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Temps et cinématique

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Introduction :

Ce cours porte sur le thème du temps, plus précisément sur le temps et la cinématique.

Dans un premier temps, la cinématique du point sera étudiée, c’est-à-dire l’étude du mouvement d’un point. Puis deux mouvements particuliers seront traités : le mouvement rectiligne et le mouvement circulaire.

Cinématique du point

Préambule

Pour simplifier l’étude du mouvement d’un objet, on l’assimile à un point qui est le centre d’inertie de cet objet.

On étudie le mouvement d’un objet par sa trajectoire et sa vitesse par rapport à un référentiel.

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Définition

Référentiel :

Un référentiel est un objet, ou un ensemble d’objets, par rapport auquel on définit un mouvement et une trajectoire dans l’espace et dans le temps.

  • Pour décrire le déplacement, on utilise un repère spatial (« un point de vue ») qui permet de localiser le déplacement.
  • Pour étudier ce mouvement, on utilise un repère temporel (une horloge) qui permet de mesurer le temps de déplacement.

Il y a trois grands référentiels :

  • Si le référentiel est le centre de gravité de la Terre, on parle de référentiel géocentrique. Il est utile par exemple pour décrire le mouvement de la Lune dans l’espace.
  • Si le référentiel est le sol de la Terre, on parle alors de référentiel terrestre. Par exemple un homme qui se tient debout sans bouger en un point de la Terre est immobile dans le référentiel terrestre (mais décrira un mouvement circulaire dans le référentiel géocentrique !).
  • Si le référentiel est le centre du Soleil, on parle alors de référentiel héliocentrique (ou de Kepler).

Pour décrire mathématiquement un mouvement on associe au référentiel un repère. Il est composé de plusieurs axes :

  • Dans un plan, il y a deux axes, l’abscisse et l’ordonnée.
  • Dans l’espace (en 3 dimensions), on ajoute aux deux précédents la cote.

Un repère est le plus souvent orthogonal, ce qui signifie que les droites qui le composent sont perpendiculaires entre elles. Quand elles sont à la même échelle, c’est-à-dire que la même distance sur une chaque droite représente la même valeur absolue, alors on parle de repère orthonormé.

Il existe une infinité de repères possibles que l’on associe à un référentiel.

Vecteur position

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À retenir

Le vecteur position est le vecteur OM\overrightarrow {OM}OO est le centre du référentiel, et MM la position de l’objet dont le mouvement est étudié.

  • Ce vecteur est donc à tout moment variable.

Vecteur vitesse

Cette variation du vecteur position entraîne l’existence d’un vecteur vitesse, qui est la variation de la position du point en fonction du temps.

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À retenir

La vitesse est le rapport d’une distance sur un temps. Pour un point M en mouvement le vecteur vitesse est : v=OM2OM1t2t1=ΔOMΔt\overrightarrow {v}=\dfrac {\overrightarrow {OM2} - \overrightarrow{OM1}} {t2-t1}=\dfrac{\Delta\overrightarrow {OM}}{\Delta t}

Il s’agit du vecteur « vitesse moyenne » : pour obtenir la vitesse instantanée il faut faire tendre Δt\Delta t vers 0.

ΔOM\Delta \overrightarrow{OM} et v\vec{v} sont colinéaires, comme le fait penser l’équation précédente.

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À retenir

  • Le vecteur vitesse v(t)\stackrel {→}{v(t)} d’un point mobile à un instant tt a une direction ;
  • la tangente à la trajectoire en ce point, un sens, celui du mouvement, et une valeur vv (en m.s1m.s^{-1}).

Si l’on considère que la trajectoire est une fonction de la position en fonction du temps, comme le vecteur vitesse est la tangente de la trajectoire, alors la valeur de vv est la dérivée par rapport au temps de la fonction position x(t)x(t). Donc vx(t)=dx(t)dtv_x(t)=\dfrac {dx(t)}{dt}.

Ainsi, le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps.

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À retenir

Comme on est dans un repère orthonormé (O ; i ; j ; k )(O\ ;\ \stackrel {→}{i}\ ;\ \stackrel {→}{j}\ ;\ \stackrel {→}{k\ )}, le vecteur vitesse peut s’écrire selon les trois composantes vectorielles :

v(t)=vx(t)i+vy(t)j+vz(t)k =dx(t)dti+dy(t)dtj+dz(t)dtk\begin{aligned}\stackrel {→}{v}(t)&=vx(t)\cdot\stackrel {→}{i}+vy(t)\cdot\stackrel {→}{j}+v_z(t)\cdot\stackrel {→}{k}\ \&= \dfrac {dx(t)}{dt}\cdot \stackrel {→}{i}+\dfrac {dy(t)}{dt}\cdot\stackrel {→}{j}+\dfrac{dz(t)}{dt}\cdot\stackrel {→}{k}\end{aligned}

Soit la décomposition du vecteur suivant les trois axes.

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À retenir

La valeur de la vitesse à un instant tt est v(t)=vx2+vy2+vz2v(t)=\sqrt{{vx}^2+{vy}^2+{v_z}^2}.

