Le calcul littéral
Introduction :
En mathématiques, vous l’avez vu jusqu’ici, on utilise souvent des lettres pour représenter des nombres, par exemple dans les formules pour calculer le périmètre ou l’aire d’un rectangle, d’un carré, d’un cercle, ou encore pour donner des propriétés, comme celles que nous avons vues pour additionner et soustraire des fractions.
Ce langage, qu’on qualifie de littéral, est fondamental dans beaucoup de domaines, en maths, en physique, en informatique, etc.
Dans ce cours, après avoir défini ce que sont des expressions littérales, nous montrerons comment en simplifier l’écriture et les utiliser. Nous testerons ensuite des égalités. Enfin, nous verrons comment réduire certaines expressions littérales. Nous pourrons alors démontrer des propriétés.
Expressions littérales
Expressions littérales
Des nombres et des lettres
Des nombres et des lettres
Définition
Expression littérale :
Une expression littérale est une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.
Exemple
- Le périmètre $P$ d’un carré de côté $c$ est donné par la formule :
$$P=4\times c$$
- Chez un fleuriste, une rose coûte $2\ \text{euros}$ et la livraison à domicile, quel que soit le nombre de roses, coûte $10\ \text{euros}$.
$r$ représente le nombre de roses contenues dans un bouquet et $c$ est le coût de ce bouquet livré à domicile.
L’énoncé de ce problème se traduit par :
$$c=2\times r+10$$
Dans ces deux exemples, on voit que le périmètre d’un carré dépend de la longueur de ses côtés, ou que le coût d’un bouquet dépend du nombre de roses commandées.
- $c$ et $r$ sont appelées variables.
Dans certains cas, on peut simplifier une expression littérale en appliquant la convention suivante.
À retenir
On peut ne pas mettre le signe $\times$ lorsqu’il est suivi d’une lettre ou d’une parenthèse.
Exemple
- Le produit $3\times a$ s’écrit plus simplement $3a$ :
$3\times a=3 a$. - Le produit $a\times b$ s’écrit plus simplement $ab$ :
$a \times b=ab$. - Le produit $7\times(x+2)$ s’écrit plus simplement $7(x+2)$ :
$7\times(x+2)=7(x+2)$. - $0\times a=0$ (plutôt que $0a$).
- $1\times a=a$ (plutôt que $1a$).
- $a\times 5=5 a$ (on met toujours le nombre avant la lettre, on n’écrira donc pas : $a5$.)
Attention
On ne peut pas supprimer le signe de multiplication s’il est suivi d’un nombre.
Par exemple : $3\times 5\neq 35$ !
Utiliser une expression littérale
Utiliser une expression littérale
À retenir
Pour utiliser une expression littérale avec des valeurs, on remplace dans cette expression les lettres par leurs valeurs respectives.
Reprenons les exemples du début de ce cours, avec le périmètre d’un carré et le prix de roses livrées à domicile.
Exemple
- Nous avons vu que le périmètre $P$ d’un carré de côté $c$ est égal à :
$P=4\times c=4c$. - Que vaut le périmètre d’un carré de côté $\purple{c=6\ \text{cm}}$ ?
$$\begin{aligned} P&=4\purple c \\ &=4\times \purple 6 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en remplaçant la lettre par sa valeur]}}} \\ &=24 \end{aligned}$$
- Le périmètre d’un carré de côté $6\ \text{cm}$ vaut $24\ \text{cm}$.
- Chez notre fleuriste, le coût $c$ de $r$ roses livrées s’exprime ainsi :
$c=2\times r+10=2r+10$. - Ismaël a commandé un bouquet de $\pink{27}$ roses à livrer chez lui. Combien va-t-il payer ?
$$\begin{aligned} c&=2\pink r+10 \\ &=2\times \pink{27}+10 \\ &=54+10 \\ &=64 \end{aligned}$$
- Ismaël paiera $64\ \text{euros}$ ses $27$ roses livrées.
Carré et cube d’un nombre
Carré et cube d’un nombre
Définition
Nombre au carré, au cube :
Soit $a$ un nombre.
- Le produit $a \times a$ (autrement dit, le produit de $a$ par lui-même) s’écrit plus simplement $a^2$ :
$a\times a=a^2$. - L’expression se lit : « $a$ au carré ».
On dit aussi que $a^2$ est le carré du nombre $a$. - Le produits $a \times a\times a$ s’écrit plus simplement $a^3$ :
$a\times a\times a=a^3$. - L’expression se lit « $a$ au cube ».
