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Suites numériques

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Une suite

  • Définition : une suite

Une suite numérique uu est une fonction définie sur NN, à valeurs dans RR.

u:NRnu(n) aussi noteˊ un\begin{aligned} u :\mathbb N&\rightarrow \mathbb R\ n&\rightarrow u(n)\ \text{aussi noté}\ u_n \end{aligned}

Pour tout entier naturel nn, le nombre unun est appelé terme de rang nn ou terme général de la suite. On note alors cette suite (un)(un ).

Les différentes façons de définir une suite

  • Suite définie par la formule explicite un=f(n)u_n=f(n)
  • Une suite est définie par une formule explicite lorsque unu_n s'exprime directement en fonction de nn. Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice.
  • Une suite numérique (un)(un ) définie par une formule explicite se représente par un nuage de points de coordonnées (n;un)(n ; un ).
  • Suite définie par la relation de récurrence un+1=f(un)u{n+1}=f(un)

Une suite est définie par une relation de récurrence quand elle est définie par la donnée de :

  • son premier terme ;
  • une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent.

Le sens de variation d'une suite

Définition : On dit qu'une suite (u_n ) définie sur N est :

  • croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, on a un+1unu{n+1} \geq un ;
  • décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, on a un+1unu{n+1} \leq un ;
  • constante si et seulement si, pour tout entier naturel n, on a un+1=unu{n+1}=un.

Méthode :

Pour savoir si une suite est croissante ou décroissante, on étudie le signe de la différence entre deux termes consécutifs quelconques :

  • Si, pour tout entier naturel nn, on a un+1un0u{n+1}-un\geq 0, alors la suite (un)(u_n ) est croissante ;
  • Si, pour tout entier naturel nn, on a un+1un0u{n+1}-un\leq 0, alors la suite (un)(u_n ) est décroissante ;
  • Si, pour tout entier naturel n, on a un+1un=0u{n+1}-un=0, alors la suite (un)(u_n ) est constante.

Propriété :

Lorsqu'une suite est définie par une formule explicite de la forme un=f(n)u_n=f(n), il existe une autre méthode pour donner les variations de la suite.

Soit uu une suite définie pour tout entier npn\geq p par un=f(n)u_n=f(n)ff est une fonction définie sur l'intervalle [p;+[.[p ; +\infty[.

  • Si la fonction f est croissante sur [p;+[[p ; +\infty[ alors la suite uu est croissante à partir du rang pp.
  • Si la fonction ff est décroissante sur [p;+[[p ; +\infty[ alors la suite uu est décroissante à partir du rang pp.

Définition : limite d'une suite

On dit qu'une suite numérique (un)(un ) admet une limite réelle ll si tous les termes de la suite (un)(un ) sont proches de ll à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente vers ll. On dit qu'une suite numérique (un)(u_n ) est divergente si elle n'est pas convergente.