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Triangles semblables
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Introduction :
L’objectif de ce cours est d’apprendre à reconnaître des triangles semblables.
Nous commencerons par définir cette notion de triangles semblables et par en donner le vocabulaire approprié. Nous énoncerons ensuite les différentes propriétés qui permettent de démontrer que des triangles sont semblables et de calculer la mesure d’angles et/ou de longueurs de côtés. Nous terminerons ce cours en établissant le lien avec une configuration de Thalès.
Triangles semblables
Triangles semblables :
Des triangles semblables sont des triangles dont les angles ont la même mesure deux à deux.
Vocabulaire :
Lorsque deux triangles sont semblables :
Les triangles et sont deux triangles semblables alors :
Dans la pratique, il suffira de s’assurer que deux couples d’angles sont égaux deux à deux pour démontrer que deux triangles sont semblables. En effet, d’après la règle des (la somme des angles d’un triangle est égale à ), les angles restants seront forcément égaux.
et donc les triangles et ont deux angles égaux deux à deux.
D’après la propriété 1, on peut conclure :
En effet :
et
En appliquant la règle des dans le triangle on a :
De la même manière, pour le triangle on a :
D’où donc les triangles et ont tous leurs angles égaux deux à deux. Ce sont bien deux triangles semblables.
Les triangles et sont deux triangles semblables.
Les côtés homologues sont et , et et
Alors, d’après la propriété 2, on a :
Réciproque :
Si des triangles ont des côtés dont les longueurs sont proportionnelles deux à deux, alors ces triangles sont semblables.
Démontrer que les triangles et sont deux triangles semblables et déterminer les angles homologues.
D’après la réciproque, si des triangles ont des côtés de longueurs proportionnelles deux à deux, alors ces triangles sont semblables.
Identifions, s’ils existent, les côtés homologues et calculons leur rapport de longueurs.
S’il y a bien proportionnalité, le côté le plus long de l’un correspond au côté le plus long de l’autre, et ainsi de suite pour les autres côtés. Ainsi les couples de côtés homologues seraient et , et , et
Les rapports de longueurs sont :
; ;
Les longueurs des côtés des triangles et sont bien proportionnelles deux à deux donc :
Les angles homologues sont les angles opposés aux côtés homologues.
et , et , et sont les trois couples d’angles homologues.
On a : , ,
Remarque :
Des angles de même mesure deux à deux et des longueurs proportionnelles deux à deux ; ces éléments ne sont pas sans rappeler des propriétés connues :
Relation avec Thalès
Deux droites et sont sécantes en .
Les points et appartiennent respectivement aux droites et
appartient à et est l’intersection de la parallèle à passant par et de la droite
Le théorème de Thalès nous permet d’écrire les égalités suivantes :
Compte tenu de l’égalité précédente, la réciproque énoncée plus haut nous permet de conclure que les triangles et sont semblables.
On pourra par exemple affirmer que l’un est un agrandissement/une réduction de l’autre dont le coefficient est soit soit
On pourra également affirmer que et d’où, effectivement, .
Conclusion :
Il est important de comprendre la notion de triangles semblables et de connaitre les propriétés qui nous permettent de démontrer que des triangles sont semblables, de calculer des longueurs ou des mesures d’angles. Enfin, il est intéressant de savoir faire le lien avec un agrandissement-réduction et/ou une configuration de Thalès.