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Triangles semblables

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Introduction :

L'objectif de ce cours est d'apprendre à reconnaître des triangles semblables.

Nous commencerons par définir cette notion de triangles semblables et par en donner le vocabulaire approprié. Nous énoncerons ensuite les différentes propriétés qui permettent de démontrer que des triangles sont semblables et de calculer la mesure d'angles et/ou de longueurs de côtés. Nous terminerons ce cours en établissant le lien avec une configuration de Thalès.

Triangles semblables

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Définition

Triangles semblables :

Des triangles semblables sont des triangles dont les angles ont la même mesure deux à deux.

Vocabulaire :

Lorsque deux triangles sont semblables :

  • les angles de même mesure deux à deux sont des angles homologues ;
  • les sommets des angles homologues sont des sommets homologues ;
  • les côtés opposés aux angles homologues sont des côtés homologues.
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Exemple

triangles semblables mathématiques troisième

Les triangles ABCABC et MNPMNP sont deux triangles semblables alors :

  • ABC^=PMN^\widehat{ABC}=\widehat{PMN}, BCA^=NPM^\widehat{BCA}=\widehat{NPM} et CAB^=MNP^\widehat{CAB}=\widehat{MNP}
  • ABC^\widehat {ABC} et PMN^\widehat {PMN} sont des angles homologues, comme les angles BAC^\widehat {BAC} et NPM^\widehat {NPM} et les angles CAB^\widehat{CAB} et MNP^\widehat{MNP}
  • Les sommets AA et NN sont des sommets homologues, comme les sommets CC et PP et les sommets BB et MM.
  • Les côtés ABAB et MNMN sont des côtés homologues, comme les côtés BCBC et MPMP et les côtés ACAC et NPNP.
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Propriété

  • Si deux triangles ont des angles de même mesure deux à deux alors ces triangles sont semblables.

Dans la pratique, il suffira de s'assurer que deux couples d'angles sont égaux deux à deux pour démontrer que deux triangles sont semblables. En effet, d'après la règle des 180°180\degree (la somme des angles d'un triangle est égale à 180°180\degree), les angles restants seront forcément égaux.

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Exemple

triangles semblables mathématiques troisième

JKI^=NPM^\widehat{JKI}=\widehat{NPM} et KIJ^=MNP^\widehat{KIJ}=\widehat{MNP} donc les triangles IJKIJK et MNPMNP ont deux angles égaux deux à deux.
D'après la propriété 1, on peut conclure :

  • Les triangles IJKIJK et MNPMNP sont semblables.

En effet :

JKI^=NPM^=60°\widehat{JKI}=\widehat{NPM}=60\degree et KIJ^=MNP^=38°\widehat {KIJ}=\widehat{MNP}=38\degree

En appliquant la règle des 180°180\degree dans le triangle IJKIJK on a :

IJK^=180(JKI^+KIJ^)=180(60+38)=82°\begin{aligned} \widehat{IJK}&=180-(\widehat{JKI}+\widehat{KIJ})\ &=180-(60+38)\ &=82\degree\end{aligned}

De la même manière, pour le triangle MNPMNP on a :

PMN^=180(MNP^+NPM^)=180(38+60)=82°\begin{aligned} \widehat{PMN}&=180-(\widehat{MNP}+\widehat{NPM})\ &=180-(38+60)\ &=82\degree\end{aligned}

D'où IJK^=PMN^\widehat{IJK}=\widehat{PMN} donc les triangles IJKIJK et MNPMNP ont tous leurs angles égaux deux à deux. Ce sont bien deux triangles semblables.

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Propriété

  • Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs des côtés homologues sont proportionnelles deux à deux.
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Exemple

triangles semblables mathématiques troisième

Les triangles ABCABC et MNPMNP sont deux triangles semblables.
Les côtés homologues sont [BC][BC] et [MP][MP], [AB][AB] et [MN],[AC][MN], [AC] et [NP][NP]
Alors, d'après la propriété 2, on a :

BCMP=ABMN=ACNP\dfrac{BC}{MP}=\dfrac{AB}{MN}=\dfrac{AC}{NP}

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Propriété

Réciproque :

Si des triangles ont des côtés dont les longueurs sont proportionnelles deux à deux, alors ces triangles sont semblables.

