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Utiliser le langage littéral et connaître les priorités opératoires

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Introduction :

Dans certaines situations on peut être amené à répéter un même calcul avec différentes valeurs numériques. Pour simplifier la manipulation et l’analyse de ces calculs on utilise alors le langage littéral.
Il faut savoir que dans une expression littérale, une lettre sous-entend plusieurs valeurs numériques.

Dans un premier temps nous verrons ce qu’est l’expression littérale. Puis, dans une deuxième partie nous comment nous l’utilisons. Dans une troisième partie nous aborderons la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction. En quatrième partie nous verrons comment produire une expression littérale. Enfin nous verrons comment tester une égalité.

Expressions littérales

Des nombres et des lettres

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Définition

Expression littérale :

Une expression littérale est une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.

Exemples

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Exemple

  • L’aire $A$ d’un rectangle de longueur $\text L$ et de largeur $\text l$ est donnée par la formule  ; $\text A=\text L\times\text l$
  • Chez un fleuriste, une rose coûte $2$ € et la livraison à domicile coûte $10$ €.
    $n$ est le nombre de roses contenues dans un bouquet et $p$ est le prix de ce bouquet livré à domicile.
    L’énoncé de ce problème se traduit par $\text {p}=10+2\times\text {n}$
  • « Je choisis un nombre $a$. Je le multiplie par $7$. J’ajoute $9$ au produit obtenu. »
    Ce programme de calcul peut-être traduit par l’expression $\text a\times7+9$

Conventions d’écriture

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À retenir

On peut supprimer le signe $\times$ lorsqu’il est suivi d’une lettre ou d’une parenthèse.

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Exemple

  • Le produit $3\times a$ s’écrit plus simplement : $3\times a=3 a$
  • Cette règle ne s’applique pas pour le produit $3\times5$ qui ne peut pas s’écrire $35$ !
    $3\times5\neq35$
  • Le produit $\text a\times\text b$ s’écrit plus simplement $ab$ :
    $a \times b=ab$
  • Le produit $7\times(x+2)$ s’écrit plus simplement $7(x+2)$ :
    $7\times(x+2)=7(x+2)$
  • $0\times a=0$
  • $1\times a=a$ (plutôt que $1a$)
  • $\text a\times5=5\text a$ (plutôt que $a5$)
  • Le produit $a \times a$ s’écrit plus simplement $a^2$ et se lit « au carré ».
  • Le produits $a \times a\times a$ s’écrit plus simplement $a^3$ et se lit « au cube ».
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Attention

Ne pas confondre $a^2$ et $2a$ !
$a^2=a \times a$ alors que $2a=2\times a=a+ a$

Utiliser une expression littérale

Définition

bannière à retenir

À retenir

Utiliser une expression littérale c’est remplacer dans cette expression une ou plusieurs lettres par des nombres.

Exemple

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Exemple

Lors d’un contrôle, un professeur de langue vivante attribue une note d’écrit $e$ de coefficient $2$ et une note d’oral $o$ de coefficient $3$.
Pour calculer la note finale $n$, il applique la formule $n= \dfrac{2 e+3 o}{2+3}$

  Tom Laure
Écrit 9 13
Oral 15 10

Calculons la note finale de Tom :
$\text n= \dfrac{2\times9+3\times15}{5}=12,6$

  • Quand on remplace les lettres par des nombres, il faut penser à faire apparaître les signes $\times$ nécessaires.

Calculons la note finale de Laure :
$\text n= \dfrac{2\times13+3\times10}{5}=11,2$

Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction

Règle de distributivité

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Propriété

Pour tous les nombres $k$, $a$ et $b$, on a :
$ k\times(a+ b)=\text k\times a+ k\times b$
$ k\times(a- b)=k\times a- k\times b$
On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la multiplication. Selon la convention d’écriture, on écrit plus simplement :
$k(a+b)=ka+ kb$
$k(a- b)=ka-kb$

Développer une expression

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Définition

Développer une expression :

Développer une expression écrite sous forme d’un produit c’est en donner une autre écriture sous forme d’une somme ou d’une différence.

$$\underbrace{\text {produit}\rightarrow\text{somme}}_{\textstyle k(a+ b) = ka+ kb}$$

$$\underbrace{\text {produit}\rightarrow\text{différence}}_{\textstyle\text k(a-b) = ka-kb}$$

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Exemple

  • Développons $A=3(x+2)$
  • Multiplions par $3$ chaque terme de la somme $(x+2)$ :
    $A=3\times x+3\times2$
  • Simplifions l’écriture :
    $A=3x+6$
  • Développons $B=7(m-3)$
  • Multiplions par $7$ chaque terme de la différence $(m-3)$ :
    $B=7\times m-7\times3$
  • Simplifions l’écriture :
    $B=7 m-21$

Factoriser une expression

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Définition

Factoriser une expression :

Factoriser une expression écrite sous forme d’une somme ou d’une différence, c’est en donner une autre écriture sous forme d’un produit.

$$\underbrace{\text {somme}\rightarrow\text{produit}}_{\textstyle ka+ kb=\text k(a+ b) }$$ $$\underbrace{\text {différence}\rightarrow\text{produit}}_{\textstyle ka-k b= k(a- b)}$$

