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Calcul littéral : quotients, puissances, racines carrées

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Calculs avec des quotients

  • Soit aa, bb et cc trois réels, avec bb et cc non nuls :

ab=a×cb×c=ab=a÷cb÷c\dfrac ab = \dfrac {a\times c}{b\times c} = \dfrac ab = \dfrac {a\div c}{b\div c}

  • Soit aa, bb, cc et dd quatre nombre réels, avec cc et dd non nuls :

ac+bd=adcd+bccd=ad+bccdacbd=adcdbccd=adbccdac×bd=abcdac=bdad=bc\begin{aligned} \dfrac ac + \dfrac bd &= \dfrac {ad}{cd}+\dfrac {bc}{cd} = \dfrac {ad+bc}{cd} \ \ \dfrac ac - \dfrac bd &= \dfrac {ad}{cd}-\dfrac {bc}{cd} = \dfrac {ad-bc}{cd} \ \ \dfrac ac\times \dfrac bd&= \dfrac{ab}{cd} \ \ \dfrac ac = \dfrac bd &\Leftrightarrow ad=bc \end{aligned}

  • Soit aa, bb, cc et dd quatre nombre réels, avec bb, cc et dd non nuls.
  • L’inverse de bd\frac bd est : db\frac db.
  • Et nous avons :

ac÷bd=acbd=ac×db=adbc\dfrac ac \div \dfrac bd=\dfrac{\frac ac}{\frac bd}=\dfrac ac\times \dfrac db =\dfrac {ad}{bc}

Calcul avec des puissances

  • Soit aa un nombre réel et nn un entier naturel non nul :

an=a×...×an facteursa^n=\underbrace{a\times … \times a}_{n\text{ facteurs}}

  • Soit aa un nombre réel non nul et nn un entier naturel non nul :

an=1an=1a×...×an facteurs\begin{aligned} a^{-n}&=\dfrac {1} {a^n} \ &=\underbrace{\dfrac 1 {a\times … \times a}}_{n\text{ facteurs}} \end{aligned}

  • Pour tout nombre réel aa : a1=aa^1=a.
  • Pour tout nombre réel aa non nul : a0=1a^0=1.
  • Pour tout entier relatif kk : 1k=11^k=1.
  • Soit aa un nombre réel non nul, et mm et nn deux entiers relatifs.
  • am×an=am+na^m\times a^n=a^{m+n}.
  • aman=amn\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}.
  • (am)n=am×n{(a^m)}^n=a^{m\times n}.
  • Soit aa et bb deux nombres réels non nuls, et nn un entier relatif.
  • (a×b)n=an×bn(a\times b)^n=a^n\times b^n.
  • (ab)n=anbn\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}.

Calcul avec des racines carrées

  • Soit aa un nombre réel positif.
  • La racine carrée du nombre aa est le nombre réel positif, noté a\sqrt a, dont le carré est égal à aa : (a)2=a\left(\sqrt{a}\right)^2=a.
  • La racine carrée d’un nombre strictement négatif n’existe pas dans R\mathbb R.
  • Pour tout réel aa : a2=a\sqrt{a^2}=\vert a\vert.
  • Si a0a\geq 0, alors : a2=a\sqrt {a^2}=a.
  • Si a0a\leq 0, alors : a2=a\sqrt {a^2}=-a.
  • Pour tous réels positifs aa et bb : a×b=a×b\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}.
  • Si en outre bb est non nul : ab=ab\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.
  • Pour tous réels strictement positifs aa et bb : a+b<a+b\sqrt{a+b} < \sqrt a+\sqrt b.