Cours : Le calcul littéral

• Le périmètre $P$ d’un carré de côté $c$ est donné par la formule :

$$P=4\times c$$

• Chez un fleuriste, une rose coûte $2\ \text{euros}$ et la livraison à domicile, quel que soit le nombre de roses, coûte $10\ \text{euros}$.
  $r$ représente le nombre de roses contenues dans un bouquet et $c$ est le coût de ce bouquet livré à domicile.
  L’énoncé de ce problème se traduit par :

$$c=2\times r+10$$

• Le produit $3\times a$ s’écrit plus simplement $3a$ :
  $3\times a=3 a$.
• Le produit $a\times b$ s’écrit plus simplement $ab$ :
  $a \times b=ab$.
• Le produit $7\times(x+2)$ s’écrit plus simplement $7(x+2)$ :
  $7\times(x+2)=7(x+2)$.
• $0\times a=0$ (plutôt que $0a$).
• $1\times a=a$ (plutôt que $1a$).
• $a\times 5=5 a$ (on met toujours le nombre avant la lettre, on n’écrira donc pas : $a5$.)

• Nous avons vu que le périmètre $P$ d’un carré de côté $c$ est égal à :
  $P=4\times c=4c$.
• Que vaut le périmètre d’un carré de côté $\purple{c=6\ \text{cm}}$ ?

$$\begin{aligned} P&=4\purple c \\ &=4\times \purple 6 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en remplaçant la lettre par sa valeur]}}} \\ &=24 \end{aligned}$$

• Le périmètre d’un carré de côté $4\ \text{cm}$ vaut $24\ \text{cm}$.
• Chez notre fleuriste, le coût $c$ de $r$ roses livrées s’exprime ainsi :
  $c=2\times r+10=2r+10$.
• Ismaël a commandé un bouquet de $\pink{27}$ roses à livrer chez lui. Combien va-t-il payer ?

$$\begin{aligned} c&=2\pink r+10 \\ &=2\times \pink{27}+10 \\ &=54+10 \\ &=64 \end{aligned}$$

• Ismaël paiera $64\ \text{euros}$ ses $27$ roses livrées.

• Calculons $4$ au carré :

$$4^2=4\times 4=16$$

• Le carré de $4$ vaut $16$.
• Calculons $5$ au cube :

$$5^3=5\times 5\times 5=125$$

• Le cube de $5$ vaut $125$.

$\underbrace{4+5}_{\text{membre de gauche}}=\underbrace{3\times3}_{\text{membre de droite}}$

Considérons l’égalité : $5+x=8$.

• Elle est vraie pour $x=3$.
  En effet : $5+3=8$.
• Elle est fausse pour $x=4$.
  En effet : $5+4=9$, et bien sûr : $9\neq 8$ !

Considérons l’égalité $5x-3=6+2x$.

• Testons-la pour $\green{x=3}$.
• Le membre de gauche donne :

$$5\green x-3=5\times \green 3-3=15-3=\boxed{12}$$

• Le membre de droite donne :

$$6+2\green x=6+2\times\green 3=6+6=\boxed{12}$$

• L’égalité est vraie pour $\green {x=3}$.
• Testons l’égalité maintenant pour $\red{x=4}$.
• Le membre de gauche donne :

$$5\red x-3=5\times \red 4-3=20-3=\boxed{17}$$

• Le membre de droite donne :

$$6+2\red x=6+2\times\red 4=6+8=\boxed{14}$$

• L’égalité est fausse pour $\red {x=4}$.

On cherche à calculer, le plus rapidement possible et sans calculatrice, les produits : $13\times 102$ et $17\times 99$.

$$\begin{aligned} 13\times 102&=\red{13}\times (\purple{100}+\orange 2) \\ &=\red{13}\times \purple{100}+\red {13}\times \orange 2 \\ &=1\,300+26 \\ &=1\,326\\ \\ 17\times 999&=\red{17}\times (\purple {1\,000}-\orange 1) \\ &=\red{17}\times \purple{1\,000}-\red{17}\times \orange 1 \\ &=17\,000-17 \\ &=16\,983 \end{aligned}$$

• Réduisons l’expression : $A=2x+7x$.

Nous utilisons la propriété que nous venons de voir :

$$\begin{aligned} A&=\purple 2\red x\green + \orange 7 \red x \\ &=(\purple 2\green +\orange 7)\red x \\ &=9\red x \end{aligned}$$

• Réduisons l’expression : $B=5y-3y$.

Toujours avec la propriété :

$$\begin{aligned} B&=\purple 5\red y\green - \orange 3 \red y \\ &=(\purple 5\green -\orange 3)\red y \\ &=2\red y \end{aligned}$$

On considère deux nombres $x$ et $y$.
On cherche à réduire l’expression : $C=2,7x-4,9y-3,1x+8y-1,6x$.

On voit qu’il y a des termes avec $x$ et d’autres avec $y$ (comme on reconnaîtrait des abricots et des bananes mélangés).

• Mettons-les dans des couleurs différentes pour les différencier :

$$C=\pink{2,7x}-\blue{4,9y}-\pink{3,1x}+\blue{8y}-\pink{1,6x}$$

On sait qu’on peut ici modifier l’ordre des termes et les grouper différemment (comme on mettrait les abricots ensemble et les bananes ensembles).

• On peut donc écrire :

$$C=\pink{2,7x}-\pink{3,1x}-\pink{1,6x}+\blue{8y}-\blue{4,9y}$$

On peut maintenant utiliser la propriété que nous avons vue pour réduire l’expression (comme on calculerait le total des abricots et celui des bananes après les avoir rassemblés).

• On obtient ainsi :

$$\begin{aligned} C&=\pink{2,7x}-\pink{3,1x}-\pink{1,6x}+\blue{8y}-\blue{4,9y} \\ &=\pink{(2,7-3,1-1,6)x}+\blue{(8-4,9)y} \\ &=\pink{-2x}+\blue{3,1y} \end{aligned}$$

On ne peut pas davantage simplifier l’expression.

• On a fini de réduire l’expression $C$ :

$$\boxed{C=-2x+3,1y}$$

Là aussi, avec la pratique, vous n’aurez pas à tout détailler et pourrez réduire directement l’expression $C$. Toutefois, si les termes sont nombreux, il est plus prudent de prendre son temps, pour éviter toute erreur de calcul.

Le petit tableau suivant donne les nombres pairs, impairs et multiples de $3$ correspondant à quelques valeurs de $n$.