Identités remarquables : distributivité et factorisation : Fiche de cours - Mathématiques

Introduction :

Nous allons découvrir les trois identités remarquables et les utiliser :

pour développer ou factoriser une expression littérale ;
pour effectuer mentalement du calcul numérique.

Dans un premier temps, nous verrons ce qu’est la double distributivité. Puis, nous nous intéresserons aux identités remarquables. Enfin, nous verrons comment utiliser les identités remarquables sur des exemples numériques.

La double distributivité

Approche géométrique

$Utiliser la distributivité et connaître les identités remarquables mathématiques quatrième$

Exprimons de deux façons l’aire du rectangle $EFGH$ .

La longueur $EF$ du rectangle $EFGH$ est égale à $(a+b)$ .
La largeur $FG$ du rectangle $EFGH$ est égale à $(c+d)$ .

L’aire d’un rectangle se calcule avec la formule : $\text{longueur} \times \text{largeur}$ , donc ici :
$(a+b) \times (c+d)$ soit : $(a+b)(c+d)$

L’aire du rectangle $EFGH$ est la somme des aires des quatre rectangles $I$ , $II$ , $III$ et $IV$ .

Aire du rectangle $I=a\times c=ac$
Aire du rectangle $II= a \times d= ad$
Aire du rectangle $III=b \times c=bc$
Aire du rectangle $IV= b \times d=bd$

Donc $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

Double distributivité

Propriété

$a$ , $b$ , $c$ et $d$ étant des nombres relatifs : $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

Définition

Développer :

Développer un produit, c’est le transformer en une somme algébrique.

Attention

Pour chaque produit, il faut respecter la règle des signes en distribuant.

Exemple

$(7x-4)(6x+1)$

Développons : $(7x-4)(6x+1)=7x \times 6x + 7x \times 1 -4 \times 6x - 4 \times 1$ Réduisons : $\begin{aligned}(7x-4)(6x+1)&=42 x^2 + 7x-24x-4\ &=42 x^2 -17x -4\end{aligned}$

Les identités remarquables

Le carré d’une somme

À retenir

$a$ et $b$ étant des nombres relatifs :
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$2ab$ est le double produit.

Démonstration

Développons $(a+b)^2=(a+b) \times (a+b)$

$(a+b)^2=a \times a+a\times b+ b\times a+ b \times b$
$(a+b)^2= a^2+ab+ab+b^2$
$(a+b)^2=a^2+2ab +b^2$

Exemple

Développons $(x+3)^2$

On utilise $(a+b)^2= a^2+2ab +b^2$

$(x+3)^2=x^2 +2\times x \times 3 + 3^2$

On réduit :

$(x+3)^2=x^2+ 6x +9$

Le carré d’une différence

À retenir

$a$ et $b$ étant des nombres relatifs :
$(a-b)^2= a^2-2ab +b^2$

Démonstration

Développons $(a-b)^2=(a-b)\times (a-b)$

$(a-b)^2=a \times a -a\times b- b\times a+ b\times b$
$(a-b)^2= a^2-ab-ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab +b^2$

Exemple

Développons $(7-x)^2$

On utilise $(a-b)^2=a^2-2ab + b^2$

$(7-x)^2=7^2-2\times 7 \times x +x^2$

On réduit : $(7-x)^2=49-14x+x^2$

Le produit d’une somme par une différence

À retenir

$a$ et $b$ étant deux nombres relatifs : $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

$a^2-b^2$ est la différence des deux carrés.

Démonstration

Développons $(a+b)(a-b)$

$\begin{aligned}(a+b)(a-b)&= a\times a-a\times b+b\times a-b\times b \ (a+b)(a-b)&=a^2-ab+ab-b^2\ (a+b)(a-b)&=a^2-b^2 \end {aligned}$

Exemple

Développons $(3x+7)(3x-7)$

On utilise $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
$(3x+7)(3x-7)=(3x)^2-7^2$

On réduit : $(3x+7)(3x-7)=9x^2-49$

Utiliser les identités remarquables sur des exemples numériques

Les identités remarquables sont parfois utiles pour effectuer des calculs numériques sans calculatrice.

Exemple

Calculons $103^2$

On décompose $103$ en $100+3$
$103^2=(100 +3)^2$ On utilise l’identité remarquable $(a+b)^2=a^2 +2ab +b^2$

$\begin {aligned}(100+ 3)^2&=100^2+2 \times 100 \times 3+3^2\ (100+ 3)^2&=10000+600+9\ (100+ 3)^2&=10609 \ 103^2 &=10609\end {aligned}$

Calculons $29^2$

On décompose $29$ en $30-1$
$29^2=(30 -1)^2$ On utilise l’identité remarquable $(a-b)^2=a^2 -2ab +b^2$

$\begin{aligned}(30-1)^2&=30^2-2 \times 30 \times 1 +1^2\ (30-1)^2 &=900-60+1\ (30-1)^2&=841\ 29^2&=841\end{aligned}$

Calculons $99 \times 1001$

On décompose $999$ en $1000-1$ et $1001$ en $1000 +1$

$999\times 1001= (1000 -1)(1000+1)$ On utilise l’identité remarquable $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

$\begin {aligned}(1000-1)(1000+1)&=1000^2-1^2 \ (1000-1)(1000+1)&= 1 000 000 -1\ (1000-1)(1000+1)&=999 999\ 999 \times 1001 &=999 999 \end{aligned}$

Calculons $53^2-47^2$

On utilise l’identité remarquable $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

$\begin{aligned}53^2-47^2&=(53+47)(53-47) \ 53^2-47^2&=100 \times 6 \ 53^2-47^2&=600\end{aligned}$

Utiliser les identités remarquables pour factoriser

Exemple

Factorisons $4x^2+12x+9$

Cette expression est de la forme $a^2+2ab+b^2$ avec $a=2x$ et $b=3$ $4x^2+12x+9=(2x)^2+ 2 \times 2x \times 3+ 3^2$ On utilise l’identité remarquable $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

$\begin{aligned}(2x)^2+ 2\times 2x\times 3 +3^2&=(2x+3)^2\ 4x^2+12x+9&=(2x+3)^2\end{aligned}$

Factorisons $x^2-8x+16$

Cette expression est de la forme $a^2-2ab+b^2$ avec $a=x$ et $b=4$ $x^2-8x+16=x^2-2 \times x \times 4+4^2$ On utilise l’identité remarquable $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

$\begin{aligned}x^2-2\times x \times 4 + 4^2&=(x-4)^2\ x^2-8x+16&=(x-4)^2\end{aligned}$

Factorisons $100- 9x^2$

Cette expression est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=10$ et $b=3x$ $100-9x^2=10^2-(3x)^2$ On utilise l’identité remarquable $a^2-b^2= (a+b)(a-b)$

$\begin{aligned}10^2-(3x)^2&= (10+3x)(10-3x)\ 100-9x^2&=(10+3x)(10-3x)\end{aligned}$

Identités remarquables : distributivité et factorisation

La double distributivité

Approche géométrique

Double distributivité

Les identités remarquables

Le carré d’une somme

Le carré d’une différence

Le produit d’une somme par une différence

Utiliser les identités remarquables sur des exemples numériques

Utiliser les identités remarquables pour factoriser

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