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Nombres entiers : multiples, diviseurs et nombres premiers

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Introduction :

L’ensemble des nombres entiers est le premier ensemble de nombres qui a été utilisé : il y a presque vingt mille ans, il servait déjà à compter les individus, les objets ou les animaux.
Nous allons découvrir quelles sont les propriétés de cet ensemble : nous étudierons dans un premier temps les entiers naturels et relatifs, puis le rapport entre divisibilité et parité, et enfin ce que sont les nombres premiers et quelle est leur utilité.

Les entiers naturels et les entiers relatifs

L’ensemble des entiers naturels

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Définition

Ensemble des entiers naturels :

Un nombre entier naturel est un nombre entier positif.

  • L’ensemble des entiers naturels est noté : N\mathbb N.

N={0 ;1 ;2 ;}\mathbb N =\lbrace 0\ ;\, 1\ ;\, 2\ ;\, …\rbrace

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Propriété

  • L’ensemble N\mathbb N n’a pas de fin : il y a un nombre infini d’entiers naturels.
  • En effet, si ce n’était pas le cas, il y aurait un plus grand nombre, mais, comme on pourrait lui ajouter 11, alors il y en aurait un plus grand. Ce serait donc une contradiction.
  • L’ensemble des nombres entiers comporte un plus petit élément qui est 00, mais n’a pas de plus grand élément.

L’ensemble des entiers relatifs

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Définition

Ensemble des entiers relatifs :

Un nombre entier relatif est un nombre entier positif ou négatif.

  • L’ensemble des entiers relatifs est noté : Z\mathbb Z.

Z={ ;2 ;1 ;0 ;1 ;2 ;}\mathbb Z =\lbrace …\ ;\, -2\ ;\, -1\ ;\, 0\ ;\, 1\ ;\, 2\ ;\, …\rbrace

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Propriété

  • Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs.
  • N\mathbb N est inclus dans Z\mathbb Z : NZ\mathbb N \subset \mathbb Z.
  • Le nombre d’entiers relatifs est infini et leur ensemble n’a pas de plus petit élément ni de plus grand élément.

Le schéma ci-dessous représente l’inclusion de l’ensemble des entiers naturels dans celui des entiers relatifs.

Inclusion des nombres entiers dans les nombres relatifs Inclusion des nombres entiers dans les nombres relatifs

Multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs

Les diviseurs et multiples d’un entier

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Définition

Multiple et diviseur d’un nombre entier :

Soit aa et bb deux entiers relatifs.
Si le reste de la division euclidienne de aa par bb est nul, autrement dit, s’il existe un entier kk tel que : a=k×ba=k\times b, alors :

  • aa est un multiple de bb ;
  • bb est un diviseur de aa.
  • On dit aussi que aa est divisible par bb.
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À retenir

Réciproquement, si aa est un multiple de bb (ou si bb est un diviseur de aa), alors il existe un entier relatif kk tel que : a=k×ba=k\times b.

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Exemple

Nous avons : 35=7×535=7\times 5.

  • 3535 est un multiple de 77, car 35=7×k35=7\times k, avec k=5k=5.
  • Et 77 est un diviseur de 3535.

Nous avons : 108=6×18108=6\times 18.

  • 108108 est un multiple de 1818, car 108=18×k108=18\times k, avec k=6k=6.
  • Et 1818 est un diviseur de 108108.
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Propriété

Un nombre entier possède un nombre fini de diviseurs, mais un nombre infini de multiples.

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Propriété

La somme de deux multiples d’un nombre aa est un multiple de aa.

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Démonstration

Soit aa un entier relatif non nul.
Soit bb et cc deux multiples de aa.

bb est un multiple de aa.

  • Il existe donc un entier relatif pp tel que : b=p×ab=p\times a.

cc est un multiple de aa.

  • Il existe donc un entier relatif qq tel que : c=q×ac=q\times a.

Nous obtenons :

b+c=(p×a)+(q×a)=a×(p+q) [en factorisant par a]=a×k [en posant k=p+q]\begin{aligned} b+c&=(p\times a)+(q\times a) \ &=a\times (p+q) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en factorisant par aa]}}} \ &=a\times k \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en posant k=p+qk=p+q]}}} \end{aligned}

Comme somme de deux entiers, $k=p+q$ est aussi un entier.
Il existe donc un entier relatif kk tel que : b+c=k×ab+c=k\times a.

