Calcul littéral : quotients, puissances, racines carrées
Introduction :
On parle de langage littéral quand un calcul se compose de chiffres et de lettres. Intégrer des lettres permet de généraliser un problème en prenant en compte la variabilité de certains des paramètres.
Nous allons aborder les règles de calcul pour utiliser ces expressions dites littérales. Une expression littérale est donc une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.
Dans un premier temps, nous aborderons les règles de calcul avec les quotients, puis les puissances et enfin les racines carrées.
Calculs avec des quotients
Calculs avec des quotients
Commençons par donner la propriété suivante.
Propriété
Soit $a$, $b$ et $c$ trois réels, avec $b$ et $c$ non nuls.
Nous avons :
$$\begin{aligned} \dfrac ab &= \dfrac {a\times c}{b\times c} \\ \\ \dfrac ab &= \dfrac {a\div c}{b\div c} \end{aligned}$$
Addition et soustraction de quotients
Addition et soustraction de quotients
Propriété
Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombre réels, avec $c$ et $d$ non nuls.
Nous avons :
$$\begin{aligned} \dfrac ac + \dfrac bd &= \dfrac {ad}{cd}+\dfrac {bc}{cd} = \dfrac {ad+bc}{cd} \\ \\ \dfrac ac - \dfrac bd &= \dfrac {ad}{cd}-\dfrac {bc}{cd} = \dfrac {ad-bc}{cd} \end{aligned}$$
Exemple
Nous cherchons à réduire au même dénominateur l’expression suivante, où $x$ est un réel quelconque différent de $1$ et $-2$ :
$$3-\dfrac 1{x-1}+\dfrac {2x}{x+2}$$
Nous allons choisir comme dénominateur commun (pour rappel : $3=\frac 31$) :
$$1\times (x-1)\times (x+2)=(x-1)(x+2)$$
Nous avons donc :
$$\begin{aligned} 3-\dfrac 1{x-1}+\dfrac {2x}{x+2}&= \dfrac{3\red{(x-1)(x+2)}}{\red{(x-1)(x+2)}}-\dfrac {1\red{(x+2)}}{(x-1)\red{(x+2)}}+\dfrac {2x\red{(x-1)}} {\red{(x-1)}(x+2)} \\ &=\dfrac {3(x-1)(x+2)-(x+2)+2x(x-1)} {(x-1)(x+2)} \\ &=\dfrac {\green{3x^2}+\purple{6x}-\purple{3x}-\blue 6-\purple x-\blue 2+\green{2x^2}-\purple{2x}}{(x-1)(x+2)} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[en développant le numérateur]}}} \\ &=\dfrac {5x^2-8}{(x-1)(x+2)} \end{aligned}$$
- $1$ est une valeur interdite, car :
$$x=1 \Leftrightarrow x-1 =0$$
- Le quotient $\frac 1{x-1}$ n’est alors pas défini.
- $-2$ est aussi une valeur interdite, car :
$$x=-2 \Leftrightarrow x+2=0$$
- Le quotient $\frac {2x}{x+2}$ n’est alors pas défini.
Multiplication de quotients
Multiplication de quotients
Propriété
Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombre réels, avec $c$ et $d$ non nuls.
Nous avons :
$$\dfrac ac\times \dfrac bd= \dfrac{ab}{cd}$$
Exemple
Soit $x$ un réel quelconque, non nul et différent de $1$ :
$$\begin{aligned} \dfrac x{x-1}\times \dfrac {x+2}{2x} &= \dfrac {x\times (x+2)}{(x-1)\times 2x} \\ &=\dfrac {x+2}{2(x-1)} \end{aligned}$$
Division de quotients
Division de quotients
Propriété
Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombre réels, avec $b$, $c$ et $d$ non nuls.
- L’inverse de $\frac bd$ est $\frac db$.
- Et nous avons :
$$\dfrac ac \div \dfrac bd=\dfrac{\frac ac}{\frac bd}=\dfrac ac\times \dfrac db =\dfrac {ad}{bc}$$
Exemple
Soit $x$ un réel quelconque, non nul et différent de $-2$ :
$$\begin{aligned} \dfrac{\frac {x-1}x}{\frac {4x}{x+2}}&=\dfrac {x-1}x\times \dfrac {x+2}{4x} \\ &=\dfrac {(x-1)(x+2)}{4x^2} \end{aligned}$$
Égalité des produits en croix
Égalité des produits en croix
Propriété
Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres réels, avec $c$ et $d$ non nuls.
