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Utiliser le théorème de Thalès et sa réciproque
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Introduction :
Au cours de cette leçon, nous allons apprendre un nouveau théorème concernant les triangles : le théorème de Thalès.
Pour cela, nous allons commencer par une activité pour ensuite énoncer le théorème. Nous verrons enfin un exemple d'application.
Conditions d'application du théorème de Thalès
Nous avons déjà vu avec le théorème des milieux que le segment qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle vaut la moitié du troisième côté et est parallèle à celui-ci.
On considère un triangle avec :
On a, d'après le théorème des milieux :
On peut par conséquent écrire que puisque tous ces rapports valent .
On peut dire que les rapports des côtés du petit triangle sur les côtés du grand triangle sont égaux.
Ce rapport est-il vrai dans n'importe quelle configuration ?
À la vue de ces différents exemples, nous constatons que les rapports des côtés du petit triangle sur les côtés du grand triangle sont égaux sous certaines conditions :
Ces 3 conditions sont nécessaires pour appliquer le théorème de Thalès.
Théorème de Thalès
Le théorème
Si les droites et sont parallèles, alors :
Ce théorème est utilisé pour calculer la mesure d'un côté d'un des triangles.
Soit le triangle de la figure ci-dessous avec .
On veut calculer la longueur de .
On sait que :
D'après le théorème de Thalès, dans les triangles et , on a :
De plus, on sait que :
On remplace les longueurs des segments par leurs valeurs numériques :
Dans ce cas, on utilise la première partie de l'égalité :
On est dans une situation d'égalité de deux fractions, on utilise donc le produit en croix.
Soit :
Réciproque du théorème de Thalès
Si ou ou et si les points , , et les points , , sont alignés dans cet ordre, alors les droites et sont parallèles.
Réciproquement si les rapports ne sont pas égaux les droites ne sont pas parallèles.
Contraposée
Soit un triangle tel que et
Si ou ou alors on peut affirmer que les droites et ne sont pas parallèles.
Exemple d'application
La droite est-elle parallèle à la droite ?
On calcule et
On a
De plus,
Donc
Conclusion :
Dans ce cours nous avons appris un nouveau théorème nous permettant de calculer la longueur d'un des côtés d'un triangle ou de prouver le parallélisme entre deux droites.