Exercices Suites numériques

On donne la suite $(u_n)$ définie par la relation de récurrence $u_{(n+1)}=5+\sqrt{u_n}$, de terme intial $u_0=16$ et la suite $(w_n)$ définie par son terme général $w_n=5+\sqrt{n}$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.

Pour tout entier $n$, on pose $u_n=\dfrac{n}{n+1}$.

Calculer $u_{n+1}-u_n$ et montrer que cette quantité est toujours positive. Qu’en déduire pour le sens de variations de la suite $(u_n)$ ?

On pose pour tout entier $n$ :

$v_n=\dfrac{n^2\times 3^n}{2^n}$

Calculer $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ et en déduire le sens de variations de la suite $(v_n)$.