Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.

Calcul littéral : quotients, puissances, racines carrées

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Introduction :

On parle de langage littéral quand un calcul se compose de chiffres et de lettres. Intégrer des lettres permet de généraliser un problème en prenant en compte la variabilité de certains des paramètres.
Nous allons aborder les règles de calcul pour utiliser ces expressions dites littérales. Une expression littérale est donc une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.
Dans un premier temps, nous aborderons les règles de calcul avec les quotients, puis les puissances et enfin les racines carrées.

Calculs avec des quotients

Commençons par donner la propriété suivante.

bannière propriete

Propriété

Soit aa, bb et cc trois réels, avec bb et cc non nuls.
Nous avons :

ab=a×cb×cab=a÷cb÷c\begin{aligned} \dfrac ab &= \dfrac {a\times c}{b\times c} \ \ \dfrac ab &= \dfrac {a\div c}{b\div c} \end{aligned}

Addition et soustraction de quotients

bannière propriete

Propriété

Soit aa, bb, cc et dd quatre nombre réels, avec cc et dd non nuls.
Nous avons :

ac+bd=adcd+bccd=ad+bccdacbd=adcdbccd=adbccd\begin{aligned} \dfrac ac + \dfrac bd &= \dfrac {ad}{cd}+\dfrac {bc}{cd} = \dfrac {ad+bc}{cd} \ \ \dfrac ac - \dfrac bd &= \dfrac {ad}{cd}-\dfrac {bc}{cd} = \dfrac {ad-bc}{cd} \end{aligned}

bannière exemple

Exemple

Nous cherchons à réduire au même dénominateur l’expression suivante, où xx est un réel quelconque différent de 11 et 2-2 :

31x1+2xx+23-\dfrac 1{x-1}+\dfrac {2x}{x+2}

Nous allons choisir comme dénominateur commun (pour rappel : 3=313=\frac 31) :

1×(x1)×(x+2)=(x1)(x+2)1\times (x-1)\times (x+2)=(x-1)(x+2)

Nous avons donc :

31x1+2xx+2=3(x1)(x+2)(x1)(x+2)1(x+2)(x1)(x+2)+2x(x1)(x1)(x+2)=3(x1)(x+2)(x+2)+2x(x1)(x1)(x+2)=3x2+6x3x6x2+2x22x(x1)(x+2)[en deˊveloppant le numeˊrateur]=5x28(x1)(x+2)\begin{aligned} 3-\dfrac 1{x-1}+\dfrac {2x}{x+2}&= \dfrac{3\red{(x-1)(x+2)}}{\red{(x-1)(x+2)}}-\dfrac {1\red{(x+2)}}{(x-1)\red{(x+2)}}+\dfrac {2x\red{(x-1)}} {\red{(x-1)}(x+2)} \ &=\dfrac {3(x-1)(x+2)-(x+2)+2x(x-1)} {(x-1)(x+2)} \ &=\dfrac {\green{3x^2}+\purple{6x}-\purple{3x}-\blue 6-\purple x-\blue 2+\green{2x^2}-\purple{2x}}{(x-1)(x+2)} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[en développant le numérateur]}}} \ &=\dfrac {5x^2-8}{(x-1)(x+2)} \end{aligned}

  • 11 est une valeur interdite, car :

x=1x1=0x=1 \Leftrightarrow x-1 =0

  • Le quotient 1x1\frac 1{x-1} n’est alors pas défini.
  • 2-2 est aussi une valeur interdite, car :

x=2x+2=0x=-2 \Leftrightarrow x+2=0

  • Le quotient 2xx+2\frac {2x}{x+2} n’est alors pas défini.

Multiplication de quotients

bannière propriete

Propriété

Soit aa, bb, cc et dd quatre nombre réels, avec cc et dd non nuls.
Nous avons :

ac×bd=abcd\dfrac ac\times \dfrac bd= \dfrac{ab}{cd}

bannière exemple

Exemple

Soit xx un réel quelconque, non nul et différent de 11 :

xx1×x+22x=x×(x+2)(x1)×2x=x+22(x1)\begin{aligned} \dfrac x{x-1}\times \dfrac {x+2}{2x} &= \dfrac {x\times (x+2)}{(x-1)\times 2x} \ &=\dfrac {x+2}{2(x-1)} \end{aligned}

Division de quotients

bannière propriete

Propriété

Soit aa, bb, cc et dd quatre nombre réels, avec bb, cc et dd non nuls.

