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Utiliser le calcul littéral

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Introduction :

On parle de langage littéral quand un calcul se compose de chiffres et de lettres. Intégrer des lettres permet de généraliser un problème en prenant en compte la variabilité de certains des paramètres.
Nous allons aborder les règles de calcul pour utiliser ces expressions dites littérales. Une expression littérale est donc une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres.
Dans un premier temps, nous aborderons les règles de calcul avec les fractions, puis les puissances et enfin les racines carrées.

Calculs avec les fractions

Addition et soustraction de fraction

Il existe deux méthodes pour additionner ou soustraire des fractions :

  • Si les fractions ont le même dénominateur :
  • Il faut additionner ou soustraire les numérateurs et conserver le dénominateur commun.
  • Si les fractions ont des dénominateurs différents :
  • Il faut d’abord chercher un dénominateur commun, c’est à dire un multiple commun aux deux dénominateurs, puis réduire les fractions, puis additionner ou soustraire les numérateurs.
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Exemple

  • 5313=43\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}
  • 13+56=?\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{6}=\text{?}
  • On cherche un dénominateur commun, puis on additionne les numérateurs :

1×23×2+56=26+56=76\dfrac{1\times2}{3\times2}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{2}{6}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{7}{6}

Multiplication de fractions

Pour multiplier deux nombres rationnels en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en respectant la règle des signes.

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Exemple

13×56=518\dfrac{1}{3}\times\dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{18}

Division de fractions

Pour diviser une fraction par un nombre décimal non nul, on multiplie par son inverse. Pour cela, on l’écrit sous forme fractionnaire et on intervertit le numérateur et le dénominateur :

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Exemple

  • 13÷56=13×65=615=25\dfrac{1}{3}\div\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{6}{5}=\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}
  • 13÷7=13÷71=13×17=121\dfrac{1}{3}\div7=\dfrac{1}{3}\div\dfrac{7}{1}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{7}=\dfrac{1}{21}

Égalité des produits en croix

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Propriété

Soit aa, bb, cc et dd quatre nombres relatifs, avec bb et dd non nuls.

  • Si ab=cd\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}, alors a×d=b×ca\times d=b\times c
  • Si a×d=b×ca\times d=b\times c, alors ab=cd\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}
  • On parle d’égalité des produits en croix.
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Exemple

Pour les deux fractions 13\dfrac{1}{3} et 26\dfrac{2}{6}, on observe que :

  • 1×6=61\times6=6 ;
  • 3×2=63\times2=6.
  • Selon l’égalité des produits en croix, on peut donc conclure que 13=26\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6}.

Cette égalité des produits en croix permet de démontrer que des fractions sont égales, mais aussi de déterminer un nombre manquant dans une égalité de fractions.

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Exemple

En sciences physiques, la loi d’Ohm permet de calculer la tension UU d’un courant électrique en fonction de son intensité II et de la valeur d’une résistance RR. En utilisant le produit en croix, on peut manipuler la formule pour trouver II si l’on connaît déjà UU et RR :
U=RIU=RI
On divise les deux membres par R pour isoler notre inconnue II : UR=I1\dfrac{U}{R}=\dfrac{I}{1}
On obtient alors : I=URI=\dfrac{U}{R}.

Calcul avec des puissances

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Définition

Puissance d’un nombre :

Soit aa un nombre relatif non nul et nn un entier naturel non nul. Le nombre ana^n se lit « aa puissance nn » ou « aa exposant nn » et désigne le produit de aa multiplié nn fois par lui même. On appelle « exposant » l'entier nn.

an=a×...×an facteursa^n=\underbrace{a\times … \times a}_{n\text{ facteurs}}

Le nombre ana^{-n} est l'inverse de ana^n .

an=1an=1a×...×an facteurs\begin{aligned} a^{-n}&=\dfrac {1} {a^n} \ &=\underbrace{\dfrac 1 {a\times … \times a}}_{n\text{ facteurs}} \end{aligned}

On note quelques cas particuliers :

  • a1=aa^1=a
  • si a0a≠0 , alors a0=1a^0=1
  • 000^0 n'est pas défini.