Comme le vecteur position, le vecteur vitesse peut varier.

Vecteur accélération

Cette variation du vecteur vitesse entraîne l’apparition d’un vecteur accélération qui est la variation de la vitesse en fonction du temps.

Pour un point MM en mouvement le vecteur accélération est : a =v2v1t2t1=ΔvΔt\overrightarrow {a}\ = \dfrac {\stackrel {→}{v2}-\stackrel {→}{v1}}{t2-t1}=\dfrac {\overrightarrow {\Delta}{v}}{\Delta t}

Il s’agit du vecteur « accélération moyenne » : pour obtenir l’accélération instantanée il faut faire tendre Δt\Delta t vers 0.

Il faut noter que Δv\Delta\stackrel {→}{v} et a\stackrel {→}{a} sont colinéaires comme le fait penser l’équation précédente.

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À retenir

Le vecteur accélération a(t)\stackrel {→}{a(t)} d’un point mobile à un instant tt a une direction et un sens, identique à celui de Δv\Delta\stackrel {→}{v}, et une valeur a=ΔvΔta=\dfrac {\Delta \stackrel {→}{ v}}{\Delta t} (en ms2\text{m} \cdot \text{s}^{-2}).

Comme le vecteur vitesse, le vecteur accélération est tangent à la fonction v(t)v(t) alors la valeur de aa est la dérivée par rapport au temps v(t)v(t). Donc : a(t)=dv(t)dta(t)=\dfrac {dv(t)}{dt}.

Ainsi, le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.

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À retenir

Comme on est dans un repère orthonormé (O ; i ; j ; k )(O\ ;\ \stackrel {→}{i}\ ;\ \stackrel {→}{j}\ ;\ \stackrel {→}{k\ )}, le vecteur accélération peut s’écrire selon les trois composantes vectorielles :

a(t)=ax(t)i+ay(t)j+az(t)k =dvx(t)dti+dvy(t)dtj+dvz(t)dtk\begin{aligned}\stackrel {→}{a}(t)&=ax(t)\cdot\stackrel {→}{i}+ay(t)\cdot\stackrel {→}{j}+az(t)\cdot\stackrel {→}{k}\ \&= \dfrac {dvx(t)}{dt}\cdot \stackrel {→}{i}+\dfrac {dvy(t)}{dt}\cdot\stackrel {→}{j}+\dfrac{dvz(t)}{dt}\cdot\stackrel {→}{k}\end{aligned}

Soit la décomposition du vecteur suivant les trois axes.

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À retenir

La valeur de l’accélération à un instant tt est a(t)=ax2+ay2+az2a(t)=\sqrt {{ax}^2+{ay}^2+{a_z}^2}.

Exemples de mouvements

Mouvement rectiligne

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Définition

Mouvement rectiligne :

Un mouvement est rectiligne lorsque sa trajectoire est une droite.

Selon l’accélération il y a trois types de mouvement rectiligne :

  • Mouvement rectiligne uniforme : Le vecteur vitesse v\stackrel {→}{v} est constant donc le vecteur accélération a\stackrel {→}{a} est nul va =0\stackrel {→}{v}\cdot\stackrel {→}{a}\ =0.

  • Mouvement rectiligne uniformément accéléré : Le vecteur vitesse v\stackrel {→}{v} augmente constamment donc le vecteur accélération a\stackrel {→}{a} est constant, a\stackrel {→}{a} et v\stackrel {→}{v} sont colinéaires et de même sens va >0\stackrel {→}{v}\cdot \stackrel {→}{a}\ >0.

  • Mouvement rectiligne uniformément ralenti : Le vecteur vitesse v\stackrel {→}{v}diminue constamment donc le vecteur accélération a\stackrel {→}{a} est constant, a\stackrel {→}{a} et v\stackrel {→}{v} sont colinéaires et de sens opposés va <0\stackrel {→}{v}\cdot\stackrel {→}{a}\ <0.

Mouvement circulaire

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Définition

Mouvement circulaire :

Un mouvement est circulaire si la trajectoire est un cercle.

Selon l’accélération il y a trois types de mouvement circulaire :

  • ​Mouvement circulaire uniforme : Le vecteur vitesse v\stackrel {→}{v} varie mais sa valeur est constante et le vecteur accélération a\stackrel {→}{a} est perpendiculaire à celui-ci et dirigé vers le centre va =0\stackrel {→}{v}\cdot \stackrel {→}{a}\ =0.

  • Mouvement circulaire uniformément accéléré : La valeur du vecteur vitesse v\stackrel {→}{v} augmente constamment donc le vecteur accélération a\stackrel {→}{a} forme un angle aigu (< 90°) avec le vecteur vitesse et sa valeur est constante va >0\stackrel {→}{v}\cdot\stackrel {→}{a}\ >0.

  • Mouvement circulaire uniformément ralenti : La valeur du vecteur vitesse v\stackrel {→}{v} diminue constamment donc le vecteur accélération forme un angle obtu (> 90°) avec le vecteur vitesse et sa valeur est constante va <0\stackrel {→}{v}\cdot\stackrel {→}{a}\ <0.