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Triangles semblables

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Triangles semblables

  • Des triangles semblables sont des triangles dont les angles ont la même mesure deux à deux.
  • Lorsque deux triangles sont semblables :
  • les angles de même mesure deux à deux sont des angles homologues ;
  • les sommets des angles homologues sont des sommets homologues ;
  • les côtés opposés aux angles homologues sont des côtés homologues.
  • Si deux triangles ont des angles de même mesure deux à deux alors ces triangles sont semblables.
  • Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs des côtés homologues sont proportionnelles deux à deux.
  • Si des triangles ont des côtés dont les longueurs sont proportionnelles deux à deux, alors ces triangles sont semblables.
  • Deux triangles semblables sont un agrandissement/une réduction l’un de l’autre dont le coefficient est le rapport des longueurs des côtés homologues.

Relation avec Thalès

Configuration de Thalès triangles semblables mathématiques troisième

  • Deux droites (d)(d) et (d)(d^\prime) sont sécantes en AA.
    Les points BB et CC appartiennent respectivement aux droites (d)(d) et (d)(d^\prime)
    MM appartient à [AB][AB] et NN est l’intersection de la parallèle à (BC)(BC) passant par MM avec la droite (d)(d^\prime)
  • Le théorème de Thalès nous permet d’écrire les égalités suivantes :

AMAB=ANAC=MNBC\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}

  • Si on considère les triangles AMNAMN et ABCABC, compte tenu de cette égalité, on peut conclure que les triangles AMNAMN et ABCABC sont semblables.
  • On pourra par exemple affirmer que l’un est un agrandissement/une réduction de l’autre dont le coefficient est soit AMAB\dfrac{AM}{AB} soit ABAM\dfrac{AB}{AM}
  • On pourra également affirmer que AMN^=ABC^\widehat{AMN}=\widehat{ABC} et ANM^=ACB^\widehat{ANM}=\widehat {ACB} d’où, effectivement, (MN)//(BC)(MN)// (BC).