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Utiliser le langage littéral et connaître les priorités opératoires

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Introduction :

Dans certaines situations on peut être amené à répéter un même calcul avec différentes valeurs numériques. Pour simplifier la manipulation et l’analyse de ces calculs on utilise alors le langage littéral.
Il faut savoir que dans une expression littérale, une lettre sous-entend plusieurs valeurs numériques.

Dans un premier temps nous verrons ce qu’est l’expression littérale. Puis, dans une deuxième partie nous comment nous l’utilisons. Dans une troisième partie nous aborderons la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction. En quatrième partie nous verrons comment produire une expression littérale. Enfin nous verrons comment tester une égalité.

Expressions littérales

Des nombres et des lettres

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Définition

Expression littérale :

Une expression littérale est une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.

Exemples

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Exemple

  • L’aire AA d’un rectangle de longueur L\text L et de largeur l\text l est donnée par la formule  ; A=L×l\text A=\text L\times\text l
  • Chez un fleuriste, une rose coûte 22 € et la livraison à domicile coûte 1010 €.
    nn est le nombre de roses contenues dans un bouquet et pp est le prix de ce bouquet livré à domicile.
    L’énoncé de ce problème se traduit par p=10+2×n\text {p}=10+2\times\text {n}
  • « Je choisis un nombre aa. Je le multiplie par 77. J’ajoute 99 au produit obtenu. »
    Ce programme de calcul peut-être traduit par l’expression a×7+9\text a\times7+9

Conventions d’écriture

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À retenir

On peut supprimer le signe ×\times lorsqu’il est suivi d’une lettre ou d’une parenthèse.

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Exemple

  • Le produit 3×a3\times a s’écrit plus simplement : 3×a=3a3\times a=3 a
  • Cette règle ne s’applique pas pour le produit 3×53\times5 qui ne peut pas s’écrire 3535 !
    3×5353\times5\neq35
  • Le produit a×b\text a\times\text b s’écrit plus simplement abab :
    a×b=aba \times b=ab
  • Le produit 7×(x+2)7\times(x+2) s’écrit plus simplement 7(x+2)7(x+2) :
    7×(x+2)=7(x+2)7\times(x+2)=7(x+2)
  • 0×a=00\times a=0
  • 1×a=a1\times a=a (plutôt que 1a1a)
  • a×5=5a\text a\times5=5\text a (plutôt que a5a5)
  • Le produit a×aa \times a s’écrit plus simplement a2a^2 et se lit « au carré ».
  • Le produits a×a×aa \times a\times a s’écrit plus simplement a3a^3 et se lit « au cube ».
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Attention

Ne pas confondre a2a^2 et 2a2a !
a2=a×aa^2=a \times a alors que 2a=2×a=a+a2a=2\times a=a+ a

Utiliser une expression littérale

Définition

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À retenir

Utiliser une expression littérale c’est remplacer dans cette expression une ou plusieurs lettres par des nombres.

Exemple

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Exemple

Lors d’un contrôle, un professeur de langue vivante attribue une note d’écrit ee de coefficient 22 et une note d’oral oo de coefficient 33.
Pour calculer la note finale nn, il applique la formule n=2e+3o2+3n= \dfrac{2 e+3 o}{2+3}

  Tom Laure
Écrit 9 13
Oral 15 10

Calculons la note finale de Tom :
n=2×9+3×155=12,6\text n= \dfrac{2\times9+3\times15}{5}=12,6

  • Quand on remplace les lettres par des nombres, il faut penser à faire apparaître les signes ×\times nécessaires.

Calculons la note finale de Laure :
n=2×13+3×105=11,2\text n= \dfrac{2\times13+3\times10}{5}=11,2

Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction

Règle de distributivité

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Propriété

Pour tous les nombres kk, aa et bb, on a :
k×(a+b)=k×a+k×b k\times(a+ b)=\text k\times a+ k\times b
k×(ab)=k×ak×b k\times(a- b)=k\times a- k\times b
On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la multiplication. Selon la convention d’écriture, on écrit plus simplement :
k(a+b)=ka+kbk(a+b)=ka+ kb
k(ab)=kakbk(a- b)=ka-kb

Développer une expression

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Définition

Développer une expression :

Développer une expression écrite sous forme d’un produit c’est en donner une autre écriture sous forme d’une somme ou d’une différence.

produitsommek(a+b)=ka+kb\underbrace{\text {produit}\rightarrow\text{somme}}_{\textstyle k(a+ b) = ka+ kb}

produitdiffeˊrencek(ab)=kakb\underbrace{\text {produit}\rightarrow\text{différence}}_{\textstyle\text k(a-b) = ka-kb}

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Exemple

  • Développons A=3(x+2)A=3(x+2)
  • Multiplions par 33 chaque terme de la somme (x+2)(x+2) :
    A=3×x+3×2A=3\times x+3\times2
  • Simplifions l’écriture :
    A=3x+6A=3x+6
  • Développons B=7(m3)B=7(m-3)
  • Multiplions par 77 chaque terme de la différence (m3)(m-3) :
    B=7×m7×3B=7\times m-7\times3
  • Simplifions l’écriture :
    B=7m21B=7 m-21

Factoriser une expression

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Définition

Factoriser une expression :

Factoriser une expression écrite sous forme d’une somme ou d’une différence, c’est en donner une autre écriture sous forme d’un produit.

sommeproduitka+kb=k(a+b)\underbrace{\text {somme}\rightarrow\text{produit}}{\textstyle ka+ kb=\text k(a+ b) } diffeˊrenceproduitkakb=k(ab)\underbrace{\text {différence}\rightarrow\text{produit}}{\textstyle ka-k b= k(a- b)}

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Exemple

  • Factorisons C=3x+xyC=3x+xy :
  • On remarque que xx est un facteur commun à 3x3x et xyxy ;
  • C=x×(3+y)C=x \times(3+y)
  • C=x(3+y)C=x(3+y) \longleftarrow on simplifie l'écriture.
  • Nous allons à présent factoriser D=5x+20D= 5x+20
  • D=5×x+5×4D= 5\times x+5\times4 \longleftarrow on remplace 2020 par 5×45\times4.
  • On remarque que 55 est un facteur commun à 5×x5\times x et 5×45\times4 ;
  • D=5×(x+4)D= 5\times (x+4) \longleftarrow on factorise par 55 l’expression ;
  • D=5(x+4)D= 5(x+4) \longleftarrow on simplifie l’écriture.

