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Utiliser le théorème de Thalès et sa réciproque

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Introduction :

Au cours de cette leçon, nous allons apprendre un nouveau théorème concernant les triangles : le théorème de Thalès.
Pour cela, nous allons commencer par une activité pour ensuite énoncer le théorème. Nous verrons enfin un exemple d'application.

Conditions d'application du théorème de Thalès

Nous avons déjà vu avec le théorème des milieux que le segment qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle vaut la moitié du troisième côté et est parallèle à celui-ci.

On considère un triangle ABCABC avec :

  • II milieu de [AB][AB], soit AIAB=12\dfrac{AI}{AB} = \dfrac12
  • JJ milieu de [AC][AC], soit AJAC=12\dfrac{AJ}{AC} = \dfrac12

triangle géométrie théorème de Thalès mathématiques troisième

On a, d'après le théorème des milieux :
IJ=12BCIJ=\dfrac12{BC}

  • Soit IJBC=12\dfrac{IJ}{BC}=\dfrac12 avec (IJ)//(BC)(IJ) // (BC)

On peut par conséquent écrire que AIAB=AJAC=IJBC\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{AJ}{AC}=\dfrac{IJ}{BC} puisque tous ces rapports valent 12\dfrac12.

On peut dire que les rapports des côtés du petit triangle sur les côtés du grand triangle sont égaux.

Ce rapport est-il vrai dans n'importe quelle configuration ?

triangle géométrie théorème de Thalès mathématiques troisième

  • (IJ)(IJ) n'est pas parallèle à (BC)(BC) : AIABAJAC\dfrac{AI}{AB} \neq \dfrac{AJ}{AC}

triangle géométrie théorème de Thalès mathématiques troisième

  • (IJ)(IJ) est parallèle à (AC)(AC) : BIBA=BJBC=14\dfrac{BI}{BA} = \dfrac{BJ}{BC}=\dfrac14

triangle géométrie théorème de Thalès mathématiques troisième

  • (IJ)(IJ) est parallèle à (BC)(BC) et les points BB, AA et JJ sont alignés, de même que les points CC, AA et II : AIAC=AJAB=12\dfrac{AI}{AC} = \dfrac{AJ}{AB}=\dfrac12

triangle géométrie théorème de Thalès mathématiques troisième

  • (BC)(BC) est parallèle à (IJ)(IJ) et II, AA et CC ne sont pas alignés : ABAIACAJ\dfrac{AB}{AI} \neq \dfrac{AC}{AJ}
bannière à retenir

À retenir

À la vue de ces différents exemples, nous constatons que les rapports des côtés du petit triangle sur les côtés du grand triangle sont égaux sous certaines conditions :

  • un des côtés du petit triangle doit être parallèle à un des côtés du grand triangle ;
  • les deux triangles doivent avoir un sommet commun ;
  • les côtés non parallèles des triangles doivent appartenir à une même droite.

Ces 3 conditions sont nécessaires pour appliquer le théorème de Thalès.

Théorème de Thalès

Le théorème

triangle géométrie théorème de Thalès mathématiques troisième

bannière theoreme

Théorème

  • Soient (d)(d) et (d)(d') deux droites sécantes en AA ;
  • soient BB et MM deux points de (d)(d) distincts de AA ;
  • soient CC et NN deux points de (d)(d') distincts de AA.

Si les droites (BC)(BC) et (MN)(MN) sont parallèles, alors :

AMAB=ANAC=MNBC\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}

  • La longueur des côtés du triangle AMNAMN est proportionnelle à la longueur des côtés du triangle ABCABC.

Ce théorème est utilisé pour calculer la mesure d'un côté d'un des triangles.

bannière exemple

Exemple

Soit le triangle ABCABC de la figure ci-dessous avec (MN)//(BC)(MN) // (BC).

On veut calculer la longueur de [AC][AC].

On sait que :

  • AA, MM et BB sont alignés dans cet ordre ;
  • AA, NN et CC sont alignés dans cet ordre ;
  • (MN)//(BC)(MN) // (BC).

triangle géométrie théorème de Thalès mathématiques troisième

D'après le théorème de Thalès, dans les triangles ABCABC et AMNAMN, on a :

AMAB=ANAC=MNBC\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}

De plus, on sait que :

  • AM=4 cmAM = 4\text{ cm}
  • AB=6 cmAB = 6\text{ cm}
  • AN=7 cmAN = 7\text{ cm}

On remplace les longueurs des segments par leurs valeurs numériques :

46=7AC=MNBC\dfrac46=\dfrac{7}{AC}=\dfrac{MN}{BC}

Dans ce cas, on utilise la première partie de l'égalité :

46=7AC\dfrac46=\dfrac{7}{AC}

On est dans une situation d'égalité de deux fractions, on utilise donc le produit en croix.

