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Suites arithmétiques et géométriques

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Suites arithmétiques

Définition

  • Une suite (un)(un ) est arithmétique si et seulement si il existe un réel rr tel que, pour tout nn ϵ\epsilon NN : un+1=un+ru{n+1}=u_n+r

Le nombre rr est appelé raison de la suite (un)(u_n).

  • On considère une suite (un)(un ) de premier terme u0u0 et de raison rr. Alors, pour tout entier naturel nn, on a : un=u0+nrun=u0+nr

Plus généralement, on a pour tout nn ϵ\epsilon NN et pour tout pp ϵ\epsilon NN :

un=up+(np)run=up+(n-p)r

Propriété : sens de variation de la suite unu_n

  • Soit (un)(u_n ) une suite arithmétique de raison rr.
  • Si r>0r > 0, la suite (un)(u_n) est croissante ;
  • Si r<0r < 0, la suite (un)(u_n) est décroissante ;
  • Si r=0r=0, la suite (un)(u_n ) est constante.
  • Une suite arithmétique de raison rr est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite de coefficient directeur rr.

Propriété : somme des termes consécutifs

  • La formule suivante donne la somme des termes consécutifs : S=(nombre de termes)×(premier terme + dernier terme)2S=(\text{nombre de termes})\times\dfrac {(\text{premier terme + dernier terme})}{2}

En particulier, si nn est un entier naturel non nul.

Alors la somme des nn premiers entiers non nuls est : 1+2+3++n=n(n+1)21+2+3+⋯+n=\dfrac{n(n+1)}{2}

Suites géométriques

Définition

  • Une suite (un)(u_n ) est géométrique si et seulement si il existe un réel qq tel que, pour tout nn ϵ\epsilon NN :

un+1=un×qu{n+1}=un \times q Le nombre qq est appelé raison de la suite (un)(u_n).

  • On considère une suite (un)(un ) de premier terme u0u0 et de raison qq.

Alors, pour tout entier naturel nn, on a : un=u0×qnun=u0\times q^n

Plus généralement, on a pour tout nn ϵ\epsilon NN et pour tout pp ϵ\epsilon NN : un=up×qnpun=up\times q^{n-p}

Propriété : sens de variation de la suite unu_n

  • Soit (un)(u_n ) une suite géométrique de premier terme non nul et de raison qq.
  • Si q>1q > 1 et u0>0u0 > 0, la suite (un)(un) est croissante.
  • Si q>1q > 1 et u0<0u0 < 0, la suite (un)(un ) est décroissante.
  • Si q=1q=1, la suite (un)(u_n) est constante.
  • Si 0<q<10 < q < 1 et u0>0u0 > 0, la suite (un)(un) est décroissante.
  • Si 0<q<10 < q < 1 et u0<0u0 < 0, la suite (un)(un) est croissante.
  • Si q=0q=0, la suite (un)(u_n) est constante et vaut 00 à partir du second terme.
  • Si q<0q < 0, la suite (un)(u_n) n’a pas de variations régulières.

Propriété : somme des termes consécutifs

Soit (un)(u_n ) une suite géométrique de raison q1q \neq 1.

La formule suivante donne la somme des termes consécutifs : S=(premier terme)×1qnombre de termes1qS=(\text{premier terme})\times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}

En particulier pour nn entier naturel non nul et qq réel différent de 11.

Alors : 1+q2+q3++qn=1qn+11q1+q^2+q^3+⋯+q^n=\dfrac {1-q^{n+1}}{1-q}