Utiliser la distributivité pour calculer facilement

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Exemple

  • Calculons mentalement E=28×1001E=28\times1001 :
  • On remarque que 1001=1000+11001=1000+1
  • Soit E=28×(1000+1)E=28\times(1000+1)
  • Développons :
    E=28×1000+28×1E=28000+28E=28028\begin{aligned}E&=28\times1000+28\times1\ E&=28000+28\ E&=28028\end {aligned}
  • Calculons mentalement F=45×98F=45\times98 ;
  • Remarquons que F=45×(1002)F=45\times(100-2)
  • Développons :
    F=45×10045×2F=450090F=4410\begin{aligned}F&=45\times100-45\times2\ F&=4500-90\ F&=4410\end{aligned}
  • Calculons mentalement G=19×4+19×6G=19\times4+19\times6
  • On remarque que le facteur commun est 1919
  • Factorisons :
    G=19×(4+6)G=19×10G=190\begin{aligned}G&=19\times(4+6)\ G&=19\times10\ G&=190\end{aligned}
  • Calculons mentalement H=4,5×88×2,5H=4,5\times8-8\times2,5
  • On remarque que le facteur commun est 88
  • Factorisons :
    H=8×(4,52,5)H=8×2H=16\begin{aligned}H&=8\times(4,5-2,5)\ H&=8\times2\ H&=16\end{aligned}

Produire une expression littérale

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Exemple

Voici deux programmes de calcul :

Programme 1 :

  • Choisir un nombre
  • Multiplier par 44
  • Soustraire 1010

Programme 2 :

  • Choisir un nombre
  • Soustraire 2,52,5
  • Multiplier par 44
  • Calculons les nombres obtenus avec ces deux programmes lorsqu’on choisit au départ 55 puis 9,59,5
    Que remarque-t-on ?

Programme 1 :

  • 5×42010105\:^{\underrightarrow{\times4}}\:20\:^{\underrightarrow{-10}}\:10
  • 9,5×43810289,5\:^{\underrightarrow{\times4}}\:38\:^{\underrightarrow{-10}}\:28

Programme 2 :

  • 52,52,5×4105\:^{\underrightarrow{-2,5}}\:2,5\:^{\underrightarrow{\times4}}\:10
  • 9,52,57×4289,5\:^{\underrightarrow{-2,5}}\:7\:^{\underrightarrow{\times4}}\:28
  • Ces deux programmes donnent les mêmes résultats pour les deux nombres choisis, 55 et 9,59,5
  • Cette remarque est-elle vraie pour n’importe quel nombre choisi au départ ?
  • Justification :

Choisissons un nombre de départ xx.

  • Programme 1 :
    x×4x×410x×410x\:^{\underrightarrow{\times4}}\:x\times 4\:^{\underrightarrow{-10}}\:x\times4-10 ou 4x104x-10

  • Programme 2 :
    x2,5x2,5×44×(x2,5)x\:^{\underrightarrow{-2,5}}\:x-2,5\:^{\underrightarrow{\times4}}\:4\times(x-2,5)

Or, en développant 4×(x2,5)4\times(x-2,5), on obtient : 4×x4×2,54\times x-4\times2,5 ou 4x104x-10.
Donc quel que soit le nombre choisi au départ, nous obtenons le même résultat avec chacun des programmes.

Tester une égalité

Définition

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Définition

Égalité :

Une égalité est une écriture constituée de deux expressions (ou membres) séparées par le signe « == ».

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Exemple

4+5membre de gauche=3×3membre de droite\underbrace{4+5}{\text{membre de gauche}}=\underbrace{3\times3}{\text{membre de droite}}

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À retenir

Une égalité où interviennent des expressions littérales peut être vraie pour certaines valeurs affectées aux lettres et fausse pour d’autres.

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Exemple

L’égalité 5+x=85+x=8

  • est vraie pour x=3x=3, en effet 5+3=85+3=8
  • est fausse pour x=4x=4, en effet 5+485+4\neq8

Tester une égalité

Méthode :

Pour tester si une égalité est vraie pour des valeurs numériques attribuées aux lettres :

  • on calcule la valeur du membre de gauche ;
  • on calcule la valeur du membre de droite ;
  • on observe l’égalité ou non des deux valeurs obtenues et on conclut.
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Exemple

Considérons l’égalité 5x3=6+2x5x-3=6+2x.
Si nous remplaçons xx par 33 :

  • le membre de gauche donne 5×33=153=125\times 3-3=15-3=12 ;
  • le membre de droite donne 6+2×3=6+6=126+2\times3=6+6=12 ; Donc l’égalité est vraie pour x=3x=3

Conclusion :

Avec un ordinateur, nous utilisons le tableur pour calculer la valeur d’une expression littérale, pour faire fonctionner un programme de calcul ou pour tester des égalités. Les calculs sont ainsi automatisés.