Triangles semblables

Prérequis

• cours sur la trigonométrie dans un triangle rectangle.

Triangles semblables

Définition

Triangles semblables :

Deux triangles sont dits semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure.

À retenir

Dans la pratique, pour montrer que deux triangles sont semblables, il suffit de montrer que deux couples d’angles sont deux à deux de même mesure.

Propriété

Dire que deux triangles sont semblables revient à dire que les longueurs de leurs côtés sont deux à deux proportionnels.

Cette propriété signifie que :

• si l’on sait que deux triangles sont semblables, alors on peut en conclure que les longueurs de leurs côtés sont deux à deux proportionnelles ;
• réciproquement, si l’on sait que deux triangles ont les longueurs de leurs côtés deux à deux proportionnelles, alors on peut en conclure que les triangles sont semblables.

À retenir

Vocabulaire :

Lorsque deux triangles sont semblables :

• les angles égaux sont appelés angles homologues ;
• les sommets des angles égaux sont appelés sommets homologues ;
• les côtés opposés aux angles égaux sont appelés côtés homologues.

Nous allons maintenant traiter un exemple, dans une configuration que l’on connaît bien.

Exemple

On considère deux droites $(AD)$ et $(BC)$ sécantes en $O$, avec de plus $(AB)$ et $(CD)$ parallèles, comme représenté ci-dessous :

Représentation des points A, B, C, D, O, et des droites

On cherche à montrer que les triangles $ABO$ et $CDO$ sont semblables.
On identifiera ensuite les angles homologues et les côtés homologues.

• Méthode 1 : Par l’égalité des mesures d’angles

Les angles $\widehat{AOB}$ et $\widehat{DOC}$ sont opposés par le sommet.

• Ils sont donc de même mesure :

$$\widehat{AOB}=\widehat{DOC}$$

Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, et la droite $(BC)$, qui est aussi la droite $(BO)$, les coupe respectivement en $B$ et $C$.

• Les angles alternes-internes $\widehat{OBA}$ et $\widehat{OCD}$ sont de même mesure :

$$\widehat{OBA}=\widehat{OCD}$$

Couple d’angles deux à deux de même mesure

Nous avons ainsi montré que les triangles $ABO$ et $CDO$ ont un couple d’angles deux à deux de même mesure.

• Les triangles $ABO$ et $CDO$ sont donc semblables.
• Méthode 2 : Avec la proportionnalité des longueurs des côtés

On reconnaît une configuration où l’on peut appliquer le théorème de Thalès, celle dite « en papillon ». En effet :

• les points $A$, $O$ et $D$ sont alignés ;
• les points $B$, $O$ et $C$ sont alignés ;
• les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

ABO et CDO sont en configuration « papillon »

D’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :

$$\dfrac{\textcolor{#009900}{OA}}{\textcolor{#CC66FF}{OD}}=\dfrac{\textcolor{#009900}{OB}}{\textcolor{#CC66FF}{OC}}=\dfrac{\textcolor{#009900}{AB}}{\textcolor{#CC66FF}{CD}}$$

Autrement dit, les triangles $\textcolor{#009900}{ABO}$ et $\textcolor{#CC66FF}{CDO}$ ont leurs longueurs de côtés deux à deux proportionnels.

• Les triangles $ABO$ et $CDO$ sont donc semblables.
• Éléments homologues

On a : $\widehat{AOB}=\widehat{DOC}$.

• $\widehat{AOB}$ et $\widehat{DOC}$ sont des angles analogues.
• Ils sont pour sommet commun $O$.
• Les côtés opposés aux angles $\widehat{AOB}$ et $\widehat{DOC}$, soit $[AB]$ et $[CD]$, sont des côtés homologues.

On a : $\widehat{OBA}=\widehat{OCD}$.

• $\widehat{OBA}$ et $\widehat{OCD}$ sont des angles analogues.
• Leurs sommets $B$ et $C$ sont des sommets homologues.
• Les côtés opposés aux angles $\widehat{OBA}$ et $\widehat{OCD}$, soit $[OA]$ et $[OD]$, sont des côtés homologues.

On a : $\widehat{BAO}=\widehat{CDO}$.

• $\widehat{BAO}$ et $\widehat{CDO}$ sont des angles analogues.
• Leurs sommets $A$ et $D$ sont des sommets homologues.
• Les côtés opposés aux angles $\widehat{BAO}$ et $\widehat{CDO}$, soit $[OB]$ et $[OC]$, sont des côtés homologues.