  • L’inverse de bd\frac bd est db\frac db.
  • Et nous avons :

ac÷bd=acbd=ac×db=adbc\dfrac ac \div \dfrac bd=\dfrac{\frac ac}{\frac bd}=\dfrac ac\times \dfrac db =\dfrac {ad}{bc}

bannière exemple

Exemple

Soit xx un réel quelconque, non nul et différent de 2-2 :

x1x4xx+2=x1x×x+24x=(x1)(x+2)4x2\begin{aligned} \dfrac{\frac {x-1}x}{\frac {4x}{x+2}}&=\dfrac {x-1}x\times \dfrac {x+2}{4x} \ &=\dfrac {(x-1)(x+2)}{4x^2} \end{aligned}

Égalité des produits en croix

bannière propriete

Propriété

Soit aa, bb, cc et dd quatre nombres réels, avec cc et dd non nuls.
Nous avons alors :

ac=bdad=bc\dfrac ac = \dfrac bd \Leftrightarrow ad=bc

  • On parle d’égalité des produits en croix.

Calcul avec des puissances

bannière definition

Définition

Puissance d’un nombre :

  • Soit aa un nombre réel et nn un entier naturel non nul.

Le nombre ana^n se lit « aa puissance nn », ou « aa exposant nn », et désigne le produit de nn facteurs égaux à aa. On appelle « exposant » l’entier nn.

an=a×...×an facteursa^n=\underbrace{a\times … \times a}_{n\text{ facteurs}}

  • Soit aa un nombre réel non nul et nn un entier naturel non nul.

Le nombre ana^{-n} est l’inverse de ana^n .

an=1an=1a×...×an facteurs\begin{aligned} a^{-n}&=\dfrac {1} {a^n} \ &=\underbrace{\dfrac 1 {a\times … \times a}}_{n\text{ facteurs}} \end{aligned}

bannière à retenir

À retenir

On note quelques cas particuliers :

  • pour tout nombre réel aa : a1=aa^1=a ;
  • pour tout nombre réel aa non nul : a0=1a^0=1,
  • 000^0 n’est pas défini ;
  • pour tout entier relatif kk : 1k=11^k=1.

Règles de calcul avec des puissances d’un même nombre

Il existe des règles qui permettent de simplifier les calculs impliquant de très grands ou de très petits nombres, en manipulant directement leurs exposants.

bannière à retenir

À retenir

Soit aa un nombre réel non nul, et mm et nn deux entiers relatifs.

Propriétés am×an=am+na^m\times a^n=a^{m+n} aman=amn\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n} (am)n=am×n{(a^m)}^n=a^{m×n}
Exemples 42×43=42+3=45\begin{aligned} 4^2\times 4^3&=4^{2+3} \ &=4^5 \end{aligned} 3236=326=34\begin{aligned} \dfrac{3^2}{3^6}&=3^{2-6} \ &=3^{-4} \end{aligned} (73)4=73×4=712\begin{aligned} {(7^3)}^4&=7^{3\times 4} \ &=7^{12} \end{aligned}

Règles de calcul avec des puissances d’un même exposant

bannière à retenir

À retenir

Soit aa et bb deux nombres réels non nuls, et nn un entier relatif.

Propriétés (a×b)n=an×bn(a\times b)^n=a^n\times b^n (ab)n=anbn\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}
Exemples (2×3)2=22×32=4×9=36\begin{aligned} (2\times3)^2&=2^2\times3^2 \ &=4\times9 \ &=36 \end{aligned} (12)3=1323=18\begin{aligned} \left(\dfrac{1}{2}\right)^3&=\dfrac{1^3}{2^3} \ &=\dfrac{1}{8} \end{aligned}

Calcul avec des racines carrées

Racine carrée

bannière definition

Définition

Racine carrée :

Soit aa un nombre réel positif.
La racine carrée du nombre aa est le nombre réel positif, noté a\sqrt a, dont le carré est égal à aa :

(a)2=a\left(\sqrt{a}\right)^2=a

  • On peut aussi noter :

a=a12\sqrt{a}= a^{\frac 12}

bannière attention

Attention

La racine carrée d’un nombre strictement négatif n’existe pas dans R\mathbb R.

Donnons une première propriété.

bannière propriete

Propriété

Pour tout réel aa, nous avons :

a2=a\sqrt{a^2}=\vert a\vert

  • Si a0a\geq 0, alors : a2=a\sqrt {a^2}=a.
  • Si a0a\leq 0, alors : a2=a\sqrt {a^2}=-a.
bannière exemple

Exemple

(3)2=332=9=3(3)2=9=3=(3)\begin{aligned} \left(\sqrt{3}\right)^2 &= 3 \ \sqrt{3^2} &= \sqrt{9} = 3 \ \sqrt{(-3)^2} &= \sqrt{9} = 3 = -(-3) \end{aligned}

Produit de racines carrées

bannière propriete

Propriété

Pour tous réels positifs aa et bb, nous avons :

a×b=a×b\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}

Avant de démontrer cette propriété, rappelons cette autre propriété.

  • Si xx et yy sont positifs : x2=y2x=yx^2=y^2 \Leftrightarrow x=y.
bannière demonstration

Démonstration

Soit aa et bb deux nombres réels positifs.