Nous avons alors :
$$\dfrac ac = \dfrac bd \Leftrightarrow ad=bc$$
- On parle d’égalité des produits en croix.
Calcul avec des puissances
Calcul avec des puissances
Définition
Puissance d’un nombre :
- Soit $a$ un nombre réel et $n$ un entier naturel non nul.
Le nombre $a^n$ se lit « $a$ puissance $n$ », ou « $a$ exposant $n$ », et désigne le produit de $n$ facteurs égaux à $a$. On appelle « exposant » l’entier $n$.
$$a^n=\underbrace{a\times … \times a}_{n\text{ facteurs}}$$
- Soit $a$ un nombre réel non nul et $n$ un entier naturel non nul.
Le nombre $a^{-n}$ est l’inverse de $a^n$ .
$$\begin{aligned} a^{-n}&=\dfrac {1} {a^n} \\ &=\underbrace{\dfrac 1 {a\times … \times a}}_{n\text{ facteurs}} \end{aligned}$$
À retenir
On note quelques cas particuliers :
- pour tout nombre réel $a$ : $a^1=a$ ;
- pour tout nombre réel $a$ non nul : $a^0=1$,
- $0^0$ n’est pas défini ;
- pour tout entier relatif $k$ : $1^k=1$.
Règles de calcul avec des puissances d’un même nombre
Règles de calcul avec des puissances d’un même nombre
Il existe des règles qui permettent de simplifier les calculs impliquant de très grands ou de très petits nombres, en manipulant directement leurs exposants.
À retenir
Soit $a$ un nombre réel non nul, et $m$ et $n$ deux entiers relatifs.
| Propriétés | $a^m\times a^n=a^{m+n}$ | $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ | ${(a^m)}^n=a^{m×n}$ |
| Exemples | $$\begin{aligned} 4^2\times 4^3&=4^{2+3} \\ &=4^5 \end{aligned}$$ | $$\begin{aligned} \dfrac{3^2}{3^6}&=3^{2-6} \\ &=3^{-4} \end{aligned}$$ | $$\begin{aligned} {(7^3)}^4&=7^{3\times 4} \\ &=7^{12} \end{aligned}$$ |
Règles de calcul avec des puissances d’un même exposant
Règles de calcul avec des puissances d’un même exposant
À retenir
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls, et $n$ un entier relatif.
| Propriétés | $(a\times b)^n=a^n\times b^n$ | $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$ |
| Exemples | $$\begin{aligned} (2\times3)^2&=2^2\times3^2 \\ &=4\times9 \\ &=36 \end{aligned}$$ | $$\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{2}\right)^3&=\dfrac{1^3}{2^3} \\ &=\dfrac{1}{8} \end{aligned}$$ |
Calcul avec des racines carrées
Calcul avec des racines carrées
Racine carrée
Racine carrée
Définition
Racine carrée :
Soit $a$ un nombre réel positif.
La racine carrée du nombre $a$ est le nombre réel positif, noté $\sqrt a$, dont le carré est égal à $a$ :
$$\left(\sqrt{a}\right)^2=a$$
- On peut aussi noter :
$$\sqrt{a}= a^{\frac 12}$$
Attention
La racine carrée d’un nombre strictement négatif n’existe pas dans $\mathbb R$.
Donnons une première propriété.
Propriété
Pour tout réel $a$, nous avons :
$$\sqrt{a^2}=\vert a\vert$$
- Si $a\geq 0$, alors : $\sqrt {a^2}=a$.
- Si $a\leq 0$, alors : $\sqrt {a^2}=-a$.
Exemple
$\begin{aligned} \left(\sqrt{3}\right)^2 &= 3 \\ \sqrt{3^2} &= \sqrt{9} = 3 \\ \sqrt{(-3)^2} &= \sqrt{9} = 3 = -(-3) \end{aligned}$
Produit de racines carrées
Produit de racines carrées
Propriété
Pour tous réels positifs $a$ et $b$, nous avons :
$$\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$$
Avant de démontrer cette propriété, rappelons cette autre propriété.
- Si $x$ et $y$ sont positifs : $x^2=y^2 \Leftrightarrow x=y$.
Démonstration
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels positifs.
