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Cercle trigonométrique, cosinus et sinus d'un nombre réel

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​Introduction :

La trigonométrie est abordée dès le collège où l’on étudie le cosinus en 4e puis le sinus et la tangente en 3e. Nous allons donc poursuivre le travail en découvrant tout d’abord le cercle trigonométrique puis l’enroulement de la droite des réels autour de ce cercle.

Nous verrons ensuite les définitions et propriétés du cosinus et du sinus d’un nombre réel, nous ferons le lien avec la trigonométrie dans le triangle rectangle et nous observerons les valeurs remarquables des cosinus et sinus.

Cercle trigonométrique et droite des réels

Cercle trigonométrique

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Définition

Cercle trigonométrique :

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J)(O,\ I,\ J) le cercle trigonométrique est le cercle C\mathcal{C} de centre OO et de rayon 1 orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

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À retenir

Le sens direct d’orientation est aussi appelé sens trigonométrique ou sens positif.

Le sens indirect (négatif) est donc celui des aiguilles d’une montre.

  • II est le point de coordonnées (1 ;0)(1\ ;0)
  • JJ est le point de coordonnées (0 ;1)(0\ ;1)

Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique

Dans un repère orthonormé (O, I, J)(O,\ I,\ J) on considère le cercle trigonométrique et la droite (d)(d) tangente au cercle au point II. La droite (d)(d) est donc parallèle à (OJ)(OJ).

On imagine que la droite (d)(d) s’enroule autour du cercle. Les deux propriétés suivantes permettent de comprendre comment est « gradué » le cercle trigonométrique.

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Propriété

Pour tout réel aa, le point d’abscisse aa sur (d)(d) coïncide avec un unique point du cercle trigonométrique MM.
MM s’appelle l’image de aa.

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Propriété

Réciproque :

Réciproquement, à tout point MM du cercle trigonométrique correspond une infinité de valeurs qui peuvent être considérées comme les abscisses des points de la droite (d)(d).

Si aa est l’abscisse d’un de ces points sur (d)(d) tous les autres points de (d)(d) d’image MM ont pour abscisse a+2π, a+4π,  , a2π, a4π, a+2\pi,\ a+4\pi,\ …\ ,\ a-2\pi,\ a-4\pi,\ … c’est-à-dire tous les réels de la forme a+2kπa+2k\pi avec kkun entier relatif.

Comme à chaque réel aa on associe un point MM sur le cercle trigonométrique. aa est lié à l’angle au centre IOM^\widehat{IOM}. Ceci permet de définir une nouvelle unité d’angle appelée radian.

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Exemple

Si le point MM est placé en JJ, alors l’angle IOM^\widehat{IOM} mesure π2 \dfrac{\pi}{2} radians. Voilà ce que donne le cercle trigonométrique lorsqu’on y place les principales valeurs de aa :

Cosinus et sinus d’un nombre réel

Définitions et propriétés

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Définition

Cosinus :

Soit MM le point du cercle trigonométrique associé à un réel aa.

Le cosinus du réel aa, noté cosa\cos a, est l’abscisse du point MM dans le repère (O, I, J)(O,\ I,\ J).

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Définition

Sinus :

Soit MM le point du cercle trigonométrique associé à un réel aa.

Le sinus du réel aa, noté sina\sin a, est l’ordonnée du point MM dans le repère (O, I, J)(O,\ I,\ J).

  • Ainsi, à chaque réel aa, on peut associer une unique valeur du cosinus et du sinus.
  • Le point MM a pour coordonnées M(cosa ;sina)M(\cos a\ ;\sin a).
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Exemple

Le réel π2\dfrac{\pi}{2} a pour image le point JJ de coordonnées (0  ;1)(0\;;1).

  • Donc cosπ2=0\cos \dfrac{\pi}{2}=0 et sinπ2=1\sin \dfrac{\pi}{2}=1.
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Propriété

Pour tout nombre réel xx on a :

1cosx11sinx1\begin{aligned} &-1\leq \cos x\leq1\ &-1\leq \sin x\leq1\ \end {aligned}

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Propriété

Pour tout nombre réel xx on a : (cosx)2+(sinx)2=1(\cos x)^2+(\sin x)^2=1

Ce qui peut se noter : cos2x+sin2x=1\cos^2x+\sin^2x=1

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À retenir

Lorsque l’on connaît sinx\sin x et que l’on cherche cosx\cos x ou inversement, on doit utiliser la relation fondamentale (cosx)2+(sinx)2=1(\cos x)^2+(\sin x)^2=1

