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Identités remarquables : distributivité et factorisation

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Introduction :

Nous allons découvrir les trois identités remarquables et les utiliser :

  • pour développer ou factoriser une expression littérale ;
  • pour effectuer mentalement du calcul numérique.

Dans un premier temps, nous verrons ce qu’est la double distributivité. Puis, nous nous intéresserons aux identités remarquables. Enfin, nous verrons comment utiliser les identités remarquables sur des exemples numériques.

La double distributivité

Approche géométrique

Utiliser la distributivité et connaître les identités remarquables mathématiques quatrième

Exprimons de deux façons l’aire du rectangle EFGHEFGH.

La longueur EFEF du rectangle EFGHEFGH est égale à (a+b)(a+b).
La largeur FGFG du rectangle EFGHEFGH est égale à (c+d)(c+d).

L’aire d’un rectangle se calcule avec la formule : longueur×largeur\text{longueur} \times \text{largeur}, donc ici :
(a+b)×(c+d)(a+b) \times (c+d) soit : (a+b)(c+d)(a+b)(c+d)

L’aire du rectangle EFGHEFGH est la somme des aires des quatre rectangles II, IIII, IIIIII et IVIV.

Aire du rectangle I=a×c=acI=a\times c=ac
Aire du rectangle II=a×d=adII= a \times d= ad
Aire du rectangle III=b×c=bcIII=b \times c=bc
Aire du rectangle IV=b×d=bdIV= b \times d=bd

  • Donc (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

Double distributivité

bannière propriete

Propriété

aa,bb, cc et dd étant des nombres relatifs : (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

bannière definition

Définition

Développer :

Développer un produit, c’est le transformer en une somme algébrique.

bannière attention

Attention

Pour chaque produit, il faut respecter la règle des signes en distribuant.

bannière exemple

Exemple

(7x4)(6x+1)(7x-4)(6x+1)

Développons : (7x4)(6x+1)=7x×6x+7x×14×6x4×1(7x-4)(6x+1)=7x \times 6x + 7x \times 1 -4 \times 6x - 4 \times 1 Réduisons : (7x4)(6x+1)=42x2+7x24x4=42x217x4\begin{aligned}(7x-4)(6x+1)&=42 x^2 + 7x-24x-4\ &=42 x^2 -17x -4\end{aligned}

Les identités remarquables

Le carré d’une somme

bannière à retenir

À retenir

aa et bb étant des nombres relatifs :
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

  • 2ab2ab est le double produit.
bannière demonstration

Démonstration

Développons (a+b)2=(a+b)×(a+b)(a+b)^2=(a+b) \times (a+b)

(a+b)2=a×a+a×b+b×a+b×b(a+b)^2=a \times a+a\times b+ b\times a+ b \times b
(a+b)2=a2+ab+ab+b2(a+b)^2= a^2+ab+ab+b^2
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab +b^2

bannière exemple

Exemple

Développons (x+3)2(x+3)^2

On utilise (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2= a^2+2ab +b^2

(x+3)2=x2+2×x×3+32(x+3)^2=x^2 +2\times x \times 3 + 3^2

On réduit :

(x+3)2=x2+6x+9(x+3)^2=x^2+ 6x +9

Le carré d’une différence

bannière à retenir

À retenir

aa et bb étant des nombres relatifs :
(ab)2=a22ab+b2(a-b)^2= a^2-2ab +b^2

bannière demonstration

Démonstration

Développons (ab)2=(ab)×(ab)(a-b)^2=(a-b)\times (a-b)

(ab)2=a×aa×bb×a+b×b(a-b)^2=a \times a -a\times b- b\times a+ b\times b
(ab)2=a2abab+b2(a-b)^2= a^2-ab-ab+b^2
(ab)2=a22ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab +b^2

bannière exemple

Exemple

Développons (7x)2(7-x)^2

On utilise (ab)2=a22ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab + b^2

(7x)2=722×7×x+x2(7-x)^2=7^2-2\times 7 \times x +x^2

On réduit : (7x)2=4914x+x2(7-x)^2=49-14x+x^2

Le produit d’une somme par une différence

bannière à retenir

À retenir

aa et bb étant deux nombres relatifs : (a+b)(ab)=a2b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2

  • a2b2a^2-b^2 est la différence des deux carrés.
bannière demonstration

Démonstration

Développons (a+b)(ab)(a+b)(a-b)

