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Suites arithmétiques et géométriques

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Suites arithmétiques

Définition

  • Une suite $(u_n )$ est arithmétique si et seulement si il existe un réel $r$ tel que, pour tout $n$ $\epsilon$ $N$ : $$u_{n+1}=u_n+r$$

Le nombre $r$ est appelé raison de la suite $(u_n)$.

  • On considère une suite $(u_n )$ de premier terme $u_0$ et de raison $r$. Alors, pour tout entier naturel $n$, on a : $$u_n=u_0+nr$$

Plus généralement, on a pour tout $n$ $\epsilon$ $N$ et pour tout $p$ $\epsilon$ $N$ :

$$u_n=u_p+(n-p)r$$

Propriété : sens de variation de la suite $u_n$

  • Soit $(u_n )$ une suite arithmétique de raison $r$.
  • Si $r > 0$, la suite $(u_n)$ est croissante ;
  • Si $r < 0$, la suite $(u_n)$ est décroissante ;
  • Si $r=0$, la suite $(u_n )$ est constante.
  • Une suite arithmétique de raison $r$ est représentée graphiquement par des points alignés sur une droite de coefficient directeur $r$.

Propriété : somme des termes consécutifs

  • La formule suivante donne la somme des termes consécutifs : $S=(\text{nombre de termes})\times\dfrac {(\text{premier terme + dernier terme})}{2}$

En particulier, si $n$ est un entier naturel non nul.

Alors la somme des $n$ premiers entiers non nuls est : $1+2+3+⋯+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Suites géométriques

Définition

  • Une suite $(u_n )$ est géométrique si et seulement si il existe un réel $q$ tel que, pour tout $n$ $\epsilon$ $N$ :

$$u_{n+1}=u_n \times q$$ Le nombre $q$ est appelé raison de la suite $(u_n)$.

  • On considère une suite $(u_n )$ de premier terme $u_0$ et de raison $q$.

Alors, pour tout entier naturel $n$, on a : $$u_n=u_0\times q^n$$

Plus généralement, on a pour tout $n$ $\epsilon$ $N$ et pour tout $p$ $\epsilon$ $N$ : $u_n=u_p\times q^{n-p}$

Propriété : sens de variation de la suite $u_n$

  • Soit $(u_n )$ une suite géométrique de premier terme non nul et de raison $q$.
  • Si $q > 1$ et $u_0 > 0$, la suite $(u_n)$ est croissante.
  • Si $q > 1$ et $u_0 < 0$, la suite $(u_n )$ est décroissante.
  • Si $q=1$, la suite $(u_n)$ est constante.
  • Si $0 < q < 1$ et $u_0 > 0$, la suite $(u_n)$ est décroissante.
  • Si $0 < q < 1$ et $u_0 < 0$, la suite $(u_n)$ est croissante.
  • Si $q=0$, la suite $(u_n)$ est constante et vaut $0$ à partir du second terme.
  • Si $q < 0$, la suite $(u_n)$ n’a pas de variations régulières.

Propriété : somme des termes consécutifs

Soit $(u_n )$ une suite géométrique de raison $q \neq 1$.

La formule suivante donne la somme des termes consécutifs : $S=(\text{premier terme})\times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$

En particulier pour $n$ entier naturel non nul et $q$ réel différent de $1$.

Alors : $1+q^2+q^3+⋯+q^n=\dfrac {1-q^{n+1}}{1-q}$