Utiliser le langage littéral : la distributivité

Prérequis :

• cours de 5^e sur le langage littéral.

Exemple et rappels

On considère la figure représentée ci-dessous, où les égalités de longueur et les angles droits sont codés. On sait que $NO=6\ \text{cm}$ et $x$ représente la longueur, en centimètre, du segment $[RM]$ ($x$ étant une longueur, $x$ est positif) :

Aire

On note $\mathcal A$ l’aire du quadrilatère $MOQR$. On cherche à exprimer $\mathcal A$ en fonction de la valeur de $x$.

Première méthode

On voit que l’aire $\mathcal A$ du quadrilatère $MOQR$ est égale à la somme des aires du carré $\textcolor{#FF7F00}{MNQR}$ et du triangle $\textcolor{#FF00FF}{NOQ}$ rectangle en $N$ :

$$\mathcal A= \textcolor{FF7F00}{\text{Aire}(MNQR)}+\textcolor{#FF00FF}{\text{Aire}(NOQ)}$$

• Le carré $\textcolor{#FF7F00}{MNQR}$ a pour longueur de côté $x$ ; son aire vaut donc :

$$\textcolor{#FF7F00}{\text{Aire}(MNQR)=x\times x}$$

• $x\times x$ est le produit de $x$ par lui-même ; on dit : $x$ au carré, et on note :

$$\textcolor{#FF7F00}{\text{Aire}(MNQR)=x^2}$$

• Pour le triangle rectangle $\textcolor{#FF00FF}{NOQ}$, les côtés adjacents à l’angle droit sont $[NO]$, de longueur $NO=6$, et $[QN]$, de longueur $QN=x$. Son aire vaut donc :

$$\begin{aligned} \textcolor{#FF00FF}{\text{Aire}(NOQ)}& \textcolor{#FF00FF}{=\dfrac {6\times x}2} \\ &\textcolor{#FF00FF}{=3\times x} \end{aligned}$$

• On peut supprimer le signe $\times$ lorsqu’il précède une lettre :

$$\textcolor{#FF00FF}{\text{Aire}(NOQ)=3x}$$

• On obtient ainsi l’expression de $\mathcal A$ en fonction de $x$ :

$$\boxed{\mathcal A= \textcolor{FF7F00}{x^2}+\textcolor{#FF00FF}{3x}}$$

Deuxième méthode

On peut aussi se dire que l’aire du quadrilatère $MOQR$ est égale à l’aire du rectangle $\textcolor{#7F00FF}{MOPR}$ à laquelle on soustrait l’aire du triangle $\textcolor{#0000FF}{OPQ}$ rectangle en $P$ :

$$\mathcal A= \textcolor{#7F00FF}{\text{Aire}(MOPR)}- \textcolor{#0000FF}{\text{Aire}(OPQ)}$$

• Le rectangle $\textcolor{#7F00FF}{MOPR}$ a pour largeur $RM=x$ et pour longueur $MO=x+6$ ; son aire vaut donc :

$$\textcolor{#7F00FF}{\text{Aire}(MOPR)=x\times (x+6)}$$

• On peut supprimer le signe $\times$ lorsqu’il précède une parenthèse :

$$\textcolor{#7F00FF}{\text{Aire}(MOPR)=x(x+6)}$$

• Pour le triangle rectangle $\textcolor{#0000FF}{OPQ}$, les côtés adjacents à l’angle droit sont $[OP]$, de longueur $OP=x$, et $[QP]$, de longueur $QP=6$. Son aire vaut donc :

$$\begin{aligned} \textcolor{#0000FF}{\text{Aire}(OPQ)}& \textcolor{#0000FF}{=\dfrac {x\times 6}2} \\ &\textcolor{#0000FF}{=x \times 3=3x} \end{aligned}$$

• On n’écrit pas « $x3$ », mais « $3x$ ».
• On obtient ainsi l’expression de $\mathcal A$ en fonction de $x$ :

$$\boxed{\mathcal A= \textcolor{#7F00FF}{x(x+6)}- \textcolor{#0000FF}{3x}}$$

Égalité de deux expressions littérales

Au point précédent, on a obtenu deux formules pour exprimer l’aire de $MOQR$ en fonction de $x$ :

$$\begin{aligned} \mathcal A&=x^2+3x \\ \mathcal A&=x(x+6)-3x \end{aligned}$$

Normalement, ces deux expressions devraient être égales quel que soit le nombre (positif) $x$. Vérifions cette égalité en transformant la seconde expression : $x(x+6)-3x$.

Pour cela, rappelons la propriété de distributivité de la multiplication par rapport à l’addition ou à la soustraction.

