Utiliser le théorème de Thalès

Calculer des longueurs avec le théorème de Thalès

Énoncé du théorème de Thalès

Théorème

Théorème de Thalès :

On considère cinq points distincts $A$, $B$, $C$, $M$ et $N$ tels que :

• $A$, $B$ et $M$, d’une part, sont alignés ;
• $A$, $C$ et $N$, d’autre part, sont alignés.

Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors les quotients suivants sont égaux :

$$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac {AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$$

Avec ces conditions, il y a deux configurations possibles.

• Configuration des « triangles emboîtés »

Il s’agit de la configuration vue jusqu’ici : les points $M$ et $N$ appartiennent respectivement aux demi-droites $[AB)$ et $[AC)$.

• Configuration « en papillon »

• $M$ appartient à $(AB)$ sans appartenir à $[AB)$ ($M$ et $B$ sont ainsi de part et d’autre de $A$) ;

• $N$ appartient à $(AC)$ sans appartenir à $[AC)$ ($N$ et $C$ sont ainsi de part et d’autre de $A$).

• Remarques

Les remarques suivantes sont vraies pour chaque configuration :

• Les triangles $\textcolor{#7F00FF}{ABC}$ et $\textcolor{#009900}{AMN}$ sont semblables.
• Leurs angles sont deux à deux de même mesure.
• L’un des triangles est l’agrandissement de l’autre (et ce dernier est alors une réduction du premier).
• Les longueurs des côtés homologues sont proportionnelles :

Nous en tirons les égalités du théorème :

$$\textcolor{#FF8000}k=\boxed{\dfrac{\textcolor{#009900}{AM}}{\textcolor{#7F00FF}{AB}} = \dfrac{\textcolor{#009900}{AN}}{\textcolor{#7F00FF}{AC}}= \dfrac{\textcolor{#009900}{MN}}{\textcolor{#7F00FF}{BC}}}$$

Et nous avons aussi :

$$\textcolor{#FF8000} {\dfrac 1k} =\boxed{\dfrac{\textcolor{#7F00FF}{AB}}{\textcolor{#009900}{AM}} =\dfrac{\textcolor{#7F00FF}{AC}}{\textcolor{#009900}{AN}}=\dfrac{\textcolor{#7F00FF}{BC}}{\textcolor{#009900}{MN}}}$$

Calculer des longueurs

À retenir

Pour calculer des longueurs grâce au théorème de Thalès :

• on vérifie que les conditions d’application sont bien vérifiées : points alignés et parallélisme ;
• on écrit les égalités de quotients ;
• on se sert des longueurs connues pour déterminer celles manquantes, en faisant appel par exemple aux produits en croix.

Exemple

On considère l’étrange nœud papillon ci-dessous représenté :

Étrange nœud papillon

Sur cette figure :

• les droites $(NE)$ et $(UD)$ sont sécantes en $O$ ;
• les droites $(NU)$ et $(ED)$ sont parallèles ;
• et on connaît les longueurs suivantes :

$$NU=2\ \text{cm}\qquad UO=3\ \text{cm}\qquad ED=5\ \text{cm}$$

On cherche, en se servant du théorème de Thalès, à déterminer la longueur $OD$, pour en déduire celle de $UD$.

On commence par s’assurer que les conditions d’application de Thalès sont bien vérifiées :

• les points $N$, $O$ et $E$, d’une part, et les points $U$, $O$ et $D$, d’autre part, sont alignés ;
• les droites $(NU)$ et $(DE)$ sont parallèles.
• On est dans une configuration de Thalès, celle « en papillon », on peut donc appliquer le théorème et écrire les égalités de rapports de longueurs :

$$\dfrac{NO}{OE}=\dfrac{UO}{OD}=\dfrac{NU}{ED}$$

Ici, on utilise la dernière égalité, puisque qu’on cherche $OD$ et qu’on connaît les trois autres longueurs :

$$\dfrac{3}{OD}=\dfrac 25$$

• En utilisant les produits en croix, on obtient la longueur $OD$ :

$$OD=\dfrac{3\times 5}2=\boxed{7,5}$$

• Et comme $O$ appartient à $[UD]$, on peut déduire, de $OD$, la longueur $UD$ :

$$UD=UO+OD=3\ \text{cm}+7,5\ \text{cm}=\boxed{10,5\ \text{cm}}$$

Prenons un autre exemple, adapté d’un sujet de brevet (Amérique du Nord, 2011), à l’approche originale, puisqu’il propose une sorte de « Jeopardy » : on a les réponses, il faut trouver les questions posées…

Exemple

Diane a retrouvé au brouillon la représentation de deux triangles « emboîtés », avec quelques annotations :

Représentation des triangles « emboîtés »

Il y a en dessous trois calculs :

$$\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{1.\ }} &12,07-4,97=7,1 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{2.\ }} &\dfrac{5,3\times 12,07}{7,1}=9,01 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{3.\ }} &12,07+10,2+9,01=31,28 \end{aligned}$$

Diane sait qu’elle a eu juste et voudrait retrouver les questions qui étaient posées (pour voir si son père y arriverait aussi…).