On dit aussi que $a^3$ est le cube du nombre $a$.
Exemple
- Calculons $4$ au carré :
$$4^2=4\times 4=16$$
- Le carré de $4$ vaut $16$.
- Calculons $5$ au cube :
$$5^3=5\times 5\times 5=125$$
- Le cube de $5$ vaut $125$.
Attention
Ne pas confondre $a^2$ et $2a$, ni $a^3$ et $3a$ !
- $a^2=a \times a$ ;
- $a^3=a\times a\times a$.
Alors que :
- $2a=2\times a$ ;
- $3a=3\times a$.
Par exemple, avec $a=\blue 5$ :
$$\begin{aligned} \blue 5^2=\blue 5\times \blue 5=25 \quad &\orange{\neq} \quad 2\times \blue 5=10 \\ \blue 5^3=\blue 5\times \blue 5\times \blue 5=125\quad &\orange \neq \quad 3\times \blue 5=15 \end{aligned}$$
Tester une égalité
Tester une égalité
Définition
Définition
Définition
Égalité :
Une égalité est une écriture constituée de deux expressions (ou membres) séparées par le signe « $=$ ».
- L’expression à gauche du signe « $=$ » est appelée membre de gauche, celle à droite est appelée membre de droite.
Exemple
$\underbrace{4+5}_{\text{membre de gauche}}=\underbrace{3\times3}_{\text{membre de droite}}$
À retenir
Une égalité où interviennent des expressions littérales peut être vraie pour certaines valeurs attribuées aux lettres et fausse pour d’autres.
Exemple
Considérons l’égalité : $5+x=8$.
- Elle est vraie pour $x=3$.
En effet : $5+3=8$. - Elle est fausse pour $x=4$.
En effet : $5+4=9$, et bien sûr : $9\neq 8$ !
Tester une égalité
Tester une égalité
À retenir
Méthode : Comment tester une égalité
Pour tester si une égalité est vraie pour des valeurs numériques attribuées aux lettres :
- on calcule, d’une part, la valeur du membre de gauche, en y remplaçant les lettres par leurs valeurs ;
- on calcule, d’autre part, la valeur du membre de droite, en y remplaçant les lettres par leurs valeurs ;
- on regarde si les deux résultats obtenus sont égaux ou non, et on conclut.
Exemple
Considérons l’égalité $5x-3=6+2x$.
- Testons-la pour $\green{x=3}$.
- Le membre de gauche donne :
$$5\green x-3=5\times \green 3-3=15-3=\boxed{12}$$
- Le membre de droite donne :
$$6+2\green x=6+2\times\green 3=6+6=\boxed{12}$$
- L’égalité est vraie pour $\green {x=3}$.
- Testons l’égalité maintenant pour $\red{x=4}$.
- Le membre de gauche donne :
$$5\red x-3=5\times \red 4-3=20-3=\boxed{17}$$
- Le membre de droite donne :
$$6+2\red x=6+2\times\red 4=6+8=\boxed{14}$$
- L’égalité est fausse pour $\red {x=4}$.
Réduire une expression
Réduire une expression
Règle de distributivité
Règle de distributivité
Donnons pour commencer cette partie une propriété importante.
Propriété
Distributivité simple :
Quels que soient les nombres $k$, $a$ et $b$, on a :
$$\begin{aligned} \red k(\purple a+ \orange b)&=\red k \purple a+ \red k \orange b \\ \red k(\purple a- \orange b)&=\red k \purple a- \red k \orange b \end{aligned}$$
Distribution de k à a et b
Cette propriété permet, en fait, de distribuer le facteur $\red k$ aux termes $\purple a$ et $\orange b$ de l’addition entre parenthèses.
- On dit ainsi que la multiplication est distributive par rapport à l’addition.
D’où le nom de distributivité.
Prenons un exemple d’application, qui nous montrera aussi que cette propriété peut servir pour calculer mentalement.
Exemple
On cherche à calculer, le plus rapidement possible et sans calculatrice, les produits : $13\times 102$ et $17\times 999$.
$$\begin{aligned} 13\times 102&=\red{13}\times (\purple{100}+\orange 2) \\ &=\red{13}\times \purple{100}+\red {13}\times \orange 2 \\ &=1\,300+26 \\ &=1\,326\\ \\ 17\times 999&=\red{17}\times (\purple {1\,000}-\orange 1) \\ &=\red{17}\times \purple{1\,000}-\red{17}\times \orange 1 \\ &=17\,000-17 \\ &=16\,983 \end{aligned}$$
Dans la propriété de distributivité que nous avons donnée, nous avons précisé : « Quels que soient les nombres $k$, $a$ et $b$ ».
