 1er terme u0=2u_0=2 et de raison 33.

un=2+n×3=2+3nu_n=2+n\times3=2+3n

bannière attention

Attention

On ne connaît pas toujours le premier terme.

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Propriété

Plus généralement (parce qu’on ne connaît pas toujours le premier terme), on a pour tout nNn∈\mathbb N et pour tout pNp∈\mathbb N :

un=up+(np)run=up+(n-p)r

bannière exemple

Exemple

Soit une suite arithmétique de raison 55 et dont on connaît u2=3u_2=3.

un=u2+(n2)×r=3+(n2)×5=3+5n10=7+5n\begin{aligned}un&=u2+(n-2)\times r\&=3+(n-2)\times 5\&=3+5n-10\&=-7+5n\end{aligned}

Sens de variation et représentation graphique

bannière propriete

Propriété

Soit (un)(u_n) une suite arithmétique de raison rr :

  • si r>0r>0, la suite (un)(u_n) est croissante ;
  • si r<0r<0, la suite (un)(u_n) est décroissante ;
  • si r=0r=0, la suite (un)(u_n) est constante.

Cette propriété est une conséquence immédiate de la définition d’une suite arithmétique puisque la raison représente la différence entre deux termes consécutifs de la suite : r=un+1unr=u{n+1}-un.

bannière exemple

Exemple

Si r>0,r>0, cela signifie que un+1un>0u{n+1}-un>0 et donc que un+1>unu{n+1}>un.

  • Dans ce cas, chaque terme est plus grand que le précédent, la suite est donc croissante.
bannière à retenir

À retenir

Une suite arithmétique de raison rr est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite de coefficient directeur rr.

Somme de termes consécutifs

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Propriété

Soit (un)(u_n) une suite arithmétique. La formule suivante donne la somme des termes consécutifs :

S=(nombre de termes) × (premier terme + dernier terme)2S=(\text{nombre de termes})\ \times \ \dfrac{(\text{premier terme + dernier terme})}2

bannière exemple

Exemple

On cherche à calculer S=4+14+24+34++284S=4+14+24+34+…+284.

  • La première étape est de reconnaître les termes d’une suite arithmétique (ici de raison 1010).

u0=4  ;u1=14  ;;  u28=284u0=4\;; u1=14\;; …;\; u_{28}=284

  • D’après la formule précédente :

S=(nombre de termes) ×(premier terme + dernier terme)2S=29×(4+284)2S=29×144S=4176\begin{aligned} S&=(\text{nombre de termes})\ \times \dfrac{(\text{premier terme + dernier terme})}2\ S&=29\times \dfrac{(4+284)}2\ S&=29\times 144\ S&=4 176\end{aligned}

bannière attention

Attention

On remarque que le premier terme est 0 et le dernier 28 ; le nombre de termes est donc 29.

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Propriété

Soit un entier naturel nn non nul.

Alors la somme des nn premiers entiers non-nuls est : 1+2+3++n=n(n+1)21+2+3+…+n=\dfrac{n(n+1)}2

Suites géométriques

Définition et propriétés

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Définition

Suite géométrique :

Une suite (un)(u_n) est géométrique si et seulement si il existe un réel qq tel que, pour tout nNn∈\mathbb N :

un+1=un×qu{n+1}=un \times q.

Le nombre qq est appelé raison de la suite (un)(u_n).

Pour passer d

  • Pour passer d’un terme au suivant on multiplie toujours par le nombre qq.
bannière propriete

Propriété

On considère une suite (un)(un) de premier terme u0u0 et de raison qq.

Alors, pour tout entier naturel nn, on a : un=u0×qnun=u0 \times q^n

bannière exemple

Exemple

Soit une suite géométrique de 1er terme u0=2u_0=2 et de raison 33.

un=2×3nu_n=2\times 3n

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Propriété

Plus généralement (parce qu’on ne connaît pas toujours le premier terme), on a pour tout nNn∈\mathbb N et pour tout pNp∈\mathbb N :

un=up×qnpun=up\times q^{n-p}

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Exemple

Soit une suite géométrique de raison 55 et on connaît u2=3u_2=3.

un=u2×qn2=3×5n2un=u2\times q^{n-2}=3\times 5^{n-2}

Sens de variation et représentation graphique

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Propriété

Soit (un)(u_n) une suite géométrique de premier terme non nul et de raison qq. Il y a plusieurs cas possibles :

  • Si q>1q>1 :
  • Si u0>0u0>0, la suite (un)(un) est croissante.

Suite croissante Suite croissante

  • Si u0<0u0<0, la suite (un)(un) est décroissante.

Suite décroissante Suite décroissante

  • Si q=1q=1, la suite (un)(u_n) est constante.
  • Si 0<q<10< q <1
  • Si u0>0u0>0, la suite (un)(un) est décroissante.

Suite décroissante Suite décroissante

  • Si u0<0u0<0, la suite (un)(un) est croissante.

Suite croissante Suite croissante

  • Si q=0q=0, la suite (un)(u_n) est constante et vaut 00 à partir du second terme.
  • Si q<0q<0, la suite (un)(u_n) n’a pas de variations régulières ; on dit qu’elle n’est pas monotone.

Somme de termes consécutifs

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Propriété

Soit (un)(u_n) une suite géométrique de raison q1q≠1.

La formule suivante donne la somme des termes consécutifs :

S=(premier terme)×1qnombre de termes1qS=(\text{premier terme})\times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}

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Exemple

On considère la suite géométrique (un)(un) de premier terme u0=256u0=256 et de raison 34\dfrac{3}4.

  • On cherche à calculer S10=u0+u1+u2++u10S{10}=u0+u1+u2+…+u_{10}
  • D’après la formule précédente :

S=(premier terme)×1qnombre de termes1qS=256×1(34)11134S=256×1(34)1114S=256×4×[1(34)11]S=1024×[1(34)11]\begin{aligned} S&=(\text{premier terme})\times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\ S&=256\times \dfrac{1-\big(\dfrac{3}{4}\big)^{11}}{1-\dfrac{3}{4}}\ S&=256\times \dfrac{1-\big(\dfrac{3}{4}\big)^{11}}{\dfrac{1}{4}}\ S&=256\times 4\times \bigg[1-\bigg(\dfrac{3}{4}\bigg)^{11}\bigg]\ S&=1024\times \bigg[1-\bigg(\dfrac{3}{4}\bigg)^{11}\bigg] \end{aligned}

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Attention

On remarque que le premier terme est 00 et le dernier 1010 ; le nombre de termes est donc 11.

De la première propriété, il est facile de déduire une seconde qui permettra de calculer directement la somme des nn premiers termes d’une suite géométrique de raison q1q \neq 1 :

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Propriété

Soit un entier naturel nn non nul et qq un réel différent de 11.

Alors : 1+q2+q3++qn=1qn+11q1+q^2+q^3+…+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}