- D’une part, comme $a$ et $b$ sont positifs, $a\times b$ est aussi positif, et nous avons :
$$\left(\sqrt{a\times b}\right)^2=a\times b \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par définition de la racine carrée]}}}$$
- D’autre part, nous avons :
$$\begin{aligned} \left(\sqrt{a}\times \sqrt{b}\right)^2&=\left( \sqrt{a}\times \sqrt{b}\right)\times \left( \sqrt{a}\times \sqrt{b}\right) \\ &=\left(\sqrt{a}\times \sqrt{a}\right)\times \left( \sqrt{b}\times \sqrt{b}\right) \\ &=\left(\sqrt{a}\right)^2\times \left(\sqrt{b}\right)^2 \\ &=a\times b \end{aligned}$$
- Nous avons donc :
$$\left(\sqrt{a\times b}\right)^2=\left(\sqrt{a}\times \sqrt{b}\right)^2$$
Or, $\sqrt{a\times b}$ et $\sqrt{a}\times \sqrt{b}$ sont (évidemment) positifs.
- Cela implique donc que, pour tous réels postifs $a$ et $b$ :
$$\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$$
Exemple
$\begin{aligned} \sqrt{4\times9}&=\sqrt 4\times\sqrt 9 \\ &=2\times3 \\ &=6 \end{aligned}$
Quotient de racines carrées
Quotient de racines carrées
Propriété
Pour tous réels positifs $a$ et $b$, avec $b$ non nul, nous avons :
$$\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$
Exemple
$\begin{aligned} \sqrt{\dfrac{100}{4}}&=\dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt 4} \\ &=\dfrac{10}{2} \\ &=5 \end{aligned}$
Somme de racines carrées
Somme de racines carrées
Propriété
Pour tous nombres réels strictement positifs $a$ et $b$, nous avons :
$$\sqrt{a+b} < \sqrt a+\sqrt b$$
Avant de démontrer cette propriété, rappelons cette autre propriété.
- Si $x$ et $y$ sont strictement positifs : $x^2 < y^2 \Leftrightarrow x < y$.
Démonstration
Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.
- D’une part, nous avons :
$$\left(\sqrt{a+b}\right)^2=a+b$$
- D’autre part, nous avons :
$$\begin{aligned} \left(\sqrt a+\sqrt b\right)^2 &= \left(\sqrt{a}\right)^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+ \left(\sqrt{b}\right)^2 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en utilisant une identité remarquable]}}} \\ &=a+b+2\sqrt{ab} \end{aligned}$$
Or, $\sqrt{ab} > 0$, donc $2\sqrt{ab} > 0$. On en déduit :
$$a+b < a+b+2\sqrt{ab}$$
Ainsi, nous obtenons :
$$\left(\sqrt{a+b}\right)^2 < \left(\sqrt a+\sqrt b\right)^2$$
- Et finalement :
$$\sqrt{a+b} < \sqrt a+\sqrt b$$
Utilisation des règles de calcul des racinés carrées
Utilisation des règles de calcul des racinés carrées
En faisant apparaître des carrés parfaits dans un nombre dont on prend la racine carrée, on peut simplifier son écriture.
Exemple
$\begin{aligned} \sqrt{27}&=\sqrt{9\times3} \\ &=\sqrt 9\times\sqrt 3 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$]}}} \\ &=3\sqrt 3 \\ \\ \sqrt{18}+\sqrt{50}&=\sqrt{9\times2}+\sqrt{25\times2} \\ &=3\sqrt 2+5\sqrt 2 \\ &=8\sqrt 2 \end{aligned}$
Astuce
En mathématiques, on préfère ne pas avoir de racine carrée au dénominateur d’une écriture fractionnaire. On préférera donc écrire, par exemple :
$$\begin{aligned} \dfrac 3{\sqrt{2}}&=\dfrac {3\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}} \\ &=\dfrac {3\sqrt{2}}{\sqrt{2}^2} \\ &=\boxed{\dfrac {3\sqrt{2}}2} \end{aligned}$$
Conclusion :
Les puissances sont très souvent utilisées dans les formules scientifiques, elles permettent souvent d’exprimer des nombres très grands sous formes de nombres plus courts.
Les racines carrées permettent quant à elles d’écrire de façon exacte les nombres irrationnels. On les retrouve très souvent en géométrie.
Ces règles de calcul sont donc très utiles dans divers domaines scientifiques, par exemple en physique ou en architecture.