Cela signifie que les égalités données, contrairement à celles que nous avons évoquées dans la deuxième partie, sont universellement vraies : on peut remplacer les lettres par les nombres que l’on veut, elles resteront toujours vraies.
Réduire une expression
Réduire une expression
En cinquième, nous allons principalement nous servir de la distributivité simple pour réduire des expressions littérales, c’est-à-dire les écrire avec le moins de termes possible.
- Pour cela, nous allons écrire la propriété que nous venons de voir sous la forme suivante.
Propriété
Quels que soient les nombres $a$, $b$ et $x$, on a :
$$\begin{aligned} \purple a\red x\green +\orange b\red x&=(\purple a\green+\orange b)\red x \\ \purple a\red x\green -\orange b\red x&=(\purple a\green-\orange b)\red x \end{aligned}$$
Prenons deux exemples simples.
Exemple
- Réduisons l’expression : $A=2x+7x$.
Nous utilisons la propriété que nous venons de voir :
$$\begin{aligned} A&=\purple 2\red x\green + \orange 7 \red x \\ &=(\purple 2\green +\orange 7)\red x \\ &=9\red x \end{aligned}$$
- Réduisons l’expression : $B=5y-3y$.
Toujours avec la propriété :
$$\begin{aligned} B&=\purple 5\red y\green - \orange 3 \red y \\ &=(\purple 5\green -\orange 3)\red y \\ &=2\red y \end{aligned}$$
Astuce
Bien sûr, avec la pratique, vous n’aurez pas à écrire les calculs entre parenthèses, surtout pour des calculs simples, comme avec des entiers. Et, pour mieux se représenter les choses, on peut faire des comparaisons (qui ne sont pas raison).
- Si on a ajouté $2$ abricots à $7$ abricots, on comprend très rapidement qu’on en a $9$ au total :
$$A=7x+2x=9x$$
- Si on a retiré $3$ bananes (on a faim) à un régime de $5$ bananes, on comprend aussi rapidement qu’il en reste $2$ :
$$B=5y-3y=2y$$
Remarquons aussi qu’on a, en particulier et par exemple :
- $x+x=2x$ ;
- en remplaçant la lettre par un nombre : $6+6=2\times 6$ ;
- $x+x+x=3x$ ;
- en remplaçant la lettre par un nombre : $7+7+7=3\times 7$ ;
- $x+x-x=x$ ($x$ et $-x$ sont des nombres opposés, leur somme s’annule, il reste donc un $x$) ;
- en remplaçant la lettre $x$ par un nombre : $9+9-9=9+0=9$.
Continuons à nous entraîner, avec un exemple un peu plus complexe.
Exemple
On considère deux nombres $x$ et $y$.
On cherche à réduire l’expression : $C=2,7x-4,9y-3,1x+8y-1,6x$.
On voit qu’il y a des termes avec $x$ et d’autres avec $y$ (comme on reconnaîtrait des abricots et des bananes mélangés).
- Mettons-les dans des couleurs différentes pour les différencier :
$$C=\pink{2,7x}-\blue{4,9y}-\pink{3,1x}+\blue{8y}-\pink{1,6x}$$
On sait qu’on peut ici modifier l’ordre des termes et les grouper différemment (comme on mettrait les abricots ensemble et les bananes ensembles).
- On peut donc écrire :
$$C=\pink{2,7x}-\pink{3,1x}-\pink{1,6x}+\blue{8y}-\blue{4,9y}$$
On peut maintenant utiliser la propriété que nous avons vue pour réduire l’expression (comme on calculerait le total des abricots et celui des bananes après les avoir rassemblés).
- On obtient ainsi :
$$\begin{aligned} C&=\pink{2,7x}-\pink{3,1x}-\pink{1,6x}+\blue{8y}-\blue{4,9y} \\ &=\pink{(2,7-3,1-1,6)x}+\blue{(8-4,9)y} \\ &=\pink{-2x}+\blue{3,1y} \end{aligned}$$
On ne peut pas davantage simplifier l’expression.
- On a fini de réduire l’expression $C$ :
$$\boxed{C=-2x+3,1y}$$
Là aussi, avec la pratique, vous n’aurez pas à tout détailler et pourrez réduire directement l’expression $C$. Toutefois, si les termes sont nombreux, il est plus prudent de prendre son temps, pour éviter toute erreur de calcul.
