Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Identités remarquables : distributivité et factorisation

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Introduction :

Nous allons découvrir les trois identités remarquables et les utiliser :

  • pour développer ou factoriser une expression littérale ;
  • pour effectuer mentalement du calcul numérique.

Dans un premier temps, nous verrons ce qu’est la double distributivité. Puis, nous nous intéresserons aux identités remarquables. Enfin, nous verrons comment utiliser les identités remarquables sur des exemples numériques.

La double distributivité

Approche géométrique

Utiliser la distributivité et connaître les identités remarquables mathématiques quatrième

Exprimons de deux façons l’aire du rectangle $EFGH$.

La longueur $EF$ du rectangle $EFGH$ est égale à $(a+b)$.
La largeur $FG$ du rectangle $EFGH$ est égale à $(c+d)$.

L’aire d’un rectangle se calcule avec la formule : $\text{longueur} \times \text{largeur}$, donc ici :
$(a+b) \times (c+d)$ soit : $(a+b)(c+d)$

L’aire du rectangle $EFGH$ est la somme des aires des quatre rectangles $I$, $II$, $III$ et $IV$.

Aire du rectangle $I=a\times c=ac$
Aire du rectangle $II= a \times d= ad$
Aire du rectangle $III=b \times c=bc$
Aire du rectangle $IV= b \times d=bd$

  • Donc $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$

Double distributivité

bannière propriete

Propriété

$a$,$b$, $c$ et $d$ étant des nombres relatifs : $$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$

bannière definition

Définition

Développer :

Développer un produit, c’est le transformer en une somme algébrique.

bannière attention

Attention

Pour chaque produit, il faut respecter la règle des signes en distribuant.

bannière exemple

Exemple

$$(7x-4)(6x+1)$$

Développons : $$(7x-4)(6x+1)=7x \times 6x + 7x \times 1 -4 \times 6x - 4 \times 1$$ Réduisons : $$\begin{aligned}(7x-4)(6x+1)&=42 x^2 + 7x-24x-4\\ &=42 x^2 -17x -4\end{aligned}$$

Les identités remarquables

Le carré d’une somme

bannière à retenir

À retenir

$a$ et $b$ étant des nombres relatifs :
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

  • $2ab$ est le double produit.
bannière demonstration

Démonstration

Développons $(a+b)^2=(a+b) \times (a+b)$

$(a+b)^2=a \times a+a\times b+ b\times a+ b \times b$
$(a+b)^2= a^2+ab+ab+b^2$
$(a+b)^2=a^2+2ab +b^2$

bannière exemple

Exemple

Développons $(x+3)^2$

On utilise $(a+b)^2= a^2+2ab +b^2$

$$(x+3)^2=x^2 +2\times x \times 3 + 3^2$$

On réduit :

$$(x+3)^2=x^2+ 6x +9$$

Le carré d’une différence

bannière à retenir

À retenir

$a$ et $b$ étant des nombres relatifs :
$$(a-b)^2= a^2-2ab +b^2$$

bannière demonstration

Démonstration

Développons $(a-b)^2=(a-b)\times (a-b)$

$(a-b)^2=a \times a -a\times b- b\times a+ b\times b$
$(a-b)^2= a^2-ab-ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab +b^2$

bannière exemple

Exemple

Développons $(7-x)^2$

On utilise $(a-b)^2=a^2-2ab + b^2$

$$(7-x)^2=7^2-2\times 7 \times x +x^2$$

On réduit : $$(7-x)^2=49-14x+x^2$$

Le produit d’une somme par une différence

bannière à retenir

À retenir

$a$ et $b$ étant deux nombres relatifs : $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

  • $a^2-b^2$ est la différence des deux carrés.
bannière demonstration

Démonstration

Développons $(a+b)(a-b)$

$\begin{aligned}(a+b)(a-b)&= a\times a-a\times b+b\times a-b\times b \\ (a+b)(a-b)&=a^2-ab+ab-b^2\\ (a+b)(a-b)&=a^2-b^2 \end {aligned}$

bannière exemple

Exemple

Développons $(3x+7)(3x-7)$

On utilise $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
$$(3x+7)(3x-7)=(3x)^2-7^2$$

On réduit : $$(3x+7)(3x-7)=9x^2-49$$

Utiliser les identités remarquables sur des exemples numériques

Les identités remarquables sont parfois utiles pour effectuer des calculs numériques sans calculatrice.

bannière exemple

Exemple

  • Calculons $103^2$

On décompose $103$ en $100+3$
$$103^2=(100 +3)^2$$ On utilise l’identité remarquable $(a+b)^2=a^2 +2ab +b^2$

$$\begin {aligned}(100+ 3)^2&=100^2+2 \times 100 \times 3+3^2\\ (100+ 3)^2&=10000+600+9\\ (100+ 3)^2&=10609 \\ 103^2 &=10609\end {aligned}$$

  • Calculons $29^2$

On décompose $29$ en $30-1$
$$29^2=(30 -1)^2$$ On utilise l’identité remarquable $(a-b)^2=a^2 -2ab +b^2$

$$\begin{aligned}(30-1)^2&=30^2-2 \times 30 \times 1 +1^2\\ (30-1)^2 &=900-60+1\\ (30-1)^2&=841\\ 29^2&=841\end{aligned}$$

  • Calculons $99 \times 1001$

On décompose $999$ en $1000-1$ et $1001$ en $1000 +1$

$$999\times 1001= (1000 -1)(1000+1)$$ On utilise l’identité remarquable $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

$$\begin {aligned}(1000-1)(1000+1)&=1000^2-1^2 \\ (1000-1)(1000+1)&= 1 000 000 -1\\ (1000-1)(1000+1)&=999 999\\ 999 \times 1001 &=999 999 \end{aligned}$$

  • Calculons $53^2-47^2$

On utilise l’identité remarquable $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

$$\begin{aligned}53^2-47^2&=(53+47)(53-47) \\ 53^2-47^2&=100 \times 6 \\ 53^2-47^2&=600\end{aligned}$$

Utiliser les identités remarquables pour factoriser

bannière exemple

Exemple

Cette expression est de la forme $a^2+2ab+b^2$ avec $a=2x$ et $b=3$ $$4x^2+12x+9=(2x)^2+ 2 \times 2x \times 3+ 3^2$$ On utilise l’identité remarquable $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

$$\begin{aligned}(2x)^2+ 2\times 2x\times 3 +3^2&=(2x+3)^2\\ 4x^2+12x+9&=(2x+3)^2\end{aligned}$$

  • Factorisons $x^2-8x+16$

Cette expression est de la forme $a^2-2ab+b^2$ avec $a=x$ et $b=4$ $$x^2-8x+16=x^2-2 \times x \times 4+4^2$$ On utilise l’identité remarquable $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

$$\begin{aligned}x^2-2\times x \times 4 + 4^2&=(x-4)^2\\ x^2-8x+16&=(x-4)^2\end{aligned}$$

  • Factorisons $100- 9x^2$

Cette expression est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=10$ et $b=3x$ $$100-9x^2=10^2-(3x)^2$$ On utilise l’identité remarquable $a^2-b^2= (a+b)(a-b)$

$$\begin{aligned}10^2-(3x)^2&= (10+3x)(10-3x)\\ 100-9x^2&=(10+3x)(10-3x)\end{aligned}$$