Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Temps et cinématique

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

0/2
0 / 10
Challenge tes acquis !
Remporte un max d’étoiles
et de school coins !
`

Avant de commencer, regarde la vidéo

Introduction :

Ce cours porte sur le temps et la cinématique.

Dans un premier temps, nous intéresserons à la cinématique du point, c’est-à-dire à l’étude du mouvement d’un point matériel, indépendemment des forces qui en sont à l’origine. Puis deux mouvements particuliers seront traités : le mouvement rectiligne et le mouvement circulaire.

Cinématique du point

Référentiel d’étude

Pour simplifier l’étude du mouvement d’un objet, on l’assimile à un point matériel qui est le centre d’inertie de cet objet.

Pour étudier le mouvement d’un objet, nous devons caractériser sa trajectoire, sa vitesse et son accélération à travers un référentiel.

bannière definition

Définition

Référentiel :

Un référentiel est un objet, ou un ensemble d’objets, par rapport auquel on définit le mouvement de l’objet étudié dans l’espace et dans le temps.

On associe à un référentiel :

  • un repère d’espace (« un point de vue ») qui permet d’indiquer la position du point étudié ;
  • un repère temporel (une horloge) qui permet de donner une date à chaque position du point étudié.

Nous distinguons trois grands référentiels.

  • Si le référentiel a pour origine le centre de gravité de la Terre et que ces axes sont définis par rapport à trois étoiles lointaines supposées fixes, on parle de référentiel géocentrique. Il est utile par exemple pour décrire le mouvement de la Lune autour de la Terre.
  • Si le référentiel à pour origine un point fixe, immobile par rapport à la surface de la Terre, on parle alors de référentiel terrestre. Par exemple un homme qui se tient debout sans bouger en un point de la Terre est immobile dans le référentiel terrestre, mais décrira un mouvement circulaire dans le référentiel géocentrique.
  • Si le référentiel a pour origine le centre de gravité du Soleil et ses axes sont définis par rapport à trois étoiles lointaines considérées comme fixes, on parle alors de référentiel héliocentrique (ou de Kepler).

Pour décrire mathématiquement un mouvement on associe, au référentiel, un repère. Il est composé de plusieurs axes :

  • dans un plan, il y a deux axes : l’abscisse et l’ordonnée.
  • dans l’espace (en 3 dimensions), on ajoute aux deux précédents la cote.
bannière rappel

Rappel

Un repère est le plus souvent orthogonal, ce qui signifie que les axes qui le composent sont perpendiculaires.
Alors qu’un repère orthonormé est à la fois orthogonal et normé (c’est-à-dire que les normes des vecteurs de la base sont égales).

Il existe une infinité de repères possibles que l’on peut associer à un référentiel.

Vecteur position

bannière definition

Définition

Vecteur position :

La position du point MM à l’instant tt est indiquée par le vecteur position OM\overrightarrow {OM}, avec OO l’origine du repère.

  • La trajectoire du point MM est l’ensemble des positions successives occupées au cours de son mouvement.

Dans un repère orthonormé (O ;ı,ȷ,k)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,), les composantes du vecteur OM\overrightarrow {OM} en fonction du temps sont :

OM(x(t)y(t)z(t))\overrightarrow{OM} \begin{pmatrix} x(t) \ y(t) \ z(t) \end{pmatrix}

  • OM=x(t)ı+y(t)ȷ+z(t)k\overrightarrow{OM}=x(t)\cdot \vec \imath+ y(t)\cdot \vec \jmath + z(t)\cdot \vec k

Alt texte

Ce vecteur est donc à tout moment variable.