  • D’une part, comme aa et bb sont positifs, a×ba\times b est aussi positif, et nous avons :

(a×b)2=a×b [par deˊfinition de la racine carreˊe]\left(\sqrt{a\times b}\right)^2=a\times b \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par définition de la racine carrée]}}}

  • D’autre part, nous avons :

(a×b)2=(a×b)×(a×b)=(a×a)×(b×b)=(a)2×(b)2=a×b\begin{aligned} \left(\sqrt{a}\times \sqrt{b}\right)^2&=\left( \sqrt{a}\times \sqrt{b}\right)\times \left( \sqrt{a}\times \sqrt{b}\right) \ &=\left(\sqrt{a}\times \sqrt{a}\right)\times \left( \sqrt{b}\times \sqrt{b}\right) \ &=\left(\sqrt{a}\right)^2\times \left(\sqrt{b}\right)^2 \ &=a\times b \end{aligned}

  • Nous avons donc :

(a×b)2=(a×b)2\left(\sqrt{a\times b}\right)^2=\left(\sqrt{a}\times \sqrt{b}\right)^2

Or, a×b\sqrt{a\times b} et a×b\sqrt{a}\times \sqrt{b} sont (évidemment) positifs.

  • Cela implique donc que, pour tous réels postifs aa et bb :

a×b=a×b\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}

bannière exemple

Exemple

4×9=4×9=2×3=6\begin{aligned} \sqrt{4\times9}&=\sqrt 4\times\sqrt 9 \ &=2\times3 \ &=6 \end{aligned}

Quotient de racines carrées

bannière propriete

Propriété

Pour tous réels positifs aa et bb, avec bb non nul, nous avons :

ab=ab\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

bannière exemple

Exemple

1004=1004=102=5\begin{aligned} \sqrt{\dfrac{100}{4}}&=\dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt 4} \ &=\dfrac{10}{2} \ &=5 \end{aligned}

Somme de racines carrées

bannière propriete

Propriété

Pour tous nombres réels strictement positifs aa et bb, nous avons :

a+b<a+b\sqrt{a+b} < \sqrt a+\sqrt b

Avant de démontrer cette propriété, rappelons cette autre propriété.

  • Si xx et yy sont strictement positifs : x2<y2x<yx^2 < y^2 \Leftrightarrow x < y.
bannière demonstration

Démonstration

Soit aa et bb deux réels strictement positifs.

  • D’une part, nous avons :

(a+b)2=a+b\left(\sqrt{a+b}\right)^2=a+b

  • D’autre part, nous avons :

(a+b)2=(a)2+2ab+(b)2 [en utilisant une identiteˊ remarquable]=a+b+2ab\begin{aligned} \left(\sqrt a+\sqrt b\right)^2 &= \left(\sqrt{a}\right)^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+ \left(\sqrt{b}\right)^2 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en utilisant une identité remarquable]}}} \ &=a+b+2\sqrt{ab} \end{aligned}

Or, ab>0\sqrt{ab} > 0, donc 2ab>02\sqrt{ab} > 0. On en déduit :

a+b<a+b+2aba+b < a+b+2\sqrt{ab}

Ainsi, nous obtenons :

(a+b)2<(a+b)2\left(\sqrt{a+b}\right)^2 < \left(\sqrt a+\sqrt b\right)^2

  • Et finalement :

a+b<a+b\sqrt{a+b} < \sqrt a+\sqrt b

Utilisation des règles de calcul des racinés carrées

En faisant apparaître des carrés parfaits dans un nombre dont on prend la racine carrée, on peut simplifier son écriture.

bannière exemple

Exemple

27=9×3=9×3 [car ab=ab]=3318+50=9×2+25×2=32+52=82\begin{aligned} \sqrt{27}&=\sqrt{9\times3} \ &=\sqrt 9\times\sqrt 3 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$]}}} \ &=3\sqrt 3 \ \ \sqrt{18}+\sqrt{50}&=\sqrt{9\times2}+\sqrt{25\times2} \ &=3\sqrt 2+5\sqrt 2 \ &=8\sqrt 2 \end{aligned}

bannière astuce

Astuce

En mathématiques, on préfère ne pas avoir de racine carrée au dénominateur d’une écriture fractionnaire. On préférera donc écrire, par exemple :

32=3×22×2=3222=322\begin{aligned} \dfrac 3{\sqrt{2}}&=\dfrac {3\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}} \ &=\dfrac {3\sqrt{2}}{\sqrt{2}^2} \ &=\boxed{\dfrac {3\sqrt{2}}2} \end{aligned}

Conclusion :

Les puissances sont très souvent utilisées dans les formules scientifiques, elles permettent souvent d’exprimer des nombres très grands sous formes de nombres plus courts.
Les racines carrées permettent quant à elles d’écrire de façon exacte les nombres irrationnels. On les retrouve très souvent en géométrie.
Ces règles de calcul sont donc très utiles dans divers domaines scientifiques, par exemple en physique ou en architecture.