  • b+cb+c est donc un multiple de aa.

Les critères de divisibilité

Pour déterminer si un entier relatif aa est divisible par un entier relatif bb, on peut toujours effectuer la division euclidienne de aa par bb et regarder si le reste est égal à 00.
Il existe cependant quelques règles qui permettent de reconnaître rapidement les entiers relatifs divisibles par 22, 33, 44, 55, 99 et 1010.

  • Un nombre entier est divisible par 22 si et seulement si son chiffre des unités est pair : 00, 22, 44, 66 ou 88.
  • Un nombre entier est divisible par 33 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 33.
  • Un nombre entier est divisible par 44 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 44.
  • Un nombre entier est divisible par 55 si et seulement si son chiffre des unités est 00 ou 55.
  • Un nombre entier est divisible par 99 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 99.
  • Un nombre entier est divisible par 1010 si et seulement si son chiffre des unités est 00.
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Exemple

102102 est divisible par :

  • 22, car il se termine par 22 ;
  • 33, car la somme de ses chiffres 1+0+2=31+0+2=3 est divisible par 33.

Le nombre 120120 est divisible par :

  • 22, car il se termine par 00 ;
  • 33, car la somme de ses chiffres 1+2+0=31+2+0=3 est divisible par 33 ;
  • 44, car 2020 est divisible par 44 ;
  • 55, car il se termine par 00 ;
  • 1010, car il se termine par 00.

Le nombre 20342\,034 est divisible par :

  • 22, car il se termine par 44 ;
  • 33, car la somme de ses chiffres 2+0+3+4=92+0+3+4=9 est divisible par 33 ;
  • 99, car la somme de ses chiffres est aussi divisible par 99.

Les nombres pairs et impairs

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Définition

Nombres pairs et impairs :

  • Les nombres entiers pairs sont les nombres divisibles par 22, soit les multiples de 22.
  • Les nombres entiers impairs sont les nombres qui ne sont pas divisibles par 22.
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Propriété

  • Comme tout nombre pair est un multiple de 22, aa est pair si et seulement si le reste de la division euclidienne de aa par 22 est nul.
  • Autrement dit : aa est pair si et seulement si il existe un entier relatif kk tel que : a=2ka=2k.
  • Comme tout nombre impair n’est pas divisible par 22, aa est impair si et seulement si le reste de la division euclidienne de aa par 22 est égal à 11.
  • Autrement dit : aa est impair si et seulement si il existe un entier relatif kk tel que : a=2k+1a=2k+1.
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Exemple

336=2×168336=2\times 168.

  • 336336 est pair, car 336=2×k336=2\times k, avec k=168k=168.

521=520+1=2×260+1521=520+1=2\times 260+1.

  • 521521 est impair car 521=2k+1521=2k+1, avec k=260k=260.

Nous avons aussi : 0=2×00=2\times 0.
00 est un nombre relatif, donc 00 est pair.

  • Remarquons qu’on considère que 00 est un multiple de tous les entiers, car, pour tout entier relatif aa : 0=a×00=a\times 0.
  • En revanche, 00 n’est un diviseur d’aucun nombre entier.

La parité de la somme de deux nombres entiers suit le principe donné par le tableau suivant.

Parité du premier nombre Parité du second nombre Parité de la somme
Pair Pair Pair
Pair Impair Impair
Impair Pair Impair
Impair Impair Pair

La parité du produit de deux nombres entiers suit le principe donné par le tableau suivant.

Parité du premier nombre Parité du second nombre Parité du produit
Pair Pair Pair
Pair Impair Pair
Impair Pair Pair
Impair Impair Impair
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Propriété

Le carré d’un nombre impair est impair.

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Démonstration

Soit aa un entier relatif impair.

