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Suites numériques

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Une suite

Définition : une suite

Une suite numérique uu est une fonction définie sur NN, à valeurs dans RR.

Pour tout entier naturel nn, le nombre unu_n est appelé terme de rang nn ou terme général de la suite.

On note alors cette suite (un)(u_n ).

Les différentes façons de définir une suite

  • La formule explicite un=f(n)u_n=f(n)
  • Une suite est définie par une formule explicite lorsque unu_n s’exprime directement en fonction de nn. Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice.
  • Une suite numérique (un)(un ) définie par une formule explicite se représente par un nuage de points de coordonnées (n;un)(n ; un ).
  • La relation de récurrence un+1=f(un)u{n+1}=f(un)

Une suite est définie par une relation de récurrence quand elle est définie par la donnée :

  • de son premier terme ;
  • d’une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du terme précédent.

Le sens de variation d’une suite

Définition :

On dit qu’une suite (un)(u_n ) définie sur NN est :

  • croissante si et seulement si, pour tout entier naturel nn, on a un+1unu{n+1} \geq un ;
  • décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, on a un+1unu{n+1} \leq un ;
  • constante si et seulement si, pour tout entier naturel nn, on a un+1=un.u{n+1}=un.

Méthode :

Pour savoir si une suite est croissante ou décroissante, on étudie le signe de la différence entre deux termes consécutifs quelconques :

  • Si, pour tout entier naturel nn, on a un+1un0u{n+1}-un \geq 0, alors la suite (un)(u_n ) est croissante ;
  • Si, pour tout entier naturel n, on a un+1un0u{n+1}-un\leq 0, alors la suite (un)(u_n ) est décroissante;
  • Si, pour tout entier naturel nn, on a un+1un=0u{n+1}-un=0, alors la suite (un)(u_n ) est constante.