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Suites numériques

Une suite

Définition : une suite

Une suite numérique uuu est une fonction définie sur NNN, à valeurs dans RRR.

Pour tout entier naturel nnn, le nombre unu_nun​ est appelé terme de rang nnn ou terme général de la suite.

On note alors cette suite (un)(u_n )(un​).

Les différentes façons de définir une suite

  • La formule explicite un=f(n)u_n=f(n)un​=f(n)
  • Une suite est définie par une formule explicite lorsque unu_nun​ s’exprime directement en fonction de nnn. Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice.
  • Une suite numérique (un)(u_n )(un​) définie par une formule explicite se représente par un nuage de points de coordonnées (n;un)(n ; u_n )(n;un​).
  • La relation de récurrence un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1​=f(un​)

Une suite est définie par une relation de récurrence quand elle est définie par la donnée :

  • de son premier terme ;
  • d’une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du terme précédent.

Le sens de variation d’une suite

Définition :

On dit qu’une suite (un)(u_n )(un​) définie sur NNN est :

  • croissante si et seulement si, pour tout entier naturel nnn, on a un+1≥unu_{n+1} \geq u_nun+1​≥un​ ;
  • décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, on a un+1≤unu_{n+1} \leq u_nun+1​≤un​ ;
  • constante si et seulement si, pour tout entier naturel nnn, on a un+1=un.u_{n+1}=u_n.un+1​=un​.

Méthode :

Pour savoir si une suite est croissante ou décroissante, on étudie le signe de la différence entre deux termes consécutifs quelconques :

  • Si, pour tout entier naturel nnn, on a un+1−un≥0u_{n+1}-u_n \geq 0un+1​−un​≥0, alors la suite (un)(u_n )(un​) est croissante ;
  • Si, pour tout entier naturel n, on a un+1−un≤0u_{n+1}-u_n\leq 0un+1​−un​≤0, alors la suite (un)(u_n )(un​) est décroissante;
  • Si, pour tout entier naturel nnn, on a un+1−un=0u_{n+1}-u_n=0un+1​−un​=0, alors la suite (un)(u_n )(un​) est constante.

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Fonction

Définition

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Ensemble des nombres réels

Définition

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Nuage de points

Définition

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Courbe représentative

Définition

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Coordonnées d’un point

Définition

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Repère

Définition

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