Cours : Triangles semblables

Triangles semblables

Introduction :

L’objectif de ce cours est d’apprendre à reconnaître des triangles semblables.

Nous commencerons par définir cette notion de triangles semblables et par en donner le vocabulaire approprié. Nous énoncerons ensuite les différentes propriétés qui permettent de démontrer que des triangles sont semblables et de calculer la mesure d’angles et/ou de longueurs de côtés. Nous terminerons ce cours en établissant le lien avec une configuration de Thalès.

Triangles semblables

Définition

Triangles semblables :

Des triangles semblables sont des triangles dont les angles ont la même mesure deux à deux.

Vocabulaire :

Lorsque deux triangles sont semblables :

les angles de même mesure deux à deux sont des angles homologues ;
les sommets des angles homologues sont des sommets homologues ;
les côtés opposés aux angles homologues sont des côtés homologues.

Exemple

$triangles semblables mathématiques troisième$

Les triangles $ABC$ et $MNP$ sont deux triangles semblables alors :

$\widehat{ABC}=\widehat{PMN}$, $\widehat{BCA}=\widehat{NPM}$ et $\widehat{CAB}=\widehat{MNP}$
$\widehat {ABC}$ et $\widehat {PMN}$ sont des angles homologues, comme les angles $\widehat {BCA}$ et $\widehat {NPM}$ et les angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{MNP}$
Les sommets $A$ et $N$ sont des sommets homologues, comme les sommets $C$ et $P$ et les sommets $B$ et $M$.
Les côtés $AB$ et $MN$ sont des côtés homologues, comme les côtés $BC$ et $MP$ et les côtés $AC$ et $NP$.

Propriété

Si deux triangles ont des angles de même mesure deux à deux alors ces triangles sont semblables.

Dans la pratique, il suffira de s’assurer que deux couples d’angles sont égaux deux à deux pour démontrer que deux triangles sont semblables. En effet, d’après la règle des $180\degree$ (la somme des angles d’un triangle est égale à $180\degree$), les angles restants seront forcément égaux.

Exemple

$triangles semblables mathématiques troisième$

$\widehat{JKI}=\widehat{NPM}$ et $\widehat{KIJ}=\widehat{MNP}$ donc les triangles $IJK$ et $MNP$ ont deux angles égaux deux à deux.
D’après la propriété 1, on peut conclure :

Les triangles $IJK$ et $MNP$ sont semblables.

En effet :

$\widehat{JKI}=\widehat{NPM}=60\degree$ et $\widehat {KIJ}=\widehat{MNP}=38\degree$

En appliquant la règle des $180\degree$ dans le triangle $IJK$ on a :

$\begin{aligned} \widehat{IJK}&=180-(\widehat{JKI}+\widehat{KIJ})\\ &=180-(60+38)\\ &=82\degree\end{aligned}$

De la même manière, pour le triangle $MNP$ on a :

$\begin{aligned} \widehat{PMN}&=180-(\widehat{MNP}+\widehat{NPM})\\ &=180-(38+60)\\ &=82\degree\end{aligned}$

D’où $\widehat{IJK}=\widehat{PMN}$ donc les triangles $IJK$ et $MNP$ ont tous leurs angles égaux deux à deux. Ce sont bien deux triangles semblables.

Propriété

Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs des côtés homologues sont proportionnelles deux à deux.

Exemple

$triangles semblables mathématiques troisième$

Les triangles $ABC$ et $MNP$ sont deux triangles semblables.
Les côtés homologues sont $[BC]$ et $[MP]$, $[AB]$ et $[MN], [AC]$ et $[NP]$
Alors, d’après la propriété 2, on a :

$\dfrac{BC}{MP}=\dfrac{AB}{MN}=\dfrac{AC}{NP}$

Propriété

Réciproque :

Si des triangles ont des côtés dont les longueurs sont proportionnelles deux à deux, alors ces triangles sont semblables.

Exemple

$triangles semblables mathématiques troisième$

Démontrer que les triangles $ABC$ et $PQR$ sont deux triangles semblables et déterminer les angles homologues.

D’après la réciproque, si des triangles ont des côtés de longueurs proportionnelles deux à deux, alors ces triangles sont semblables.
Identifions, s’ils existent, les côtés homologues et calculons leur rapport de longueurs.
S’il y a bien proportionnalité, le côté le plus long de l’un correspond au côté le plus long de l’autre, et ainsi de suite pour les autres côtés. Ainsi les couples de côtés homologues seraient $[AB]$ et $[QR]$, $[AC]$ et $[PR]$, $[BC]$ et $[PQ]$

Les rapports de longueurs sont :
$\dfrac{AB}{QR}=\dfrac{5}{2,5}=2$ ; $\dfrac{AC}{PR}=\dfrac{4,12}{2,06}=2$ ; $\dfrac{BC}{PQ}=\dfrac42=2$

Les longueurs des côtés des triangles $ABC$ et $PQR$ sont bien proportionnelles deux à deux donc :

$ABC$ et $PQR$ sont deux triangles semblables dont les côtés homologues sont $[AB]$ et $[QR]$, $[AC]$ et $[PR]$, $[BC]$ et $[PQ]$

Les angles homologues sont les angles opposés aux côtés homologues.

$\widehat{BCA}$ et $\widehat{RPQ}$, $\widehat{ABC}$ et $\widehat{PQR}$, $\widehat{CAB}$ et $\widehat{QRP}$ sont les trois couples d’angles homologues.
On a : $\widehat{BCA}=\widehat{RPQ}$, $\widehat{ABC}=\widehat{PQR}$, $\widehat{CAB}=\widehat{QRP}$

Remarque :
Des angles de même mesure deux à deux et des longueurs proportionnelles deux à deux ; ces éléments ne sont pas sans rappeler des propriétés connues :

Deux triangles semblables sont un agrandissement/une réduction l’un de l’autre dont le coefficient est le rapport des longueurs des côtés homologues.
Ici, $ABC$ est un agrandissement de $PQR$ de rapport $2$. $PQR$ est une réduction de $ABC$ de rapport $1/2$.

Relation avec Thalès

Voici une configuration de Thalès :

$Configuration de Thalès triangles semblables mathématiques troisième$

Deux droites $(d)$ et $(d^\prime)$ sont sécantes en $A$.
Les points $B$ et $C$ appartiennent respectivement aux droites $(d)$ et $(d^\prime)$
$M$ appartient à $[AB]$ et $N$ est l’intersection de la parallèle à $(BC)$ passant par $M$ et de la droite $(d^\prime)$

Le théorème de Thalès nous permet d’écrire les égalités suivantes : $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$

Si on considère les triangles $AMN$ et $ABC$ :

Compte tenu de l’égalité précédente, la réciproque énoncée plus haut nous permet de conclure que les triangles $AMN$ et $ABC$ sont semblables.
On pourra par exemple affirmer que l’un est un agrandissement/une réduction de l’autre dont le coefficient est soit $\dfrac{AM}{AB}$ soit $\dfrac{AB}{AM}$

On pourra également affirmer que $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ et $\widehat{ANM}=\widehat {ACB}$ d’où, effectivement, $(MN)// (BC)$.

Conclusion :

Il est important de comprendre la notion de triangles semblables et de connaitre les propriétés qui nous permettent de démontrer que des triangles sont semblables, de calculer des longueurs ou des mesures d’angles. Enfin, il est intéressant de savoir faire le lien avec un agrandissement-réduction et/ou une configuration de Thalès.