Comme $a$ est impair, il existe un entier relatif kk tel que : a=2k+1a=2k+1.
Nous avons donc :

a2=(2k+1)2=(2k)2+2×2k×1+12 [car (m+n)2=m2+2mn+n2]=4k2+4k+1=2×(2k2+2k)+1=2×k+1 [en posant k=2k2+2k]\begin{aligned} a^2&=(2k+1)^2 \ &=(2k)^2+2\times 2k\times 1+1^2 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$]}}} \ &=4k^2+4k+1 \ &=2\times (2k^2+2k)+1 \ &=2\times k^{\prime} +1 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en posant $k^{\prime}=2k^2+2k$]}}} \end{aligned}

Comme produit et somme de nombres entiers, kk^{\prime} est aussi un nombre entier.
Il existe donc un entier relatif kk^{\prime} tel que : a2=2k+1a^2=2k^{\prime}+1.

  • a2a^2 est donc aussi un nombre impair.

Les nombres premiers

Dans l’ensemble des entiers naturels, une place est particulière faite aux nombres premiers, et ce depuis l’Antiquité. Nous allons voir maintenant comment les reconnaître et étudier quelques-unes de leurs propriétés.

  • Dans cette partie, nous travaillerons dans l’ensemble des entiers naturels N\mathbb N.
    Nous ne considérerons pas les diviseurs négatifs d’un nombre.

Définition

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Définition

Nombre premier :

Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs distincts : 11 et lui-même.

Un nombre premier a donc exactement deux diviseurs distincts.

  • 00 a tous les nombres comme diviseurs.
  • 11 n’a que lui-même comme diviseur.
  • 00 et 11 ne sont pas premiers.
  • 22 a exactement deux diviseurs : 11 et 22.
  • 22 est un nombre premier.
  • 22 est le seul nombre pair qui est premier.

Tous les nombres premiers strictement supérieurs à 22 sont impairs. (Mais, bien sûr, tous les nombres impairs ne sont pas premiers.)

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Exemple

  • 33, 55, 77 sont des nombres premiers.
  • 99 n’est pas un nombre premier, car il a trois diviseurs : 11, 33 et 99.
  • 3737 est un nombre premier, car seuls 11 et 3737 sont des diviseurs de 3737.
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À retenir

Il est utile de connaître les nombres premiers inférieurs à 100100.

  • Nous les donnons dans le tableau ci-dessous.

22 33 55 77 1111
1313 1717 1919 2323 2929
3131 3737 4141 4343 4747
5353 5959 6161 6767 7171
7373 7979 8383 8989 9797

Méthode de reconnaissance des nombres premiers

Pour montrer qu’un nombre est premier, nous allons nous servir de la propriété suivante, que nous admettons.

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Propriété

Soit nn un nombre entier naturel strictement supérieur à 11.
Si nn n’admet aucun diviseur premier inférieur à n\sqrt n, alors nn est un nombre premier.

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Exemple

Regardons si le nombre 157157 est un nombre premier.

Nous voulons savoir si le nombre 157157 est premier.
Nous testons alors la divisibilité de 157157 par tous les nombres premiers inférieurs à 15712,5\sqrt{157}\approx 12,5

  • Il y a : 22, 33, 55 ; 77 et 1111.
  • En utilisant les critères de divisibilité, nous prouvons que 157157 n’est divisible ni par 22, ni par 33, ni par 55.
  • Testons la divisibilité par 77 : la division euclidienne de 157157 par 77 donne :

157=7×22+3157=7\times22+3

  • Le reste n’est pas nul, donc 157157 n’est pas divisible par 77.
  • Testons la divisibilité par 1111 :

157=11×14+3157=11 \times14+3

  • Le reste n’est pas nul, donc 157157 n’est pas divisible par 1111.
  • Ainsi, 157157 n’est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs à 157\sqrt{157}.
  • En utilisant la propriété ci-dessus, nous avons donc prouvé que 157157 est un nombre premier.

Décomposition des nombres entiers

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Propriété

Tout entier naturel non premier (et strictement supérieur à 11) peut s’écrire sous la forme d’un produit de nombres premiers.

  • On dit alors qu’il est décomposé en produit de facteurs premiers et cette décomposition est unique.

À travers un exemple, nous allons donner une méthode pour décomposer un nombre non premier en produit de facteurs premiers.