1. Calcul $12,07-4,97=7,1$

On commence par chercher à quoi correspondent les valeurs des termes de la soustraction. Ici :

• $12,07$ est la longueur du segment $[BI]$ ;
• $4,97$ est la longueur de $[OB]$.

Diane a donc soustrait $4,97$ à $12,07$. Or, sur la figure, on voit que $O$ appartient à $[BI]$, d’où : $BI-OB=OI$. Diane a donc calculé la longueur $OI$.

• La question 1 est donc :
  Quelle est la longueur du segment $[OI]$ ?

2. Calcul $\frac{5,3\times 12,07}{7,1}=9,01$

On fait comme à la question 1, en repérant à quoi correspondent les valeurs :

• $5,3$ est la longueur du segment $[OT]$ ;
• $12,07$ est la longueur de $[BI]$ ;
• $7,1$ est le résultat obtenu à la question 1, c’est la longueur de $[OI]$.

Le calcul correspond donc à :

$$\dfrac {\red{OT}\times \green{BI}}{\pink{OI}}$$

On reconnaît la forme de produits en croix, que l’on utilise notamment pour déterminer une longueur grâce au théorème de Thalès. Or, on a dans les notes de Diane : $(OT)$ et $(BE)$ sont parallèles, et, sur la figure, les points $I$, $O$ et $B$ sont alignés, de même pour $I$, $T$ et $E$.

• Les triangles $IOT$ et $IBE$ sont en configuration de Thalès.
  On applique donc le théorème de Thalès, en nous intéressant à l’égalité où figurent les longueurs que nous avons identifiées :

$$\boxed{\dfrac{\red{OT}}{BE}=\dfrac{\pink{OI}}{\green{BI}}}=\dfrac{TI}{EI}$$

$BE$ est alors la seule longueur que l’on ne connaît pas. Pour la calculer, en utilisant les produits en croix :

$$\begin{aligned} BE&=\dfrac {\red{OT}\times \green{BI}}{\pink{OI}} \\ &=\dfrac {\red{5,3}\times \green{12,07}}{\pink{7,1}} \\ &=9,01 \end{aligned}$$

On a bien reconnu le calcul de Diane, qui a ainsi déterminé la longueur du segment $[BE]$.

• La question 2 est donc :
  Quelle est la longueur du segment $[BE]$ ?

3. Calcul $12,07+10,2+9,01=31,28$

On reconnaît ici les longueurs des côtés du triangle $BIE$. En calculant leur somme, Diane a donc déterminé le périmètre de $BIE$.

• La question 3 est donc :
  Quel est le périmètre du triangle $BIE$ ?

Application

Nous allons maintenant appliquer le théorème de Thalès à travers un exercice corrigé, repris, lui, d’un sujet de brevet 2012 (Pondichéry).

Énoncé

Manon se tient tout contre le rebord d’un puits, qu’on assimile à un cylindre parfait, de diamètre $75\ \text{cm}$.
Elle aligne son regard pour que le rebord masque juste la ligne du fond.
On considère aussi que le fond du puits et le rebord sont horizontaux.

• Le schéma ci-dessous, qui n’est pas à l’échelle, modélise la situation ; le segment bleu représente le regard de Manon :

• Donner les longueurs $PU$, $IT$ et $ST$.
• Déterminer la profondeur $TU$ du puits.

Corrigé

• Longueurs des segments $[PU]$, $[IT]$ et $[ST]$.

La longueur $PU$ correspond au diamètre du puits ($75\ \text{cm}$) plus l’épaisseur du mur ($20\ \text{cm}$) :

$$PU=75\ \text{cm}+20\ \text{cm}=95\ \text{cm}=\boxed{0,95\ \text{m}}$$

Attention

On a ici converti en mètre et on veillera ensuite à donner toutes les longueurs dans la même unité.

• Cela évitera tout risque de confusion avec les unités.

La longueur $IT$ correspond à la largeur du rebord :

$$IT=20\ \text{cm}=\boxed{0,20\ \text{m}}$$

Enfin, pour calculer $ST$, il faut retrancher à la hauteur du regard de Manon celle du rebord :

$$ST=1,80\ \text{m}-1\ \text{m}=\boxed{0,80\ \text{m}}$$

• Profondeur du puits

Astuce

La première question nous a fait calculer des longueurs. De plus, l’énoncé précise que le fond du puits et le rebord sont horizontaux : ils sont donc parallèles.

• On doit alors penser au théorème de Thalès, et voir si l’on ne reconnaît pas une configuration de connue.

