Calcul littéral : quotients, puissances, racines carrées

Calculs avec des quotients

• Soit $a$, $b$ et $c$ trois réels, avec $b$ et $c$ non nuls :

$$\dfrac ab = \dfrac {a\times c}{b\times c} = \dfrac ab = \dfrac {a\div c}{b\div c}$$

• Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombre réels, avec $c$ et $d$ non nuls :

$$\begin{aligned} \dfrac ac + \dfrac bd &= \dfrac {ad}{cd}+\dfrac {bc}{cd} = \dfrac {ad+bc}{cd} \\ \\ \dfrac ac - \dfrac bd &= \dfrac {ad}{cd}-\dfrac {bc}{cd} = \dfrac {ad-bc}{cd} \\ \\ \dfrac ac\times \dfrac bd&= \dfrac{ab}{cd} \\ \\ \dfrac ac = \dfrac bd &\Leftrightarrow ad=bc \end{aligned}$$

• Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombre réels, avec $b$, $c$ et $d$ non nuls.
• L’inverse de $\frac bd$ est : $\frac db$.
• Et nous avons :

$$\dfrac ac \div \dfrac bd=\dfrac{\frac ac}{\frac bd}=\dfrac ac\times \dfrac db =\dfrac {ad}{bc}$$

Calcul avec des puissances

• Soit $a$ un nombre réel et $n$ un entier naturel non nul :

$$a^n=\underbrace{a\times … \times a}_{n\text{ facteurs}}$$

• Soit $a$ un nombre réel non nul et $n$ un entier naturel non nul :

$$\begin{aligned} a^{-n}&=\dfrac {1} {a^n} \\ &=\underbrace{\dfrac 1 {a\times … \times a}}_{n\text{ facteurs}} \end{aligned}$$

• Pour tout nombre réel $a$ : $a^1=a$.
• Pour tout nombre réel $a$ non nul : $a^0=1$.
• Pour tout entier relatif $k$ : $1^k=1$.
• Soit $a$ un nombre réel non nul, et $m$ et $n$ deux entiers relatifs.
• $a^m\times a^n=a^{m+n}$.
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.
• ${(a^m)}^n=a^{m\times n}$.
• Soit $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls, et $n$ un entier relatif.
• $(a\times b)^n=a^n\times b^n$.
• $\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$.

Calcul avec des racines carrées

• Soit $a$ un nombre réel positif.
• La racine carrée du nombre $a$ est le nombre réel positif, noté $\sqrt a$, dont le carré est égal à $a$ : $\left(\sqrt{a}\right)^2=a$.
• La racine carrée d’un nombre strictement négatif n’existe pas dans $\mathbb R$.
• Pour tout réel $a$ : $\sqrt{a^2}=\vert a\vert$.
• Si $a\geq 0$, alors : $\sqrt {a^2}=a$.
• Si $a\leq 0$, alors : $\sqrt {a^2}=-a$.
• Pour tous réels positifs $a$ et $b$ : $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$.
• Si en outre $b$ est non nul : $\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
• Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ : $\sqrt{a+b} < \sqrt a+\sqrt b$.