Vecteur vitesse

La variation de la position du point en fonction du temps, nous permet de définir le vecteur vitesse. Pour rappel, la vitesse est le rapport d’une distance sur une durée.

bannière rappel

Rappel

Un point se déplace et parcourt une distance dd pendant une durée Δt\Delta t.
La vitesse moyenne vmoyv_{moy} du point étudié entre les positions MM et MM^\prime aux dates tt et t=t+Δtt^\prime=t+\Delta t s’exprime ainsi :

vmoy=dΔtv_{moy} =\dfrac{d}{\Delta t}

Le vecteur vitesse moyenne d’un point matériel est défini selon la relation suivante :
vmoy=MM Δt\vec v_{moy} =\dfrac{\overrightarrow{MM^\prime\ }}{\Delta t}

Le vecteur vitesse instantanée v\vec v à l'instant tt est approximé par le vecteur vitesse moyenne entre tt et un instant t=t+Δtt^\prime=t+\Delta t très proche, avec MM à la date tt et MM^\prime à la date tt^\prime.

v(t)=limΔt0MM Δt=limΔt0OMOMΔt\begin{aligned} \vec v(t)&=\lim\limits{\Delta t\to 0} \dfrac {\overrightarrow{MM^\prime\ }}{\Delta t}\ &=\lim\limits{\Delta t\to 0}\dfrac{\overrightarrow{OM^\prime} - \overrightarrow{OM}}{\Delta t}\end{aligned}

bannière à retenir

À retenir

Le vecteur vitesse instantanée est donc égal à la dérivée du vecteur position par rapport au temps :

v(t)=dOM dt\vec v(t)=\dfrac{\text{d} \overrightarrow{OM\ }}{\text{d}t}

  • Le vecteur vitesse v(t)\vec v(t) est portée par la tangente à la trajectoire au point MM à la position tt, et orienté dans le sens du mouvement.
  • La valeur de v(t)v(t) s’exprime en ms1\text{m}\cdot\text{s}^{-1}.

Alt texte

bannière à retenir

À retenir

Dans un repère orthonormé (O ;ı,ȷ,k)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,), avec v(t)(vx(t)vy(t)vz(t))\vec v(t) \begin{pmatrix} vx(t) \ vy(t) \ v_z(t) \end{pmatrix}, nous avons :

v(t)=vx(t)ı+vy(t)ȷ+vz(t)k=x(t)ı+y(t)ȷ+z(t)k=dxdtı+dydtȷ+dzdtk\begin{aligned} v(t)&=vx(t)\cdot \vec \imath+ vy(t)\cdot \vec \jmath+v_z(t)\cdot \vec k \ &= x^{\prime}(t)\cdot \vec \imath+ y^{\prime}(t)\cdot \vec \jmath+z^{\prime}(t)\cdot \vec k \ &=\dfrac{\text dx}{\text dt}\cdot \vec \imath+ \dfrac{\text dy}{\text dt}\cdot \vec \jmath+ \dfrac{\text dz}{\text dt}\cdot \vec k \end{aligned}

  • La norme de la vitesse à un instant tt est v(t)=vx2+vy2+vz2v(t)=\sqrt{{vx}^2+{vy}^2+{v_z}^2}.

Comme le vecteur position, le vecteur vitesse peut varier.

Vecteur accélération

Maintenant nous allons définir la variation de la vitesse en fonction du temps d’un point MM en mouvement, grâce au vecteur accélération.

De manière analogue à ce que nous avons fait pour le vecteur vitesse instantanée, nous pouvons approximer le vecteur accélération instantanée à l’instant tt par la variation de vitesse entre tt et un instant tt^\prime très proche.

  • Nous avons alors, avec v\vec v le vecteur vitesse instantanée à l’instant tt, et v \overrightarrow{v^\prime\ } à l’instant t=t+Δtt^\prime=t+\Delta t :

a(t)=limΔt0v vΔt\vec a(t)=\lim\limits_{\Delta t\to 0} \dfrac {\overrightarrow{v^\prime\ }-\vec v}{\Delta t}

bannière à retenir

À retenir

Le vecteur accélération instantanée est donc égal à la dérivée du vecteur vitesse instantanée par rapport au temps :

a(t)=dvdt\vec a(t)=\dfrac {\text{d}\vec v}{\text{d}t}

Sa norme s’exprime en ms2\text{m} \cdot \text{s}^{-2}.

