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Cercle trigonométrique, cosinus et sinus d'un nombre réel
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Introduction :
La trigonométrie est abordée dès le collège où l’on étudie le cosinus en 4e puis le sinus et la tangente en 3e. Nous allons donc poursuivre le travail en découvrant tout d’abord le cercle trigonométrique puis l’enroulement de la droite des réels autour de ce cercle.
Nous verrons ensuite les définitions et propriétés du cosinus et du sinus d’un nombre réel, nous ferons le lien avec la trigonométrie dans le triangle rectangle et nous observerons les valeurs remarquables des cosinus et sinus.
Cercle trigonométrique et droite des réels
Cercle trigonométrique
Cercle trigonométrique :
Dans le plan muni d’un repère orthonormé le cercle trigonométrique est le cercle de centre et de rayon 1 orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Le sens direct d’orientation est aussi appelé sens trigonométrique ou sens positif.
Le sens indirect (négatif) est donc celui des aiguilles d’une montre.
Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique
Dans un repère orthonormé on considère le cercle trigonométrique et la droite tangente au cercle au point . La droite est donc parallèle à .
On imagine que la droite s’enroule autour du cercle. Les deux propriétés suivantes permettent de comprendre comment est « gradué » le cercle trigonométrique.
Pour tout réel , le point d’abscisse sur coïncide avec un unique point du cercle trigonométrique .
s’appelle l’image de .
Réciproque :
Réciproquement, à tout point du cercle trigonométrique correspond une infinité de valeurs qui peuvent être considérées comme les abscisses des points de la droite .
Si est l’abscisse d’un de ces points sur tous les autres points de d’image ont pour abscisse c’est-à-dire tous les réels de la forme avec un entier relatif.
Comme à chaque réel on associe un point sur le cercle trigonométrique. est lié à l’angle au centre . Ceci permet de définir une nouvelle unité d’angle appelée radian.
Si le point est placé en , alors l’angle mesure radians. Voilà ce que donne le cercle trigonométrique lorsqu’on y place les principales valeurs de :
Cosinus et sinus d’un nombre réel
Définitions et propriétés
Cosinus :
Soit le point du cercle trigonométrique associé à un réel .
Le cosinus du réel , noté , est l’abscisse du point dans le repère .
Sinus :
Soit le point du cercle trigonométrique associé à un réel .
Le sinus du réel , noté , est l’ordonnée du point dans le repère .
Le réel a pour image le point de coordonnées .
Pour tout nombre réel on a :
Pour tout nombre réel on a :
Ce qui peut se noter :
Lorsque l’on connaît et que l’on cherche ou inversement, on doit utiliser la relation fondamentale
On donne et Le but est de trouver la valeur de :
L’énoncé dit que est compris entre et donc il se situe sur le quart de cercle en haut à droite et son cosinus est donc positif.
Lien avec la trigonométrie dans le triangle rectangle
Or est un rayon du cercle trigonométrique donc .
D’où
Or est un rayon du cercle trigonométrique donc .
D’où
Valeurs remarquables des cosinus et sinus
Les valeurs remarquables des cosinus et sinus sont regroupées dans ce tableau :
On voit par exemple en vert dans le tableau que le cosinus de vaut et que le sinus de vaut .
Ces valeurs sont à connaître par cœur car elles permettent de déduire les valeurs du cosinus et du sinus d’autres angles de la même famille comme par exemple .
Dans le cercle trigonométrique ci-dessus, on a représenté en rouge les points associés à .
En vert les points associés à en noir et en bleu .
Apprendre le cercle trigonométrique par cœur sera très utile de savoir convertir les degrés en radians et inversement.
Formule de conversion des degrés en radians :
Pour effectuer une conversion, il suffit d’utiliser la proportionnalité.