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Exemple

  • Factorisons $C=3x+xy$ :
  • On remarque que $x$ est un facteur commun à $3x$ et $xy$ ;
  • $C=x \times(3+y)$
  • $C=x(3+y)$ $\longleftarrow$ on simplifie l'écriture.
  • Nous allons à présent factoriser $D= 5x+20$
  • $D= 5\times x+5\times4$ $\longleftarrow$ on remplace $20$ par $5\times4$.
  • On remarque que $5$ est un facteur commun à $5\times x$ et $5\times4$ ;
  • $D= 5\times (x+4)$ $\longleftarrow$ on factorise par $5$ l’expression ;
  • $D= 5(x+4)$ $\longleftarrow$ on simplifie l’écriture.

Utiliser la distributivité pour calculer facilement

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Exemple

  • Calculons mentalement $E=28\times1001$ :
  • On remarque que $1001=1000+1$
  • Soit $E=28\times(1000+1)$
  • Développons :
    $\begin{aligned}E&=28\times1000+28\times1\\ E&=28000+28\\ E&=28028\end {aligned}$
  • Calculons mentalement $F=45\times98$ ;
  • Remarquons que $F=45\times(100-2)$
  • Développons :
    $\begin{aligned}F&=45\times100-45\times2\\ F&=4500-90\\ F&=4410\end{aligned}$
  • Calculons mentalement $G=19\times4+19\times6$
  • On remarque que le facteur commun est $19$
  • Factorisons :
    $\begin{aligned}G&=19\times(4+6)\\ G&=19\times10\\ G&=190\end{aligned}$
  • Calculons mentalement $H=4,5\times8-8\times2,5$
  • On remarque que le facteur commun est $8$
  • Factorisons :
    $\begin{aligned}H&=8\times(4,5-2,5)\\ H&=8\times2\\ H&=16\end{aligned}$

Produire une expression littérale

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Exemple

Voici deux programmes de calcul :

Programme 1 :

  • Choisir un nombre
  • Multiplier par $4$
  • Soustraire $10$

Programme 2 :

  • Choisir un nombre
  • Soustraire $2,5$
  • Multiplier par $4$
  • Calculons les nombres obtenus avec ces deux programmes lorsqu’on choisit au départ $5$ puis $9,5$
    Que remarque-t-on ?

Programme 1 :

  • $5\:^{\underrightarrow{\times4}}\:20\:^{\underrightarrow{-10}}\:10$
  • $9,5\:^{\underrightarrow{\times4}}\:38\:^{\underrightarrow{-10}}\:28$

Programme 2 :

  • $5\:^{\underrightarrow{-2,5}}\:2,5\:^{\underrightarrow{\times4}}\:10$
  • $9,5\:^{\underrightarrow{-2,5}}\:7\:^{\underrightarrow{\times4}}\:28$
  • Ces deux programmes donnent les mêmes résultats pour les deux nombres choisis, $5$ et $9,5$
  • Cette remarque est-elle vraie pour n’importe quel nombre choisi au départ ?
  • Justification :

Choisissons un nombre de départ $x$.

  • Programme 1 :
    $x\:^{\underrightarrow{\times4}}\:x\times 4\:^{\underrightarrow{-10}}\:x\times4-10$ ou $4x-10$

  • Programme 2 :
    $x\:^{\underrightarrow{-2,5}}\:x-2,5\:^{\underrightarrow{\times4}}\:4\times(x-2,5)$

Or, en développant $4\times(x-2,5)$, on obtient : $4\times x-4\times2,5$ ou $4x-10$.
Donc quel que soit le nombre choisi au départ, nous obtenons le même résultat avec chacun des programmes.

Tester une égalité

Définition

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Définition

Égalité :

Une égalité est une écriture constituée de deux expressions (ou membres) séparées par le signe « $=$ ».

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Exemple

$\underbrace{4+5}_{\text{membre de gauche}}=\underbrace{3\times3}_{\text{membre de droite}}$

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À retenir

Une égalité où interviennent des expressions littérales peut être vraie pour certaines valeurs affectées aux lettres et fausse pour d’autres.

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Exemple

L’égalité $5+x=8$

  • est vraie pour $x=3$, en effet $5+3=8$
  • est fausse pour $x=4$, en effet $5+4\neq8$

Tester une égalité

Méthode :

Pour tester si une égalité est vraie pour des valeurs numériques attribuées aux lettres :

  • on calcule la valeur du membre de gauche ;
  • on calcule la valeur du membre de droite ;
  • on observe l’égalité ou non des deux valeurs obtenues et on conclut.
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Exemple

Considérons l’égalité $5x-3=6+2x$.
Si nous remplaçons $x$ par $3$ :

  • le membre de gauche donne $5\times 3-3=15-3=12$ ;
  • le membre de droite donne $6+2\times3=6+6=12$ ; Donc l’égalité est vraie pour $x=3$

Conclusion :

Avec un ordinateur, nous utilisons le tableur pour calculer la valeur d’une expression littérale, pour faire fonctionner un programme de calcul ou pour tester des égalités. Les calculs sont ainsi automatisés.