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Exemple

On donne sinx=0,8\sin x=0,8 et 0<x<π20< x <\dfrac{\pi}{2} Le but est de trouver la valeur de cosx\cos x :

cos2x+sin2x=1cos2x+(0,8)2=1cos2x+0,64=1cos2x=10,64cos2x=0,36cosx=0,36 ou cosx=0,36cosx=0,6 ou cosx=0,6\begin{aligned}&\cos^2x+\sin^2x=1 \&\Leftrightarrow\cos^2x+(0,8)^2=1\ &\Leftrightarrow\cos^2x+0,64=1\ &\Leftrightarrow\cos^2x=1-0,64\ &\Leftrightarrow\cos^2x=0,36\ &\Leftrightarrow\cos x=\sqrt{0,36}\text{ ou }\cos x=-\sqrt{0,36}\ &\Leftrightarrow\cos x=0,6\text{ ou }\cos x=-0,6\ \end{aligned}

L’énoncé dit que xx est compris entre 00 et π2\dfrac{\pi}{2} donc il se situe sur le quart de cercle en haut à droite et son cosinus est donc positif.

  • On en déduit que cosx=0,6\cos x=0,6.

Lien avec la trigonométrie dans le triangle rectangle

  • Dans le triangle rectangle OBMOBM on a : cosBOM^=coˆteˊ adjacenthypoteˊnuse=OBOM\cos \widehat{BOM}=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{OB}{OM}

Or OMOM est un rayon du cercle trigonométrique donc OM=1OM=1.

D’où cosBOM^=OB1=OB=cosx\cos \widehat{BOM}=\dfrac{OB}{1}=OB=\cos x

  • On retrouve la même valeur pour cosx\cos x avec le cercle trigonométrique que pour cosBOM^\cos \widehat{BOM} avec la trigonométrie dans le triangle rectangle.
  • De même, dans le triangle rectangle OBMOBM on a :

sinBOM^=coˆteˊ opposeˊhypoteˊnuse=BMOM=OCOM\sin \widehat{BOM}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{BM}{OM}=\dfrac{OC}{OM}

Or OMOM est un rayon du cercle trigonométrique donc OM=1OM=1.

D’où sinBOM^=OC1=OC=sinx\sin \widehat{BOM}=\dfrac{OC}{1}=OC=\sin x

  • On retrouve la même valeur pour sinx\sin x avec le cercle trigonométrique que pour sinBOM^\sin \widehat{BOM} avec la trigonométrie dans le triangle rectangle.

Valeurs remarquables des cosinus et sinus

Les valeurs remarquables des cosinus et sinus sont regroupées dans ce tableau :

On voit par exemple en vert dans le tableau que le cosinus de π6\pi\over6 vaut 32\sqrt{3}\over2 et que le sinus de π6\pi\over6 vaut 121\over2.

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Attention

Ces valeurs sont à connaître par cœur car elles permettent de déduire les valeurs du cosinus et du sinus d’autres angles de la même famille comme par exemple 5π65\pi\over6.

Dans le cercle trigonométrique ci-dessus, on a représenté en rouge les points associés à π3;π3;2π3;2π3\dfrac{\pi}{3};-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{2\pi}{3};-\dfrac{2\pi}{3}.

  • On remarque par exemple que le cosinus de 2π3\dfrac{2\pi}{3} est opposé au cosinus de π3\dfrac{\pi}{3} mais que le sinus de 2π3\dfrac{2\pi}{3} est égal au sinus de π3\dfrac{\pi}{3}.

En vert les points associés à π6;π6;5π6;5π6\dfrac{\pi}{6};-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6};-\dfrac{5\pi}{6} en noir π4;π4;3π4;3π4\dfrac{\pi}{4};-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4};-\dfrac{3\pi}{4} et en bleu 0;π2;π2;π0 ;\dfrac{\pi}{2};-\dfrac{\pi}{2};\pi.

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Astuce

Apprendre le cercle trigonométrique par cœur sera très utile de savoir convertir les degrés en radians et inversement.

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À retenir

Formule de conversion des degrés en radians :

180°=π radians180\degree= \pi\ \text{radians}

Pour effectuer une conversion, il suffit d’utiliser la proportionnalité.

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Exemple