Vérifions si l’on peut appliquer le théorème de Thalès dans notre situation (on peut aussi identifier les longueurs que la question 1 nous a fait calculer, et noter laquelle est recherchée) :

On reconnaît la configuration de Thalès des « triangles emboîtés », avec $SIT$ et $SPU$. En effet :

• d’une part, les points $S$, $I$ et $P$ sont alignés ;
• d’autre part, les points $S$, $T$ et $U$ sont alignés ;
• de plus, on sait, par l’énoncé, que les droites $(IT)$ et $(PU)$ sont parallèles.
• Les conditions sont vérifiées, on peut appliquer le théorème de Thalès, et on a les égalités :

$$\dfrac {IT}{PU}=\dfrac {ST}{SU}=\dfrac {SI}{SP}$$

Pour trouver $TU$, on détermine $SU$, car $SU=TU+ST$.
On connaît les longueurs $IT$, $PU$ et $ST$, on choisit donc l’égalité des rapports $\frac{IT}{PU}$ et $\frac{ST}{SU}$ :

$$\begin{aligned} \dfrac{IT}{PU}&=\dfrac{ST}{SU} \\ \dfrac{0,2}{0,95}&=\dfrac{0,8}{SU} \\ \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ :\ }} SU&=\dfrac{0,95\times 0,8}{0,2} \\ &=3,8 \end{aligned}$$

On peut maintenant calculer $TU$ :

$$TU=SU-ST=3,8-0,8 = \boxed{3}$$

• La profondeur du puits est de $3$ mètres.

Montrer que deux droites sont parallèles avec la réciproque du théorème de Thalès

Énoncé de la réciproque du théorème de Thalès

Théorème

Réciproque du théorème de Thalès :

On considère cinq points $A$, $B$, $C$, $M$ et $N$ tels que $A$, $B$ et $M$, d’une part, et $A$, $C$ et $N$, d’autre part, sont alignés dans le même ordre.

Si $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$, alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.

À retenir

On peut aussi conclure que $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles si on a $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}$ ou $\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$.

Dans la pratique, après avoir vérifié l’alignement des points et leur ordre, on choisira l’égalité de quotients à vérifier en fonction des longueurs connues. Puis :

• si l’égalité est vraie, alors, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles ;
• sinon, $(BC)$ et $(MN)$ ne sont pas parallèles.

Astuce

Il est intéressant de retenir quel énoncé est utilisé dans quel cas.

• On calcule des longueurs en se servant du parallélisme de deux droites ?
• Théorème de Thalès.
• On montre à partir d’une égalité entre rapports de longueurs que deux droites sont parallèles ?
• Réciproque du théorème de Thalès.
• On montre à partir de deux rapports de longueurs différents que deux droites ne sont pas parallèles ?
• Contraposée du théorème de Thalès.
  (C’est en fait une conséquence du théorème.)

Application

Terminons ce cours par un exercice corrigé, lui aussi adapté d’un sujet de brevet (Pondichéry, 2011).

Énoncé

Un silo à grains peut être modélisé par un cône surmonté d’un cylindre de même axe de révolution vertical. Pour effectuer des travaux, une agricultrice a posé deux échelles contre le silo, l’une au-dessus de l’autre.
On donne ci-dessous une représentation du silo vue de profil (la surface latérale du cylindre est ainsi représentée par un rectangle, et celle du cône par un triangle), et les échelles sont représentées par les segments $[EL]$ et $[SI]$. Certaines longueurs sont aussi précisées.

Les échelles sont-elles parallèles ?

Corrigé

Astuce

La question porte sur le parallélisme ; des longueurs sont données dans l’énoncé ; enfin, on voit se dessiner deux triangles « emboîtés » : $OLE$ et $OIS$.

• Le réflexe à avoir est de penser immédiatement à la réciproque du théorème de Thalès.

On regarde quelles longueurs sont connues, ou calculables, pour décider de l’égalité de rapports à vérifier.

Les points $O$, $E$ et $S$, d’une part, et les points $O$, $L$ et $I$, d’autre part, sont alignés dans le même ordre.

On connaît les longueurs $OL=0,80\ \text{m}$ et $OI=2\ \text{m}$, ainsi que celle de $OE=1,60\ \text{m}$ (c’est la hauteur du cône), qui sont directement données par l’énoncé. On vérifie aussi que les longueurs soient bien exprimées dans la même unité.
Quant à la longueur $OS$, c’est la hauteur du silo, que l’on peut calculer en effectuant la somme des hauteurs du cône et du cylindre :

$$OS=OE+ES=1,6\ \text{m}+2,4\ \text{m}=4\ \text{m}$$

On peut donc calculer les rapports de longueurs $\frac{OE}{OS}$ et $\frac{OL}{OI}$ :

$$\begin{aligned} \dfrac{OE}{OS}&=\dfrac {1,6}{4}=\green{0,4} \\ \dfrac{OL}{OI}&=\dfrac {0,8}2=\green{0,4} \end{aligned}$$

Les deux rapports sont égaux, et l’égalité de Thalès est vérifiée.

• D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(SI)$ et $(EL)$ sont parallèles.
  Les échelles sont donc parallèles.

Astuce

Si les rapports avaient été différents, nous aurions alors conclu que, par conséquence du théorème de Thalès (et plus précisément de sa contraposée), les deux droites n’étaient pas parallèles.