Cours : Cercle trigonométrique, cosinus et sinus d'un nombre réel

Cercle trigonométrique et droite des réels

Cercle trigonométrique

Définition

Cercle trigonométrique :

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,\ I,\ J)$ le cercle trigonométrique est le cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon 1 orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

À retenir

Le sens direct d’orientation est aussi appelé sens trigonométrique ou sens positif.

Le sens indirect (négatif) est donc celui des aiguilles d’une montre.

• $I$ est le point de coordonnées $(1\ ;0)$
• $J$ est le point de coordonnées $(0\ ;1)$

Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique

Dans un repère orthonormé $(O,\ I,\ J)$ on considère le cercle trigonométrique et la droite $(d)$ tangente au cercle au point $I$. La droite $(d)$ est donc parallèle à $(OJ)$.

On imagine que la droite $(d)$ s’enroule autour du cercle. Les deux propriétés suivantes permettent de comprendre comment est « gradué » le cercle trigonométrique.

Propriété

Pour tout réel $a$, le point d’abscisse $a$ sur $(d)$ coïncide avec un unique point du cercle trigonométrique $M$.
$M$ s’appelle l’image de $a$.

Propriété

Réciproque :

Réciproquement, à tout point $M$ du cercle trigonométrique correspond une infinité de valeurs qui peuvent être considérées comme les abscisses des points de la droite $(d)$.

Si $a$ est l’abscisse d’un de ces points sur $(d)$ tous les autres points de $(d)$ d’image $M$ ont pour abscisse $a+2\pi,\ a+4\pi,\ …\ ,\ a-2\pi,\ a-4\pi,\ …$ c’est-à-dire tous les réels de la forme $a+2k\pi$ avec $k$un entier relatif.

Comme à chaque réel $a$ on associe un point $M$ sur le cercle trigonométrique. $a$ est lié à l’angle au centre $\widehat{IOM}$. Ceci permet de définir une nouvelle unité d’angle appelée radian.

Exemple

Si le point $M$ est placé en $J$, alors l’angle $\widehat{IOM}$ mesure $\dfrac{\pi}{2}$ radians. Voilà ce que donne le cercle trigonométrique lorsqu’on y place les principales valeurs de $a$ :

Cosinus et sinus d’un nombre réel

Définitions et propriétés

Définition

Cosinus :

Soit $M$ le point du cercle trigonométrique associé à un réel $a$.

Le cosinus du réel $a$, noté $\cos a$, est l’abscisse du point $M$ dans le repère $(O,\ I,\ J)$.

Définition

Sinus :

Soit $M$ le point du cercle trigonométrique associé à un réel $a$.

Le sinus du réel $a$, noté $\sin a$, est l’ordonnée du point $M$ dans le repère $(O,\ I,\ J)$.

• Ainsi, à chaque réel $a$, on peut associer une unique valeur du cosinus et du sinus.
• Le point $M$ a pour coordonnées $M(\cos a\ ;\sin a)$.

Exemple

Le réel $\dfrac{\pi}{2}$ a pour image le point $J$ de coordonnées $(0\;;1)$.

• Donc $\cos \dfrac{\pi}{2}=0$ et $\sin \dfrac{\pi}{2}=1$.

Propriété

Pour tout nombre réel $x$ on a :

$\begin{aligned} &-1\leq \cos x\leq1\ &-1\leq \sin x\leq1\ \end {aligned}$

Propriété

Pour tout nombre réel $x$ on a : $(\cos x)^2+(\sin x)^2=1$

Ce qui peut se noter : $\cos^2x+\sin^2x=1$

À retenir

Lorsque l’on connaît $\sin x$ et que l’on cherche $\cos x$ ou inversement, on doit utiliser la relation fondamentale $(\cos x)^2+(\sin x)^2=1$

Exemple

On donne $\sin x=0,8$ et $0< x <\dfrac{\pi}{2}$ Le but est de trouver la valeur de $\cos x$ :

$\begin{aligned}&\cos^2x+\sin^2x=1 \&\Leftrightarrow\cos^2x+(0,8)^2=1\ &\Leftrightarrow\cos^2x+0,64=1\ &\Leftrightarrow\cos^2x=1-0,64\ &\Leftrightarrow\cos^2x=0,36\ &\Leftrightarrow\cos x=\sqrt{0,36}\text{ ou }\cos x=-\sqrt{0,36}\ &\Leftrightarrow\cos x=0,6\text{ ou }\cos x=-0,6\ \end{aligned}$

L’énoncé dit que $x$ est compris entre $0$ et $\dfrac{\pi}{2}$ donc il se situe sur le quart de cercle en haut à droite et son cosinus est donc positif.

• On en déduit que $\cos x=0,6$.

Lien avec la trigonométrie dans le triangle rectangle

• Dans le triangle rectangle $OBM$ on a : $\cos \widehat{BOM}=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{OB}{OM}$

Or $OM$ est un rayon du cercle trigonométrique donc $OM=1$.

D’où $\cos \widehat{BOM}=\dfrac{OB}{1}=OB=\cos x$

• On retrouve la même valeur pour $\cos x$ avec le cercle trigonométrique que pour $\cos \widehat{BOM}$ avec la trigonométrie dans le triangle rectangle.
• De même, dans le triangle rectangle $OBM$ on a :

$\sin \widehat{BOM}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{BM}{OM}=\dfrac{OC}{OM}$

Or $OM$ est un rayon du cercle trigonométrique donc $OM=1$.

D’où $\sin \widehat{BOM}=\dfrac{OC}{1}=OC=\sin x$

• On retrouve la même valeur pour $\sin x$ avec le cercle trigonométrique que pour $\sin \widehat{BOM}$ avec la trigonométrie dans le triangle rectangle.

Valeurs remarquables des cosinus et sinus

Les valeurs remarquables des cosinus et sinus sont regroupées dans ce tableau :

On voit par exemple en vert dans le tableau que le cosinus de $\pi\over6$ vaut $\sqrt{3}\over2$ et que le sinus de $\pi\over6$ vaut $1\over2$.

Attention

Ces valeurs sont à connaître par cœur car elles permettent de déduire les valeurs du cosinus et du sinus d’autres angles de la même famille comme par exemple $5\pi\over6$.

Dans le cercle trigonométrique ci-dessus, on a représenté en rouge les points associés à $\dfrac{\pi}{3};-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{2\pi}{3};-\dfrac{2\pi}{3}$.

• On remarque par exemple que le cosinus de $\dfrac{2\pi}{3}$ est opposé au cosinus de $\dfrac{\pi}{3}$ mais que le sinus de $\dfrac{2\pi}{3}$ est égal au sinus de $\dfrac{\pi}{3}$.

En vert les points associés à $\dfrac{\pi}{6};-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6};-\dfrac{5\pi}{6}$ en noir $\dfrac{\pi}{4};-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4};-\dfrac{3\pi}{4}$ et en bleu $0 ;\dfrac{\pi}{2};-\dfrac{\pi}{2};\pi$.

Astuce

Apprendre le cercle trigonométrique par cœur sera très utile de savoir convertir les degrés en radians et inversement.

À retenir

Formule de conversion des degrés en radians :

$180\degree= \pi\ \text{radians}$

Pour effectuer une conversion, il suffit d’utiliser la proportionnalité.

Exemple