(a+b)(ab)=a×aa×b+b×ab×b(a+b)(ab)=a2ab+abb2(a+b)(ab)=a2b2\begin{aligned}(a+b)(a-b)&= a\times a-a\times b+b\times a-b\times b \ (a+b)(a-b)&=a^2-ab+ab-b^2\ (a+b)(a-b)&=a^2-b^2 \end {aligned}

bannière exemple

Exemple

Développons (3x+7)(3x7)(3x+7)(3x-7)

On utilise (a+b)(ab)=a2b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2
(3x+7)(3x7)=(3x)272(3x+7)(3x-7)=(3x)^2-7^2

On réduit : (3x+7)(3x7)=9x249(3x+7)(3x-7)=9x^2-49

Utiliser les identités remarquables sur des exemples numériques

Les identités remarquables sont parfois utiles pour effectuer des calculs numériques sans calculatrice.

bannière exemple

Exemple

  • Calculons 1032103^2

On décompose 103103 en 100+3100+3
1032=(100+3)2103^2=(100 +3)^2 On utilise l’identité remarquable (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2 +2ab +b^2

(100+ 3)2=1002+2×100×3+32(100+ 3)2=10000+600+9(100+ 3)2=106091032=10609\begin {aligned}(100+ 3)^2&=100^2+2 \times 100 \times 3+3^2\ (100+ 3)^2&=10000+600+9\ (100+ 3)^2&=10609 \ 103^2 &=10609\end {aligned}

  • Calculons 29229^2

On décompose 2929 en 30130-1
292=(301)229^2=(30 -1)^2 On utilise l’identité remarquable (ab)2=a22ab+b2(a-b)^2=a^2 -2ab +b^2

(301)2=3022×30×1+12(301)2=90060+1(301)2=841292=841\begin{aligned}(30-1)^2&=30^2-2 \times 30 \times 1 +1^2\ (30-1)^2 &=900-60+1\ (30-1)^2&=841\ 29^2&=841\end{aligned}

  • Calculons 99×100199 \times 1001

On décompose 999999 en 100011000-1 et 10011001 en 1000+11000 +1

999×1001=(10001)(1000+1)999\times 1001= (1000 -1)(1000+1) On utilise l’identité remarquable (a+b)(ab)=a2b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2

(10001)(1000+1)=1000212(10001)(1000+1)=10000001(10001)(1000+1)=999999999×1001=999999\begin {aligned}(1000-1)(1000+1)&=1000^2-1^2 \ (1000-1)(1000+1)&= 1 000 000 -1\ (1000-1)(1000+1)&=999 999\ 999 \times 1001 &=999 999 \end{aligned}

  • Calculons 53247253^2-47^2

On utilise l’identité remarquable a2b2=(a+b)(ab)a^2-b^2=(a+b)(a-b)

532472=(53+47)(5347)532472=100×6532472=600\begin{aligned}53^2-47^2&=(53+47)(53-47) \ 53^2-47^2&=100 \times 6 \ 53^2-47^2&=600\end{aligned}

Utiliser les identités remarquables pour factoriser

bannière exemple

Exemple

Cette expression est de la forme a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2 avec a=2xa=2x et b=3b=3 4x2+12x+9=(2x)2+2×2x×3+324x^2+12x+9=(2x)^2+ 2 \times 2x \times 3+ 3^2 On utilise l’identité remarquable a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

(2x)2+2×2x×3+32=(2x+3)24x2+12x+9=(2x+3)2\begin{aligned}(2x)^2+ 2\times 2x\times 3 +3^2&=(2x+3)^2\ 4x^2+12x+9&=(2x+3)^2\end{aligned}

  • Factorisons x28x+16x^2-8x+16

Cette expression est de la forme a22ab+b2a^2-2ab+b^2 avec a=xa=x et b=4b=4 x28x+16=x22×x×4+42x^2-8x+16=x^2-2 \times x \times 4+4^2 On utilise l’identité remarquable a22ab+b2=(ab)2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

x22×x×4+42=(x4)2x28x+16=(x4)2\begin{aligned}x^2-2\times x \times 4 + 4^2&=(x-4)^2\ x^2-8x+16&=(x-4)^2\end{aligned}

  • Factorisons 1009x2100- 9x^2

Cette expression est de la forme a2b2a^2-b^2 avec a=10a=10 et b=3xb=3x 1009x2=102(3x)2100-9x^2=10^2-(3x)^2 On utilise l’identité remarquable a2b2=(a+b)(ab)a^2-b^2= (a+b)(a-b)

102(3x)2=(10+3x)(103x)1009x2=(10+3x)(103x)\begin{aligned}10^2-(3x)^2&= (10+3x)(10-3x)\ 100-9x^2&=(10+3x)(10-3x)\end{aligned}