Astuce

Cet exemple a permis de montrer à nouveau le lien entre triangles semblables et théorème de Thalès : deux triangles en configuration de Thalès, « triangles emboîtés » ou « papillon », sont semblables. (Mais deux triangles semblables ne sont généralement pas en configuration de Thalès.)

De plus, si deux triangles sont semblables, l’un est l’agrandissement de l’autre, et le dernier est la réduction du premier. Dans l’exemple précédent :

• $CDO$ est l’agrandissement de $ABO$, de rapport $\frac{OD}{OA}$ (ou $\frac{OC}{OB}$, ou encore $\frac{CD}{AB}$) ;
• $ABO$ est la réduction de $CDO$, de rapport $\frac{OA}{OD}$ (ou $\frac{OB}{OC}$, ou encore $\frac{AB}{CD}$).

Applications

Dans cette partie, nous allons traiter deux exemples, sous la forme d’exercices corrigés.

Exercice 1 : Déterminer des longueurs

Énoncé

On considère la figure ci-dessous représentée, où :

• $B$ appartient à $[AC]$ ;
• $(AD)$ et $(BE)$ sont parallèles ;
• $(BD)$ et $(CE)$ sont parallèles ;
• $AB=4\ \text{cm}$ ;
• $AC=10,4\ \text{cm}$ ;
• $BE=4,8\ \text{cm}$ ;
• $CE=5,6\ \text{cm}$ .

• Montrer que les angles $\widehat{DAB}$ et $\widehat{EBC}$ sont de même mesure.
• Montrer que les triangles $ABD$ et $BCE$ sont semblables.
• En déduire les longueurs des côtés du triangle $ABD$.

Corrigé

• Égalité des angles $\widehat{DAB}$ et $\widehat{EBC}$

Astuce

Quand on doit montrer que deux angles sont de même mesure, on doit penser à toutes les propriétés connues qui nous donnent une égalité entre mesures d’angles. On identifie ensuite celle que l’on peut appliquer selon les données de l’énoncé.
Ici, l’énoncé mentionne des droites parallèles, et on peut repérer une sécante sur la figure. Nous pensons alors aux angles alternes-internes et aux angles correspondants, et regardons dans quel cas sont les deux angles auxquels on s’intéresse.

Les droites $(AD)$ et $(BE)$ sont parallèles d’après l’énoncé, et la droite $(AC)$ leur est sécante respectivement en $A$ et $B$. Les angles $\widehat{DAB}$ et $\widehat{EBC}$ sont des angles correspondants.

• Les angles $\widehat{DAB}$ et $\widehat{EBC}$ sont donc de même mesure :

$$\widehat{DAB}=\widehat{EBC}$$

• $ABD$ et $BCE$ sont des triangles semblables

Astuce

À la première question, nous avons montré que $ABD$ et $BCE$ possédait un couple d’angles de même mesure. Il manque donc un autre couple d’angles égaux pour montrer que les triangles $ABD$ et $BCE$ sont semblables. Comme l’énoncé indique que $(BD)$ et $(CE)$ sont parallèles, il est fort probable que nous puissions procéder de la même façon qu’à la première question.

$(BD)$ et $(CE)$ sont parallèles, et $(AC)$ les coupe respectivement en $B$ et $C$. $\widehat{ABD}$ et $\widehat{BCE}$ sont des angles correspondants. $\widehat{ABD}$ et $\widehat{BCE}$ sont donc de même mesure :

$$\widehat{ABD}=\widehat{BCE}$$

Les triangles $ABD$ et $BCE$ possèdent deux couples d’angles deux à deux de même mesure.

• Les triangles $ABD$ et $BCE$ sont donc semblables.

Profitons-en pour identifier clairement les éléments homologues. On peut représenter les couples d’angles de même mesure, au brouillon et à « main levée », si on veut être sûr de ne pas se tromper :

• Longueur des côtés du triangles $ABD$

Astuce

L’énoncé dit : « En déduire ». Cela signifie qu’il faut se servir de la question précédente pour répondre à celle-ci. Or à la deuxième question, on a montré que $ABD$ et $BCE$ sont semblables. On cherche des longueurs, il faut donc penser à utiliser la propriété de proportionnalité des longueurs.