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Exemple

Nous voulons décomposer 53555\,355 en produit de facteurs premiers. (Il n’est pas premier, puisque nous voyons immédiatement qu’il est au moins divisible par 55.)
Pour cela :

  • nous allons regarder si 53555\,355 est divisible par les nombres premiers de manière croissante :
  • si ce n’est pas le cas, nous testerons avec le nombre premier suivant ;
  • si c’est le cas, nous effectuerons la division euclidienne et obtiendrons le quotient correspondant,
  • dans ce dernier cas, nous testerons la divisibilité de ce quotient par le même nombre premier et, comme à l’étape précédente, nous effectuerons la division ou testerons avec le nombre premier suivant ;
  • et ainsi de suite jusqu’à obtenir un quotient égal à 11.

Commençons donc.

  • 53555\,355 est impair, il n’est donc pas divisible par 22.
  • Nous testons sa divisibilité par le nombre premier suivant : 33.

5+3+5+5=185+3+5+5=18 est un multiple de 33. Donc 53555\,355 est divisible par 33.

  • La division euclidienne de 53555\,355 par 33 donne :

5355=3×17855\, 355 =3\times1\,785

  • Testons la divisibilité de 17851\,785 de nouveau par 33.

1+7+8+5=211+7+8+5=21 est un multiple de 33. 17851\,785 est donc divisible par 33.

  • La division euclidienne de 17851\,785 par 33 donne :

1785=3×5951\,785=3\times595

  • 595595 n’est pas divisible par 33, mais il est divisible par 55.
  • La division euclidienne de 595595 par 55 donne :

595=5×119595=5\times 119

  • 119119 n’est pas divisible par 55, mais il est divisible par 77.
  • La division euclidienne de 119119 par 77 donne :

119=7×17119=7\times 17

  • 1717 n’est pas divisible par 77, ni par 1111, ni par 1313, mais il est divisible par 1717.
  • Le division euclidienne de 1717 par 1717 donne :

17=17×117=17\times 1

  • Nous sommes arrivés à un quotient égal à 11.
  • Nous pouvons nous arrêter.

Pour schématiser ces divisions successives, nous pouvons les noter dans un tableau.

Quotient Division par
53555\,355 33
17851\,785 33
595595 55
119119 77
1717 1717
11
  • Nous lisons donc dans la colonne de droite la décomposition de 53555\,355 en produit de facteurs premiers :

5355=3×3×5×7×175\,355= 3\times 3\times5\times7\times17

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Astuce

Parfois, la décomposition peut être assez évidente et on peut la faire rapidement :

99=9×11=3×3×11300=3×100=3×4×25=3×2×2×5×5=2×2×3×5×5 [c’est mieux de les ranger par ordre croissant]\begin{aligned} 99&=9\times 11 \ &=3\times 3\times 11 \ \ 300&=3\times 100 \ &=3\times 4\times 25 \ &=3\times 2\times 2\times 5\times 5 \ &=2\times 2\times 3\times 5\times 5 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [c’est mieux de les ranger par ordre croissant]}}} \end{aligned}

Simplification des fractions

La décomposition des entiers naturels en produits de facteurs de nombres premiers permet de simplifier les fractions pour obtenir des fractions irréductibles.
On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis on simplifie jusqu’à ce qu’ils soient composés de facteurs premiers différents.

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Exemple

Soit la fraction 27036\frac{270}{36}.
Servons-nous de la méthode donnée précédemment pour décomposer en produit de facteurs premiers 270270 et 3636.

  • Nous pouvons cette fois mettre directement les résultats des divisions dans un tableau.

Quotient Division par
270270 22
135135 33
4545 33
1515 33
55 55
11

270=2×3×3×3×5\boxed{270=2\times 3\times3\times3\times5}

Quotient Division par
3636 22
1818 22
99 33
33 33
11

36=2×2×3×3\boxed{36=2\times 2\times3\times3}

  • Nous obtenons ainsi :

27036=2×3×3×3×52×2×3×3=3×52=152\begin{aligned} \dfrac{270}{36}&=\dfrac {\green 2\times \green 3\times \green 3\times 3\times 5}{\green 2\times 2\times \green 3\times \green 3} \ &=\dfrac {3\times 5}2 \ &=\dfrac {15}2 \end{aligned}

Conclusion :

Revoir les ensembles des entiers naturels et des entiers relatifs, avant de définir les multiples et les diviseurs d’un nombre entier nous a permis d’aborder les nombres premiers.
Ceux-ci ont une place fondamentale en recherche mathématique, car les grands nombres premiers ont de nombreuses applications, par exemple en cryptographie.