Utiliser le théorème de Thalès

Théorème de Thalès

On considère cinq points distincts $A$, $B$, $C$, $M$ et $N$ tels que :

• $A$, $B$ et $M$, d’une part, sont alignés ;
• $A$, $C$ et $N$, d’autre part, sont alignés.

Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors les quotients suivants sont égaux :

$$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac {AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$$

• La longueur des côtés du triangle $AMN$ est proportionnelle à la longueur des côtés du triangle $ABC$.

Calculer des longueurs grâce au théorème de Thalès :

• Vérifier que les conditions d’application sont bien vérifiées : points alignés et parallélisme ;
• Écrire les égalités de quotients ;
• Se servir des longueurs connues pour déterminer celles manquantes, en faisant appel par exemple aux produits en croix.

Réciproque du théorème de Thalès

• Soient $(d)$ et $(d')$ deux droites sécantes en $A$ ;
• soient $B$ et $M$ deux points de $(d)$ distincts de $A$ ;
• soient $C$ et $N$ deux points de $(d')$ distincts de $A$.

Si $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ ou $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}$ ou $\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AN}{AC}$ et si les points $A$, $B$, $M$ et les points $A$, $C$, $N$ sont alignés dans cet ordre, alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.

Quel énoncé utiliser ?

On calcule des longueurs en se servant du parallélisme de deux droites ?

• Théorème de Thalès.

On montre à partir d’une égalité entre rapports de longueurs que deux droites sont parallèles ?

• Réciproque du théorème de Thalès.

On montre à partir de deux rapports de longueurs différentes que deux droites ne sont pas parallèles ?

• Contraposée du théorème de Thalès.
  (C’est en fait une conséquence du théorème.)