bannière à retenir

À retenir

Dans un repère orthonormé (O ;ı,ȷ,k)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,), avec a(t)(ax(t)ay(t)az(t))\vec a(t) \begin{pmatrix} ax(t) \ ay(t) \ a_z(t) \end{pmatrix}, nous avons :

a(t)=ax(t)ı+ay(t)ȷ+az(t)k=vx(t)ı+vy(t)ȷ+vz(t)k=dvxdtı+dvydtȷ+dvzdtk\begin{aligned} a(t)&=ax(t)\cdot \vec \imath+ ay(t)\cdot \vec \jmath+az(t)\cdot \vec k \ &= vx^{\prime}(t)\cdot \vec \imath+ vy^{\prime}(t)\cdot \vec \jmath+vz^{\prime}(t)\cdot \vec k \ &=\dfrac{\text dvx}{\text dt}\cdot \vec \imath+ \dfrac{\text dvy}{\text dt}\cdot \vec \jmath+ \dfrac{\text dv_z}{\text dt}\cdot \vec k \end{aligned}

  • La norme de l’accélération à un instant tt est a(t)=ax2+ay2+az2a(t)=\sqrt {{ax}^2+{ay}^2+{a_z}^2}.

De plus, nous savons que le vecteur vitesse v\vec v est la dérivée par rapport au temps de OM\overrightarrow{OM}, alors nous pouvons dire que le vecteur accélération a\vec a est la dérivée seconde par rapport au temps du vecteur OM\overrightarrow{OM}, soit :

a(t)=d2OM dt2=d2xdt2ı+d2ydt2ȷ+d2zdt2k\begin{aligned} \vec a(t)&=\dfrac{\text d^2\,\overrightarrow{OM\ }}{\text dt^2} \ &=\dfrac{\text d^2x}{\text dt^2}\cdot \vec \imath + \dfrac{\text d^2y}{\text dt^2} \cdot \vec \jmath+ \dfrac{\text d^2z}{\text dt^2} \cdot \vec k \end{aligned}

Exemples de mouvements

Mouvement rectiligne

bannière definition

Définition

Mouvement rectiligne :

Un mouvement est rectiligne lorsque sa trajectoire est une droite dans le référentiel utilisé.

Nous pouvons définir trois types de mouvement rectiligne, en fonction de l’accélération :

  • Mouvement rectiligne uniforme
    Le vecteur vitesse v\stackrel {→}{v} est constant donc le vecteur accélération : a\stackrel {→}{a} est nul va =0\stackrel {→}{v}\cdot\stackrel {→}{a}\ =0.

  • Mouvement rectiligne uniformément accéléré
    Le vecteur vitesse v\stackrel {→}{v} augmente constamment donc le vecteur accélération a\stackrel {→}{a} est constant, a\stackrel {→}{a} et v\stackrel {→}{v} sont colinéaires et de même sens : va >0\stackrel {→}{v}\cdot \stackrel {→}{a}\ >0.

  • Mouvement rectiligne uniformément ralenti
    Le vecteur vitesse v\stackrel {→}{v}diminue constamment donc le vecteur accélération a\stackrel {→}{a} est constant, a\stackrel {→}{a} et v\stackrel {→}{v} sont colinéaires et de sens opposés : va <0\stackrel {→}{v}\cdot\stackrel {→}{a}\ <0.

Mouvement circulaire

bannière definition

Définition

Mouvement circulaire :

Un mouvement est circulaire si la trajectoire est un cercle dans le référentiel considéré.

Nous pouvons définir trois types de mouvement circulaire, en fonction de l’accélération :

  • Mouvement circulaire uniforme
    Le vecteur vitesse v\stackrel {→}{v} varie mais sa valeur est constante et le vecteur accélération a\stackrel {→}{a} est perpendiculaire à celui-ci et dirigé vers le centre : va =0\stackrel {→}{v}\cdot \stackrel {→}{a}\ =0.

  • Mouvement circulaire uniformément accéléré
    La valeur du vecteur vitesse v\stackrel {→}{v} augmente constamment donc le vecteur accélération a\stackrel {→}{a} forme un angle aigu (< 90°) avec le vecteur vitesse et sa valeur est constante : va >0\stackrel {→}{v}\cdot\stackrel {→}{a}\ >0.

  • Mouvement circulaire uniformément ralenti
    La valeur du vecteur vitesse v\stackrel {→}{v} diminue constamment donc le vecteur accélération forme un angle obtu (> 90°) avec le vecteur vitesse et sa valeur est constante : va <0\stackrel {→}{v}\cdot\stackrel {→}{a}\ <0.