Là aussi, on peut utiliser un brouillon en reportant sur la figure les longueurs connues, pour bien se représenter la situation :

Commençons par écrire les rapports de longueurs égaux, en veillant à bien associer les côtés homologues (on peut se servir du petit tableau qu’on a fait à la question b) :

$$\textcolor{#800000}{\dfrac {AB}{BC}}=\textcolor{#FF00FF}{\dfrac {AD}{BE}}=\textcolor{#FF7F00}{\dfrac{BD}{CE}}$$

On met les valeurs connues :

$$\dfrac 4{BC}=\dfrac {AD}{4,8}=\dfrac{BD}{5,6}$$

On se rend compte que chaque quotient a une valeur inconnue, ce qui nous empêche de continuer… Mais, le report des longueurs sur la figure montre que l’on peut calculer la longueur $BC$ :

$$BC=AC-AB=10,4-4=6,4$$

Nous obtenons ainsi :

$$\dfrac 4{6,4}=\dfrac {AD}{4,8}=\dfrac{BD}{5,6}$$

En se servant du produit en croix, on obtient:

$$\begin{aligned} 6,4\times AD=4\times 4,8 &\qquad \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ :\ }}AD=\dfrac{4\times 4,8}{6,4}=\boxed{3} \\ 6,4\times BD=4\times 5,6&\qquad \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ :\ }}BD=\dfrac{4\times 5,6}{6,4}=\boxed{3,5} \end{aligned}$$

• Les côtés de $ABD$ mesurent donc $4\ \text{cm}$, $3,5\ \text{cm}$ et $3\ \text{cm}$.

Exercice 2 : Déterminer un rapport de réduction

Énoncé

On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $\widehat{ABC}=30\degree$ et $AB=7\ \text{cm}$. On note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ :

• Montrer que les triangles $ABC$ et $HAC$ sont semblables.
• Montrer que $AH=3,5\ \text{cm}$.
• Déterminer le coefficient de réduction qui permet d’obtenir les mesures des côtés du triangle $HAC$ à partir des longueurs du triangle $ABC$.

Corrigé

• $ABC$ et $HAC$ sont semblables

Les triangles $HAC$ et $ABC$ sont tous les deux rectangles. De plus, ils ont un angle aigu en commun : $\widehat{ACB}$. Ils ont ainsi deux couples d’angles deux à deux de même mesure.

• Les triangles $HAC$ et $ABC$ sont donc semblables.
• Longueur $AH$

Astuce

$HAB$ est rectangle en $H$, ce qui donne envie d’utiliser le théorème de Pythagore. Or nous ne connaissons pas suffisamment de longueurs pour choisir cette méthode. En revanche, nous connaissons la mesure d’un de ses angles aigus. Il faut alors penser aux formules de trigonométrie dans un triangle rectangle.
Et, comme la longueur recherchée est celle du côté opposé à l’angle connu et que nous connaissons la longueur de l’hypoténuse, nous faisons appel au sinus.

Dans le triangle $HAB$ rectangle en $H$, nous avons :

$$\begin{aligned} \sin{(\widehat{ABH})}&=\dfrac{\text{Longueur du côté opposé}}{\text{Longueur de l’hypoténuse}} \\ &=\dfrac{AH}{AB} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ :\ }} AH&=AB\times \sin{(\widehat{ABH})} \end{aligned}$$

Comme $\widehat{ABH}=\widehat{ABC}=30\degree$, on obtient :

$$\begin{aligned} AH&=7\times \sin{(30\degree)} \\ &=7\times 0,5 \\ &=\boxed{3,5\ \text{cm}} \end{aligned}$$

• Nous trouvons bien que la longueur $AH$ est égale à $3,5\ \text{cm}$.

Astuce

Pour calculer le sinus de $30\degree$, on utilise la calculatrice. On peut aussi retenir, pour aller plus vite, les trois valeurs remarquables suivantes (vous en apprendrez d’autres au lycée) :

$$\cos{(60\degree)}=0,5\qquad\sin{(30\degree)}=0,5\qquad \tan{(45\degree)}=1$$

• Coefficient de réduction

Astuce

Souvent, dans les exercices, la question finale est le « couronnement » des questions précédentes. Il ne faut pas hésiter à se servir des réponses précédentes pour avoir une idée de ce qu’il faut faire.

Nous avons montré dans la question 1 que $ABC$ et $HAC$ sont des triangles semblables. Et, notamment, $[AH]$ et $[AB]$, côtés opposés à l’angle en commun $\widehat{ACB}$, sont des côtés homologues.
Or, l’énoncé nous donne la longueur $AB$ et la question 2 nous a fait calculer la longueur $AH$. Nous pouvons donc déterminer le coefficient de réduction $k$ :

$$k=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac {3,5}{7}=\boxed{0,5}$$

• Le triangle $ABC$ est une réduction du triangle $HAC$ de rapport $0,5$.