Le calcul littéral : expressions et transformations

• Le périmètre $P$ d’un carré de côté $c$ est donné par la formule :

$$P=4\times c$$

• Chez un fleuriste, une rose coûte $2\ \text{euros}$ et la livraison à domicile, quel que soit le nombre de roses, coûte $10\ \text{euros}$.
• $r$ représente le nombre de roses contenues dans un bouquet et $C$ est le coût de ce bouquet livré à domicile.
• L’énoncé de ce problème se traduit par l’égalité :

$$C=2\times r+10$$

Si $x$ désigne un nombre :

• son double s’écrit $2\times x$ ;
• son triple s’écrit $3\times x$ ;
• son carré s’écrit $x^2$ ;
• son successeur s’écrit $x+1$ ;
• son prédécesseur s’écrit $x-1$.

• Le produit $3\times a$ s’écrit plus simplement $3a$ :
  $3\times a=3 a$.
• Le produit $a\times b$ s’écrit plus simplement $ab$ :
  $a \times b=ab$.
• Le produit $7\times(x+2)$ s’écrit plus simplement $7(x+2)$ :
  $7\times(x+2)=7(x+2)$.
• $0\times a=0$ (plutôt que $0a$).
• $1\times a=a$ (plutôt que $1a$).
• $a\times 5=5 a$ (on met toujours le nombre avant la lettre, on n’écrira donc pas : $a5$.)

Dans l’expression :

$$3x+5$$

l’opération effectuée en dernier est une addition.

L’expression $3x+5$ est donc une somme.

Dans l’expression :

$$3x-5$$

l’opération effectuée en dernier est une soustraction.

L’expression $3x-5$ est donc une différence.

Dans l’expression :

$$3(x+5)$$

l’opération effectuée en dernier est une multiplication.

L’expression $3(x+5)$ est donc un produit.

• Nous avons vu que le périmètre $P$ d’un carré de côté $c$ est égal à :
  $P=4\times c=4c$.
• Que vaut le périmètre d’un carré de côté $\purple{c=6\ \text{cm}}$ ?

$$\begin{aligned} P&=4\purple c \\ &=4\times \purple 6 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en remplaçant la lettre par sa valeur]}}} \\ &=24 \end{aligned}$$

• Le périmètre d’un carré de côté $6\ \text{cm}$ vaut $24\ \text{cm}$.
• Chez notre fleuriste, le coût $C$ de $r$ roses livrées s’exprime ainsi :
  $C=2\times r+10=2r+10$.
• Ismaël a commandé un bouquet de $\pink{27}$ roses à livrer chez lui. Combien va-t-il payer ?

$$\begin{aligned} C&=2\pink r+10 \\ &=2\times \pink{27}+10 \\ &=54+10 \\ &=64 \end{aligned}$$

• Ismaël paiera $64\ \text{euros}$ ses $27$ roses livrées.

Développons :

$$3(x+4)$$

En utilisant la distributivité :

$$3(x+4)=3\times x+3\times4=3x+12$$

Donc :

$$3(x+4)=3x+12$$

Factorisons :

$$3x+12$$

On remarque que $3$ est un facteur commun :

$$3x+12=3\times x+3\times4$$

Donc :

$$3x+12=3(x+4)$$

• Réduisons l’expression : $A=2x+7x$.

Nous utilisons la propriété que nous venons de voir :

$$\begin{aligned} A&=\purple 2\red x\green + \orange 7 \red x \\ &=(\purple 2\green +\orange 7)\red x \\ &=9\red x \end{aligned}$$

• Réduisons l’expression : $B=5y-3y$.

Toujours avec la propriété :

$$\begin{aligned} B&=\purple 5\red y\green - \orange 3 \red y \\ &=(\purple 5\green -\orange 3)\red y \\ &=2\red y \end{aligned}$$

Considérons deux nombres $x$ et $y$.
Nous cherchons à réduire l’expression : $C=2,7x-4,9y-3,1x+8y-1,6x$.

Nous voyons qu’il y a des termes avec $x$ et d’autres avec $y$ (comme on reconnaîtrait des abricots et des bananes mélangés).

• Mettons-les dans des couleurs différentes pour les différencier :

$$C=\pink{2,7x}-\blue{4,9y}-\pink{3,1x}+\blue{8y}-\pink{1,6x}$$

Nous savons que nous pouvons ici modifier l’ordre des termes et les grouper différemment (comme on mettrait les abricots ensemble et les bananes ensembles).

• Nous pouvons donc écrire :

$$C=\pink{2,7x}-\pink{3,1x}-\pink{1,6x}+\blue{8y}-\blue{4,9y}$$

Nous pouvons maintenant utiliser la propriété que nous avons vue pour réduire l’expression (comme on calculerait le total des abricots et celui des bananes après les avoir rassemblés).

• Nous obtenons ainsi :

$$\begin{aligned} C&=\pink{2,7x}-\pink{3,1x}-\pink{1,6x}+\blue{8y}-\blue{4,9y} \\ &=\pink{(2,7-3,1-1,6)x}+\blue{(8-4,9)y} \\ &=\pink{-2x}+\blue{3,1y} \end{aligned}$$

Nous ne pouvons pas davantage simplifier l’expression.

• Nous avons fini de réduire l’expression $C$ :

$$\boxed{C=-2x+3,1y}$$

Là aussi, avec la pratique, vous n’aurez pas à tout détailler et pourrez réduire directement l’expression $C$. Toutefois, si les termes sont nombreux, il est plus prudent de prendre son temps, pour éviter toute erreur de calcul.