Propriété

Quels que soient les nombres $k$, $a$ et $b$, on a :

$$\begin{aligned} \red k(\purple a+ \orange b)&=\red k \purple a+ \red k \orange b \\ \red k(\purple a- \orange b)&=\red k \purple a- \red k \orange b \end{aligned}$$

• On obtient ainsi :

$$\begin{aligned} \mathcal A&=\red x(\purple x+\orange 6)-3x \\ &=\red x\times \purple x+\red x\times \orange 6-3x \\ &=x^2+6x-3x \end{aligned}$$

• On peut encore simplifier cette dernière écriture, en réduisant l’expression, c’est-à-dire en regroupant les termes qui vont ensemble :

$$\begin{aligned} \mathcal A&= x^2+ \textcolor{#B22222}{6x-3x} \\ &=x^2+ \textcolor{#B22222}{3x} \end{aligned}$$

• On retrouve bien l’écriture de la première expression de $\mathcal A=x^2+3x$.

L’égalité $x^2+3x=x(x+6)-3x$ est vraie pour toutes les valeurs de $x$ (y compris négatives).

À retenir

Pour montrer que deux expressions littérales sont égales quelle que soit la valeur de $x$, on peut transformer l’une des deux pour retrouver l’écriture de l’autre.

Utiliser une expression littérale

Calculons la valeur de l’aire de $MOQR$ pour $x=3$, puis pour $x=4$.

À retenir

Pour calculer pour des valeurs données une expression littérale, on remplace dans cette expression les lettres par leurs valeurs respectives.

L’expression obtenue : $\mathcal A=x^2+3x$, est une sorte de « programme de calcul » :

• en entrée, on fournit la valeur de $x$ ;
• le « programme » traite la donnée en effectuant les calculs ;
• et elle nous retourne, en sortie, le résultat de son calcul, l’aire de $MOQR$.
• Pour $x=3$ :

$$\begin{aligned} \mathcal A&=x^2+3x \\ &=3^2+3\times 3 \\ &=3\times 3+3\times 3 \\ &=9+9 \\ &=18 \end{aligned}$$

• Si la longueur $x$ vaut $3\ \text{cm}$, alors l’aire de $MOQR$ vaut $18\ \text{cm}^2$.
• Pour $x=4$ :

$$\begin{aligned} \mathcal A&=x^2+3x \\ &=4^2+3\times 4 \\ &=4\times 4+3\times 4 \\ &=16+12 \\ &=28 \end{aligned}$$

• Si la longueur $x$ vaut $4\ \text{cm}$, alors l’aire de $MOQR$ vaut $28\ \text{cm}^2$.

On peut d’ailleurs programmer ce calcul, avec Scratch par exemple. Il suffit ensuite de l’exécuter en entrant la valeur (positive) de $x$ souhaitée, en centimètre :

Développer et factoriser une expression

Dans cette partie, nous allons découvrir des applications de la distributivité.

Définitions

Définition

Somme, différence, produit (rappels) :

• Le résultat d’une addition est appelé somme.
• Les nombres qui sont ajoutés sont appelés termes.
• Le résultat d’une soustraction est appelé différence.
• Les nombres qui interviennent dans la soustraction sont aussi appelés termes.
• Le résultat d’une multiplication est appelé produit.
• Les nombres qui sont multipliés sont appelés facteurs.

Exemple

$a$ et $b$ représentent des nombres relatifs.

• $a+b$ est la somme des termes $a$ et $b$.
• $a-b$ est la différence entre les termes $a$ et $b$.
• $ab$ est le produit des facteurs $a$ et $b$.

Astuce

On sait que soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé :

$$a-b=a+(-b)$$

Calculer la différence entre $a$ et $b$ revient à calculer la somme entre $a$ et $-b$.

À retenir

On considère une expression où apparaissent plusieurs opérations.
Pour savoir si c’est une somme (ou une différence) ou un produit, on s’intéresse à la dernière opération à effectuer, qui détermine la nature de cette expression.

Exemple

• $4x+32$ est une somme.
  En effet, la multiplication ayant la priorité sur l’addition (ou sur la soustraction), la dernière opération à faire est une addition.
• $4x+32$ est la somme des termes $4x$ et $32$.
• $4(x+8)$ est un produit.
  En effet, les parenthèses étant prioritaires, la dernière opération à faire est une multiplication.
• $4(x+8)$ est le produit des facteurs $4$ et $x+8$.

Il est important de savoir reconnaître une somme, une différence et un produit. Nous allons faire appel à ces notions dans la partie suivante, où nous allons apprendre à développer et factoriser des expressions.

Développer

Dans l’exemple de la première partie, la propriété de distributivité nous a permis d’utiliser l’égalité :

$$x(x+6)=x^2+6x$$

Nous avons ainsi transformé le produit des facteurs $x$ et $x+6$ en somme des termes $x^2$ et $6x$.

