Fiche de révision : Utiliser le calcul littéral

Calculs avec les fractions

Il existe deux méthodes pour additionner ou soustraire des fractions :

• Si les fractions ont le même dénominateur ;
• Il faut additionner ou soustraire les numérateurs et conserver le dénominateur commun ;
• Si les fractions ont des dénominateurs différents ;
• Il faut d’abord chercher un dénominateur commun, c’est à dire un multiple commun aux deux dénominateurs, puis réduire les fractions, puis additionner ou soustraire les numérateurs.

Pour multiplier deux nombres rationnels en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en respectant la règle des signes.

Pour diviser une fraction par un nombre décimal non nul, on multiplie par son inverse. Pour cela, on l’écrit sous forme fractionnaire et on intervertit le numérateur et le dénominateur.

Propriété : Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres relatifs, avec $b$ et $d$ non nuls.

• Si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$, alors $a\times d=b\times c$
• Si $a\times d=b\times c$, alors $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
• On parle d’égalité des produits en croix.

Cette égalité des produits en croix permet de démontrer que des fractions sont égales, mais aussi de déterminer un nombre manquant dans une égalité de fractions.

Calcul avec des puissances

Puissance d’un nombre :
Soit $a$ un nombre relatif non nul et $n$ un entier naturel non nul. Le nombre $a^n$ se lit « $a$ puissance $n$ » ou « $a$ exposant $n$ » et désigne le produit de $a$ multiplié $n$ fois par lui même. On appelle « exposant » l'entier $n$.
$a^n=\underbrace{a\times … \times a}_{n\text{ facteurs}}$

Le nombre $a^{-n}$ est l'inverse de $a^n$ .
$\begin{aligned} a^{-n}&=\dfrac {1} {a^n} \ &=\underbrace{\dfrac 1 {a\times … \times a}}_{n\text{ facteurs}} \end{aligned}$

• On note quelques cas particuliers :
• $a^1=a$
• si $a≠0$ , alors $a^0=1$
• $0^0$ n'est pas défini.

Règles de calcul avec des puissances :

$a$ étant un nombre non nul et $a$, $m$ et $n$ étant des nombres entiers relatifs :

$a$ et $b$ étant des nombres non nuls et $m$ étant un nombre entier relatif :

Calcul avec des racines carrées

Racine carrée :
Soit $a$ un nombre réel positif ou nul : la racine carrée du nombre $a$ est le nombre réel positif ou nul, noté $\sqrt a$, dont le carré est égal à $a$.

• La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.
• $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$
• Pour tous nombres $a$ et $b$ positifs, on a donc : $\sqrt{a\times b}=\sqrt a\times\sqrt b$.
• Pour tous réels positifs $a$ et $b$ avec $b\ne0$ on a : $\sqrt{\dfrac a b}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$.
• Pour tous nombres réels positifs $a$ et $b$, on a : $\sqrt{a+b}<\sqrt a+\sqrt b$.