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Exemple

triangles semblables mathématiques troisième

Démontrer que les triangles ABCABC et PQRPQR sont deux triangles semblables et déterminer les angles homologues.

D'après la réciproque, si des triangles ont des côtés de longueurs proportionnelles deux à deux, alors ces triangles sont semblables.
Identifions, s'ils existent, les côtés homologues et calculons leur rapport de longueurs.
S'il y a bien proportionnalité, le côté le plus long de l'un correspond au côté le plus long de l'autre, et ainsi de suite pour les autres côtés. Ainsi les couples de côtés homologues seraient [AB][AB] et [QR][QR], [AC][AC] et [PR][PR], [BC][BC] et [PQ][PQ]

Les rapports de longueurs sont :
ABQR=52,5=2\dfrac{AB}{QR}=\dfrac{5}{2,5}=2 ; ACPR=4,122,06=2\dfrac{AC}{PR}=\dfrac{4,12}{2,06}=2 ; BCPQ=42=2\dfrac{BC}{PQ}=\dfrac42=2

Les longueurs des côtés des triangles ABCABC et PQRPQR sont bien proportionnelles deux à deux donc :

  • ABCABC et PQRPQR sont deux triangles semblables dont les côtés homologues sont [AB][AB] et [QR][QR], [AC][AC] et [PR][PR], [BC][BC] et [PQ][PQ]

Les angles homologues sont les angles opposés aux côtés homologues.

BCA^\widehat{BCA} et RPQ^\widehat{RPQ}, ABC^\widehat{ABC} et PQR^\widehat{PQR}, CAB^\widehat{CAB} et QRP^\widehat{QRP} sont les trois couples d'angles homologues.
On a : BCA^=RPQ^\widehat{BCA}=\widehat{RPQ}, ABC^=PQR^\widehat{ABC}=\widehat{PQR}, CAB^=QRP^\widehat{CAB}=\widehat{QRP}

Remarque :
Des angles de même mesure deux à deux et des longueurs proportionnelles deux à deux ; ces éléments ne sont pas sans rappeler des propriétés connues :

  • Deux triangles semblables sont un agrandissement/une réduction l'un de l'autre dont le coefficient est le rapport des longueurs des côtés homologues.
  • Ici, ABCABC est un agrandissement de PQRPQR de rapport 22. PQRPQR est une réduction de ABCABC de rapport 1/21/2.

Relation avec Thalès

  • Voici une configuration de Thalès :

Configuration de Thalès triangles semblables mathématiques troisième

Deux droites (d)(d) et (d)(d') sont sécantes en AA.
Les points BB et CC appartiennent respectivement aux droites (d)(d) et (d)(d')
MM appartient à [AB][AB] et NN est l'intersection de la parallèle à (BC)(BC) passant par MM et de la droite (d)(d')

Le théorème de Thalès nous permet d'écrire les égalités suivantes : AMAB=ANAC=MNBC\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}

  • Si on considère les triangles AMNAMN et ABCABC :

Compte tenu de l'égalité précédente, la réciproque énoncée plus haut nous permet de conclure que les triangles AMNAMN et ABCABC sont semblables.
On pourra par exemple affirmer que l'un est un agrandissement/une réduction de l'autre dont le coefficient est soit AMAB\dfrac{AM}{AB} soit ABAM\dfrac{AB}{AM}

On pourra également affirmer que AMN^=ABC^\widehat{AMN}=\widehat{ABC} et ANM^=ACB^\widehat{ANM}=\widehat {ACB} d'où, effectivement, (MN)//(BC)(MN)// (BC).

Conclusion :

Il est important de comprendre la notion de triangles semblables et de connaitre les propriétés qui nous permettent de démontrer que des triangles sont semblables, de calculer des longueurs ou des mesures d'angles. Enfin, il est intéressant de savoir faire le lien avec un agrandissement-réduction et/ou une configuration de Thalès.