• On dit qu’on a développé la première expression.

Définition

Développer un produit :

Développer une expression, c’est transformer un produit en somme (ou en différence).

Pour développer un produit, nous nous servons de la propriété de distributivité.

Propriété

$k$, $a$ et $b$ sont des nombres relatifs quelconques.

$$\overbrace{\red k(\purple a+ \orange b)=\red k \purple a+ \red k \orange b}^{\textstyle \text {produit}\rightarrow\text{somme}}$$

$$\underbrace{\red k(\purple a- \orange b)=\red k \purple a- \red k \orange b}_{\textstyle \ \quad \text {produit}\rightarrow\text{différence}}$$

Exemple

$x$ représente un nombre relatif.

• Développons l’expression : $A=3(x+2)$.

$$\begin{aligned} A&=\red 3(\purple x+\orange 2) \\ &=\red 3\purple x+\red 3\times \orange 2 \\ &=3x+6 \end{aligned}$$

• Développons l’expression : $B=7(x-3)$.

$$\begin{aligned} B&=\red 7(\purple x-\orange 3) \\ &=\red 7\purple x-\red 7\times \orange 3 \\ &=7x-21 \end{aligned}$$

• Développons et réduisons l’expression : $C=7x(3-x)-19x$.

$$\begin{aligned} C&=\red{7x}(\purple 3-\orange x)-19x \\ &=\red{7x}\times \purple 3-\red{7x}\times \orange x -19x \\ &=3\times 7x-7x\times x-19x \\ &=21x-7x^2-19x \\ &=-7x^2+\blue{21x-19x} \\ &=-7x^2+\blue{2x} \end{aligned}$$

Factoriser

Nous savons réduire une expression, par exemple, comme nous venons de le faire, en écrivant :

$$21x-19x=(21-19)x=2x$$

Nous transformons alors la différence des termes $21x$ et $19x$ en produit des facteurs $2$ et $x$.

• On dit qu’on a factorisé par $x$ la première expression.

Définition

Factoriser une somme ou une différence :

Factoriser une expression, c’est transformer une somme (ou une différence) en produit.

Pour factoriser une somme ou une différence, nous nous servons toujours de la propriété de distributivité (mais « dans l’autre sens »).

Propriété

$k$, $a$ et $b$ sont des nombres relatifs quelconques.

$$\overbrace{\red k \purple a+ \red k \orange b=\red k(\purple a+ \orange b)}^{\textstyle \text {somme}\rightarrow\text{produit}}$$

$$\underbrace{\red k \purple a- \red k \orange b=\red k(\purple a- \orange b)}_{\textstyle \text {différence}\rightarrow\text{produit}\quad}$$

À retenir

Pour factoriser une somme de termes, il faut identifier, s’il existe, le facteur $k$ qui est commun aux différents termes.

Exemple

$x$ représente un nombre relatif.

• Factorisons l’expression : $A=5x-20$.

Nous savons que $20$ fait partie de la table de $5$, puisque $20=5\times 4$.
Donc $5$ est un facteur commun aux deux termes $5x$ et $20$.

• Nous pouvons donc factoriser $A$ par $\red 5$ :

$$\begin{aligned} A&=5x-20 \\ &=\red 5\purple x-\red 5\times \orange 4 \\ &=\red 5(\purple x-\orange 4) \end{aligned}$$

• Factorisons l’expression : $B=14 x^2+21x$.

Nous voyons que :

$$\begin{aligned} 14x^2&=7\times 2\times x\times x=\red{7x}\times 2x \\ 21x&=7\times 3\times x=\red{7x}\times 3 \end{aligned}$$

• Nous pouvons factoriser $B$ par $\red{7x}$ :

$$\begin{aligned} B&=14 x^2+21x \\ &=\red{7x}\times \purple{2x}+\red{7x}\times \orange 3 \\ &=\red{7x}(\purple{2x}+\orange 3) \end{aligned}$$

• Factorisons l’expression : $C=3x^3-6x^2-9x$.

Rappelons la définition du cube d’un nombre :

$$x^3=x\times x\times x=x\times x^2$$

• Nous avons alors :

$$\begin{aligned} C&=3x^3-6x^2-9x \\ &=\red{3x}\times \purple{x^2}-\red{3x}\times \orange{2x}-\red{3x}\times \blue 3 \\ &=\red{3x}(\purple{x^2}-\orange{2x}-\blue 3) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [on factorise par $3x$]}}} \end{aligned}$$

À retenir

Il faut bien retenir la différence entre développement et factorisation d’une expression, que l’on peut résumer ainsi :

Développer et factoriser