Démontrer des propriétés
Démontrer des propriétés
Dans cette partie, nous allons nous servir des expressions littérales et de leurs réductions pour démontrer des propriétés sur la somme de deux ou trois entiers consécutifs.
Pour cela, nous allons commencer par donner ce qu’on appelle les formes générales des nombres pairs, impairs et multiples de $3$.
Nous savons qu’un nombre pair $P$ est un multiple de $2$. Autrement dit, le reste de la division euclidienne de $P$ par $2$ est nul.
- Ainsi, si on note $n$ le quotient (entier), on a :
Division euclidienne d’un nombre pair P par 2
On obtient donc : $\boxed{P=2n}$.
À retenir
Tout nombre pair peut s’écrire sous la forme littérale : $2n$, avec $n$ un entier.
- On dit que $2n$ est la forme générale des nombres pairs.
Nous savons aussi que tout nombre entier positif immédiatement supérieur à un nombre pair est un nombre impair. Or, pour trouver l’entier immédiatement supérieur à un nombre pair $P$, il suffit de lui ajouter $1$ : $P+1$, soit : $2n+1$, en remplaçant le nombre pair $P$ par sa forme générale.
À retenir
Tout nombre impair peut s’écrire sous la forme littérale : $2n+1$, avec $n$ un entier.
- On dit que $2n+1$ est la forme générale des nombres impairs.
Nous pouvons appliquer aux multiples de $3$ la même logique que celle utilisée pour les nombres pairs.
À retenir
Tout multiple de $3$ peut s’écrire sous la forme littérale : $3n$, avec $n$ un entier.
- On dit que $3n$ est la forme générale des multiples de $3$.
Exemple
Le petit tableau suivant donne les nombres pairs, impairs et multiples de $3$ correspondant à quelques valeurs de $n$.
| $\small n$ | $\small 0$ | $\small 1$ | $\small 2$ | $\small 3$ | $\small 4$ | $\small 5$ | $\small 29$ | $\small 333$ | $\small 1\,024$ |
| Nombre pair : $\small 2n$ | $\small 0$ | $\small 2$ | $\small 4$ | $\small 6$ | $\small 8$ | $\small 10$ | $\small 58$ | $\small 666$ | $\small 2\,048$ |
| Nombre impair : $\small 2n+1$ | $\small 1$ | $\small 3$ | $\small 5$ | $\small 7$ | $\small 9$ | $\small 11$ | $\small 59$ | $\small 667$ | $\small 2\,049$ |
| Multiple de $3$ : $\small 3n$ | $\small 0$ | $\small 3$ | $\small 6$ | $\small 9$ | $\small 12$ | $\small 15$ | $\small 87$ | $\small 999$ | $\small 3\,072$ |
Maintenant que nous connaissons les formes générales des nombres pairs et impairs, ainsi que celle des multiples de $3$, donnons deux propriétés, que nous démontrerons ensuite.
Propriété
- La somme de deux entiers consécutifs est toujours impaire.
- La somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$.
Démonstration
- Soit $\green n$ un entier quelconque. L’entier qui le suit immédiatement s’écrit alors : $\purple{n+1}$.
Réduisons leur somme :
$$\green n+\purple{n+1}=2n+1 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $n+n=2n$]}}}$$
Or, nous avons dit plus haut que $2n+1$, avec $n$ un entier, est la forme générale d’un nombre impair.
- La somme de deux entiers consécutifs est toujours impaire.
- Soit $\green n$ un entier quelconque. $\blue{n-1}$ est l’entier qui le précède immédiatement, et $\purple{n+1}$ l’entier qui le suit immédiatement.
Ce sont donc bien trois entiers consécutifs.
Dans une somme, on peut grouper différemment les termes. Nous obtenons ainsi :
$$\begin{aligned} \blue{n-1}+\green n+\purple{n+1}&=(n+n+n)+(-1+1) \\ &=3n \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [on réduit l’expression]}}} \\ \end{aligned}$$
Or, $3n$, avec $n$ un entier, est la forme générale d’un multiple de $3$.
- La somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons eu un premier aperçu de l’importance du langage littéral. Que ce soit pour donner des formules, des propriétés, des démonstrations, et bien d’autres choses encore.
Nous avons aussi vu comment tester des égalités entre expressions littérales, premier pas vers un aspect primordial en sciences : la résolution d’équations, que nous découvrirons en quatrième.