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Marianne

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Temps et cinématique

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Cinématique du point

  • On étudie le mouvement d’un objet par sa trajectoire et sa vitesse par rapport à un référentiel.
  • Le vecteur position est le vecteur OM\overrightarrow{OM}OO est le centre du référentiel et MM la position de l’objet dont le mouvement est étudié.
  • Le vecteur vitesse v(t)\overrightarrow{v(t)} d’un point mobile à un instant t à une direction, la tangente à la trajectoire en ce point, un sens, celui du mouvement, et une valeur vv (en ms1\text{m}\cdot \text{s}^{-1}).
  • Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps.
  • Dans un repère orthonormé (O;i;j;k)(O;\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k}), le vecteur vitesse peut s’écrire selon les trois composantes vectorielles :

v(t)=vx(t)i+vy(t)j+vz(t)k=dx(t)dti+dy(t)dtj+dz(t)dtk\begin{aligned}\overrightarrow{v}(t)&=vx(t)\cdot\overrightarrow{i} + vy(t)\cdot\overrightarrow{j}+v_z(t)\cdot\overrightarrow{k}\&=\dfrac{dx(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{i}+\dfrac{dy(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{j}+\dfrac{dz(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{k}\end{aligned}

  • La valeur de la vitesse à un instant tt est v(t)=vx2+vy2+vz2v(t)=\sqrt{vx^2+vy^2+v_z^2}
  • Le vecteur accélération moyenne a(t)\overrightarrow{a(t)} d’un point mobile à un instant t a une direction et un sens, identique à celui de v\overrightarrow{v}, et une valeur a=ΔvΔta=\dfrac{\Delta{\overrightarrow{v}}}{\Delta t} (en ms2\text{m}\cdot \text{s}^{-2}).
  • Ainsi, le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.
  • Dans un repère orthonormé (O;i;j;k)(O;\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k}), le vecteur accélération peut s’écrire selon les trois composantes vectorielles:

a(t)=ax(t)i+ay(t)j+az(t)k=dvx(t)dti+dvy(t)dtj+dvz(t)dtk\begin{aligned}\overrightarrow{a}(t)&=ax(t)\cdot\overrightarrow{i}+ay(t)\cdot\overrightarrow{j}+az(t)\cdot\overrightarrow{k}\&=\dfrac{dvx(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{i}+\dfrac{dvy(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{j}+\dfrac{dvz(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{k}\end{aligned}

  • La valeur de l’accélération à un instant t est a(t)=ax2+ay2+az2a(t)=\sqrt{ax^2+ay^2+a_z^2}

Exemples de mouvements

  • Un mouvement est rectiligne lorsque sa trajectoire est une droite.
  • Un mouvement est circulaire si la trajectoire est un cercle.
  • Un mouvement est rectiligne ou circulaire uniforme si va=0\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{a}=0
  • Un mouvement est rectiligne ou circulaire uniformément accéléré si va>0\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{a}>0
  • Un mouvement est restiligne ou circulaire uniformément ralenti si va<0\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{a}<0