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Suites numériques

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Une suite

Définition : une suite

Une suite numérique $u$ est une fonction définie sur $N$, à valeurs dans $R$.

Pour tout entier naturel $n$, le nombre $u_n$ est appelé terme de rang $n$ ou terme général de la suite.

On note alors cette suite $(u_n )$.

Les différentes façons de définir une suite

  • La formule explicite $u_n=f(n)$
  • Une suite est définie par une formule explicite lorsque $u_n$ s’exprime directement en fonction de $n$. Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice.
  • Une suite numérique $(u_n )$ définie par une formule explicite se représente par un nuage de points de coordonnées $(n ; u_n )$.
  • La relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$

Une suite est définie par une relation de récurrence quand elle est définie par la donnée :

  • de son premier terme ;
  • d’une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du terme précédent.

Le sens de variation d’une suite

Définition :

On dit qu’une suite $(u_n )$ définie sur $N$ est :

  • croissante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} \geq u_n$ ;
  • décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, on a $u_{n+1} \leq u_n$ ;
  • constante si et seulement si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=u_n.$

Méthode :

Pour savoir si une suite est croissante ou décroissante, on étudie le signe de la différence entre deux termes consécutifs quelconques :

  • Si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n \geq 0$, alors la suite $(u_n )$ est croissante ;
  • Si, pour tout entier naturel n, on a $u_{n+1}-u_n\leq 0$, alors la suite $(u_n )$ est décroissante;
  • Si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n=0$, alors la suite $(u_n )$ est constante.