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Calculs avec les fractions

Il existe deux méthodes pour additionner ou soustraire des fractions :

  • Si les fractions ont le même dénominateur ;
  • Il faut additionner ou soustraire les numérateurs et conserver le dénominateur commun ;
  • Si les fractions ont des dénominateurs différents ;
  • Il faut d’abord chercher un dénominateur commun, c’est à dire un multiple commun aux deux dénominateurs, puis réduire les fractions, puis additionner ou soustraire les numérateurs.

Pour multiplier deux nombres rationnels en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en respectant la règle des signes.

Pour diviser une fraction par un nombre décimal non nul, on multiplie par son inverse. Pour cela, on l’écrit sous forme fractionnaire et on intervertit le numérateur et le dénominateur.

Propriété : Soit aa, bb, cc et dd quatre nombres relatifs, avec bb et dd non nuls.

  • Si ab=cd\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}, alors a×d=b×ca\times d=b\times c
  • Si a×d=b×ca\times d=b\times c, alors ab=cd\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}
  • On parle d’égalité des produits en croix.

Cette égalité des produits en croix permet de démontrer que des fractions sont égales, mais aussi de déterminer un nombre manquant dans une égalité de fractions.

Calcul avec des puissances

Puissance d’un nombre :
Soit aa un nombre relatif non nul et nn un entier naturel non nul. Le nombre ana^n se lit « aa puissance nn » ou « aa exposant nn » et désigne le produit de aa multiplié nn fois par lui même. On appelle « exposant » l'entier nn.
an=a×...×an facteursa^n=\underbrace{a\times … \times a}_{n\text{ facteurs}}

Le nombre ana^{-n} est l'inverse de ana^n .
an=1an=1a×...×an facteurs\begin{aligned} a^{-n}&=\dfrac {1} {a^n} \ &=\underbrace{\dfrac 1 {a\times … \times a}}_{n\text{ facteurs}} \end{aligned}

  • On note quelques cas particuliers :
  • a1=aa^1=a
  • si a0a≠0 , alors a0=1a^0=1
  • 000^0 n'est pas défini.

Règles de calcul avec des puissances :

aa étant un nombre non nul et aa, mm et nn étant des nombres entiers relatifs :

Règle am×an=am+na^m\times a^n=a^{m+n} aman=amn\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n} (am)n=am×n(a^m)^n=a^{m×n}
Exemple 42×43=42+3=454^2\times 4^3=4^{2+3}=4^5 3236=326=34\dfrac{3^2}{3^6}=3^{2-6}=3^{-4} (73)4=73×4=712(7^3)^4=7^{3×4}=7^{12}

aa et bb étant des nombres non nuls et mm étant un nombre entier relatif :

Règle (a×b)m=am×bm(a\times b)^m=a^m\times b^m (ab)m=ambm\Big(\dfrac{a}{b}\Big)^m=\dfrac{a^m}{b^m}
Exemple (2×3)2=22×32=4×9=36(2\times3)^2=2^2\times3^2=4\times9=36 (12)3=1323=18\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^3=\dfrac{1^3}{2^3}=\dfrac{1}{8}

Calcul avec des racines carrées

Racine carrée :
Soit aa un nombre réel positif ou nul : la racine carrée du nombre aa est le nombre réel positif ou nul, noté a\sqrt a, dont le carré est égal à aa.

  • La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.
  • a=a12\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}
  • Pour tous nombres aa et bb positifs, on a donc : a×b=a×b\sqrt{a\times b}=\sqrt a\times\sqrt b.
  • Pour tous réels positifs aa et bb avec b0b\ne0 on a : ab=ab\sqrt{\dfrac a b}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}.
  • Pour tous nombres réels positifs aa et bb, on a : a+b<a+b\sqrt{a+b}<\sqrt a+\sqrt b.