Triangles semblables

Triangles semblables

• Des triangles semblables sont des triangles dont les angles ont la même mesure deux à deux.
• Lorsque deux triangles sont semblables :
• les angles de même mesure deux à deux sont des angles homologues ;
• les sommets des angles homologues sont des sommets homologues ;
• les côtés opposés aux angles homologues sont des côtés homologues.
• Si deux triangles ont des angles de même mesure deux à deux alors ces triangles sont semblables.
• Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs des côtés homologues sont proportionnelles deux à deux.
• Si des triangles ont des côtés dont les longueurs sont proportionnelles deux à deux, alors ces triangles sont semblables.
• Deux triangles semblables sont un agrandissement/une réduction l’un de l’autre dont le coefficient est le rapport des longueurs des côtés homologues.

Relation avec Thalès

• Deux droites $(d)$ et $(d^\prime)$ sont sécantes en $A$.
  Les points $B$ et $C$ appartiennent respectivement aux droites $(d)$ et $(d^\prime)$
  $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ est l’intersection de la parallèle à $(BC)$ passant par $M$ avec la droite $(d^\prime)$
• Le théorème de Thalès nous permet d’écrire les égalités suivantes :

$$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$$

• Si on considère les triangles $AMN$ et $ABC$, compte tenu de cette égalité, on peut conclure que les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables.
• On pourra par exemple affirmer que l’un est un agrandissement/une réduction de l’autre dont le coefficient est soit $\dfrac{AM}{AB}$ soit $\dfrac{AB}{AM}$
• On pourra également affirmer que $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ et $\widehat{ANM}=\widehat {ACB}$ d’où, effectivement, $(MN)// (BC)$.