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Cercle trigonométrique, cosinus et sinus d'un nombre réel

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Cercle trigonométrique et droite des réels

Cercle trigonométrique

Définition : cercle trigonométrique

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O,I,J)(O,I,J), le cercle trigonométrique est le cercle CC de centre OO et de rayon 11 orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique

Propriété :

  • Pour tout réel aa, le point d’abscisse aa sur dd coïncide avec un unique point MM du cercle trigonométrique. MM s’appelle l’image de aa.
  • Réciproquement, à tout point MM du cercle trigonométrique correspond une infinité de valeurs qui peuvent être considérés comme les abscisses des points de la droite dd. Si aa est l’abscisse d’un de ces points sur dd, tous les autres points de dd d’image MM ont pour abscisse a+2π,a+4π,,a2π,a4π,a+2\pi,a+4\pi,…,a-2\pi,a-4\pi,… c’est-à-dire tous les réels de la forme a+2kπa+2k\pi, avec kk entier relatif.

Cosinus et sinus d’un nombre réel

Définitions et propriété

Définitions :

Soit MM le point du cercle trigonométrique associé à un réel aa.

  • Le cosinus du réel aa, noté cosa\cos a, est l’abscisse du point MM dans le repère (O,I,J)(O,I,J).
  • Le sinus du réel aa, noté sina\sin a, est l’ordonnée du point MM dans le repère (O,I,J)(O,I,J).

Propriété d’encadrement :

Pour tout nombre réel xx, on a :

  • 1cosx1-1 \leq \cos x \leq 1
  • 1sinx1-1 \leq \sin x \leq 1

Pour tout nombre réel xx, on a :
(cosx)2+(sinx)2=1(\cos x)^2+(\sin x)^2=1

Valeurs remarquables des cosinus et sinus

Valeur remarquables des cosinus et des sinus