Soit :

AC=7×64=424=10,5 cmAC=\dfrac{7 \times 6}{4}=\dfrac{42}{4}=10,5\ \text{cm}

Réciproque du théorème de Thalès

bannière theoreme

Théorème

  • Soient (d)(d) et (d)(d') deux droites sécantes en AA ;
  • soient BB et MM deux points de (d)(d), distincts de AA ;
  • soient CC et NN deux points de (d)(d'), distincts de AA.

Si AMAB=ANAC\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC} ou AMAB=MNBC\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC} ou MNBC=ANAC\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AN}{AC} et si les points AA, BB, MM et les points AA, CC, NN sont alignés dans cet ordre, alors les droites (BC)(BC) et (MN)(MN) sont parallèles.

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Astuce

Réciproquement si les rapports ne sont pas égaux les droites ne sont pas parallèles.

Contraposée

Soit ABCABC un triangle tel que M(AB)M \in (AB) et N(AC)N \in (AC)

Si AMABANAC\dfrac{AM}{AB} \neq \dfrac{AN}{AC} ou AMABMNBC\dfrac{AM}{AB}\neq \dfrac{MN}{BC} ouMNBC=ANAC\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AN}{AC} alors on peut affirmer que les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) ne sont pas parallèles.

Exemple d'application

triangle géométrie théorème de Thalès mathématiques troisième

La droite (DE)(DE) est-elle parallèle à la droite (FG)(FG) ?

  • On sait que (AB)(AB) est parallèle à (DE)(DE), on peut par conséquent utiliser le théorème de Thalès pour calculer la mesure du segment [CD][CD].
  • On a les mesures des côtés [CE][CE], [CF][CF] et [CG][CG] des triangles CDECDE et CGFCGF. On calcule les rapports CDCF\dfrac{CD}{CF} et CECG\dfrac{CE}{CG}.
  • D'après la réciproque ainsi que la contraposée du théorème de Thalès, si ces rapports sont égaux alors (DE)(DE) et (FG)(FG) sont parallèles. Par contre, si ces rapports ne sont pas égaux, (DE)(DE) et (FG)(FG) ne sont parallèles.

Réponse

  • On sait que :
  • AA, CC et EE alignés dans cet ordre ;
  • BB, CC et DD alignés dans cet ordre ;
  • (AB)//(DE)(AB) // (DE).
  • Ces conditions permettent par conséquent d'appliquer le théorème de Thalès aux triangles ABCABC et CDECDE.
  • On a : ACEC=CBCD=ABED\dfrac{AC}{EC}=\dfrac{CB}{CD}=\dfrac{AB}{ED}
  • Et : 42=2,5CD=ABED\dfrac{4}{2}=\dfrac{2,5}{CD}=\dfrac{AB}{ED}
  • Soit : 42=2,5CD\dfrac{4}{2}=\dfrac{2,5}{CD}
  • D'après la propriété des produits en croix : CD=2×2,54=54=1,25CD=\dfrac{2 \times 2,5}{4}=\dfrac54=1,25
  • CD=1,25 cmCD = 1,25\text{ cm}
  • On sait que :
  • CC, DD et FF sont alignés dans cet ordre ;
  • CC, GG et EE sont alignés dans cet ordre.

On calcule CDCF\dfrac{CD}{CF} et CECG\dfrac{CE}{CG}

On a CDCF=1,252=0,625\dfrac{CD}{CF}=\dfrac{1,25}{2}=0,625

De plus, CECG=22,5=0,8\dfrac{CE}{CG}=\dfrac{2}{2,5}=0,8

Donc CDCFCECG\dfrac{CD}{CF} \neq \dfrac{CE}{CG}

  • D'après la contraposée du théorème de Thalès, (ED)(ED) n'est pas parallèle à (FG)(FG).

Conclusion :

Dans ce cours nous avons appris un nouveau théorème nous permettant de calculer la longueur d'un des côtés d'un triangle ou de prouver le parallélisme entre deux droites.