Règles de calcul avec des puissances d’un même nombre

Il existe des règles qui permettent de simplifier les calculs impliquant de très grands ou de très petits nombres, en manipulant directement leurs exposants.

aa étant un nombre non nul et aa, mm et nn étant des nombres entiers relatifs :

Règle am×an=am+na^m\times a^n=a^{m+n} aman=amn\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n} (am)n=am×n(a^m)^n=a^{m×n}
Exemple 42×43=42+3=454^2\times 4^3=4^{2+3}=4^5 3236=326=34\dfrac{3^2}{3^6}=3^{2-6}=3^{-4} (73)4=73×4=712(7^3)^4=7^{3×4}=7^{12}

Règles de calcul avec des puissances d’un même exposant

aa et bb étant des nombres non nuls et mm étant un nombre entier relatif :

Règle (a×b)m=am×bm(a\times b)^m=a^m\times b^m (ab)m=ambm\Big(\dfrac{a}{b}\Big)^m=\dfrac{a^m}{b^m}
Exemple (2×3)2=22×32=4×9=36(2\times3)^2=2^2\times3^2=4\times9=36 (12)3=1323=18\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^3=\dfrac{1^3}{2^3}=\dfrac{1}{8}

Calcul avec des racines carrées

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Définition

Racine carrée :

Soit aa un nombre réel positif ou nul : la racine carrée du nombre aa est le nombre réel positif ou nul, noté a\sqrt a, dont le carré est égal à aa.

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Astuce

  • La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.
  • a=a12\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}

Règle de multiplication des racines carrées

Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée du produit de ces deux nombres. Pour tous nombres aa et bb positifs, on a donc : a×b=a×b\sqrt{a\times b}=\sqrt a\times\sqrt b.

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Démonstration

Pour tous nombres a et b positifs ou nuls, on a :
(a×b)2=a×b\big(\sqrt{a\times b}\big)^2=a\times b

(a×b)2=(a×b)×(a×b)=a2×b2=a×b\begin{aligned} \big(\sqrt a\times\sqrt b\big)^2&=\big(\sqrt a\times\sqrt b\big)\times\big(\sqrt a\times\sqrt b\big) \ &=\sqrt a^2\times\sqrt b^2 \ &=a\times b \end{aligned}

Donc (a×b)2=(a×b)2\big(\sqrt{a\times b}\big)^2 =\big(\sqrt a\times\sqrt b\big)^2
Donc pour tous nombres a et b positifs, on a :
a×b=a×b\sqrt{a\times b}=\sqrt a\times\sqrt b

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Exemple

4×9=4×9=2×3=6\begin{aligned} \sqrt{4\times9}&=\sqrt 4\times\sqrt 9 \ &=2\times3 \ &=6 \end{aligned}

Règle de division des racines carrées

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Propriété

Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée du quotient de ces deux nombres. Ainsi, pour tous réels positifs aa et bb avec b0b\ne0 on a : ab=ab\sqrt{\dfrac a b}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}

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Exemple

1004=1004=102=5\begin{aligned} \sqrt{\dfrac{100}{4}}&=\dfrac{\sqrt{100}}{\sqrt 4} \ &=\dfrac{10}{2} \ &=5 \end{aligned}

Règle d’addition des racines carrées

Pour tous nombres réels positifs aa et bb, on a : a+b<a+b\sqrt{a+b}<\sqrt a+\sqrt b.

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Démonstration

On considère aa et bb deux réels positifs ou nuls.
On élève les deux membres de l’inégalité au carré pour sortir des racines et comparer leur valeur.
On utilise une identité remarquable pour la partie droite :
(a+b)2=(a)2+(b)2+2ab=a+b+2ab\begin{aligned} \big(\sqrt a+\sqrt b\big)^2&=\big(\sqrt a\big)^2+\big(\sqrt b\big)^2+2\sqrt a\sqrt b \ &=a+b+2\sqrt a\sqrt b \end{aligned}
Or, de l’autre côté, on a (a+b)2=a+b\big(\sqrt{a+b}\big)^2=a+b.
Donc pour tous réels positifs aa et bb, on a : a+ba+b\sqrt{a+b}\le\sqrt a+\sqrt b.
Car, élevé au carré, on a bien : a+ba+b+2aba+b\le a+b+2\sqrt a\sqrt b.

Utilisation des règles de calcul des racinés carrées

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Exemple

  • On peut utiliser la règle a×b=a×b\sqrt{a\times b}=\sqrt a\times\sqrt b pour réduire l’écriture de 27\sqrt{27} :
  • 27=9×3=9×3=33\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=\sqrt 9\times\sqrt 3=3\sqrt 3
  • On peut également utiliser la règle a×b=a×b\sqrt{a\times b}=\sqrt a\times\sqrt b pour réduire l’écriture de 18+50\sqrt{18}+\sqrt{50} :
  • 18+50=9×2+25×2=32+52=82\begin{aligned} \sqrt{18}+\sqrt{50}&=\sqrt{9\times2}+\sqrt{25\times2} \ &=3\sqrt 2+5\sqrt 2 \ &=8\sqrt 2 \end{aligned}

Conclusion :

Les puissances sont très souvent utilisées dans les formules scientifiques, elles permettent souvent d’exprimer des nombres très grands sous formes de nombres plus courts.
Les racines carrées permettent quant à elles d’écrire de façon exacte les nombres irrationnels. On les retrouve très souvent en géométrie.
Ces règles de calcul sont donc très utiles dans divers domaines scientifiques, par exemple en physique ou en architecture.