Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Utiliser les notions de multiple, de diviseur et de nombre premier

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Introduction :

L’ensemble des nombres entiers est le premier ensemble de nombres qui a été utilisé : il servait à compter les individus, les objets ou les animaux il y a presque 20 000 ans.
Nous allons découvrir quelles sont les propriétés de cet ensemble : nous étudierons dans un premier temps les entiers naturels et relatifs, puis le rapport entre divisibilité et parité, et enfin ce que sont les nombres premiers et quelle est leur utilité.

Les entiers naturels et les entiers relatifs

L’ensemble N\mathbb N

bannière definition

Définition

Entier naturel :

Les nombres entiers naturels, ou entiers positifs, permettent de compter des collections d’objets. Tous les entiers naturels forment un ensemble noté N={0;1;2;}\mathbb N =\lbrace 0; 1; 2; …\rbrace.

bannière propriete

Propriété

  • L’ensemble N\mathbb N n’a pas de fin : on dit que la quantité d’entiers naturels est infinie. En effet si ce n’était pas le cas il y aurait un plus grand nombre mais comme on pourrait lui ajouter 11 alors ce serait une contradiction.
  • Les nombres entiers naturels peuvent être pairs ou impairs.
  • L’ensemble des nombres entiers comporte un plus petit élément qui est 00 mais n’a pas de plus grand élément.

L’ensemble Z\mathbb Z

bannière definition

Définition

Entier relatif :

Un nombre entier relatif est un entier naturel doté d’un signe ++ (on dit que l’entier est positif) ou - (on dit qu’il est négatif). Tous les entiers relatifs forment un ensemble noté Z={;2;1;0;1;2;}\mathbb Z =\lbrace …; -2; -1; 0; 1; 2; …\rbrace.

bannière propriete

Propriété

  • Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs : on dit que N\mathbb N est inclus dans Z\mathbb Z.
  • La quantité de nombres relatifs est infini et n’a pas de plus petit élément ni de plus grand élément.

Le schéma ci-dessous représente l’inclusion des nombres entiers dans les nombres relatifs.

Inclusion des nombres entiers dans les nombres relatifs Inclusion des nombres entiers dans les nombres relatifs

Les multiples, les diviseurs, les nombres pairs et impairs

Dans la suite du cours on considérera uniquement l’ensemble des nombres naturels N\mathbb N sachant que toutes les propriétés sont valables pour l’ensemble des entiers relatifs Z\mathbb Z.

Les diviseurs et multiples d’un entier

bannière definition

Définition

Diviseur d’un nombre entier :

Un entier naturel bb est un diviseur de l'entier naturel aa lorsque le reste de la division euclidienne de aa par bb est égal à 00. Il existe alors un entier naturel qq tel que a=b×qa = b\times q.

bannière definition

Définition

Multiples d’un nombre entier :

Un entier naturel aa est multiple d'un entier naturel bb si l'on peut trouver aa en multipliant bb par un nombre entier. Il existe alors un entier naturel kk tel que a=b×ka=b\times k.

bannière exemple

Exemple

  • 77 est un diviseur de 3535 car 7×5=357\times 5=35.
  • 66 est un diviseur de 108108 car 6×18=1086\times 18=108.
  • 3535 est un multiple de 55 car 7×5=357\times 5=35.
  • 108108 est un multiple de 66 car 6×18=1086\times 18=108.
bannière propriete

Propriété

  • aa est un multiple de bb.
  • aa est divisible par bb (bb est un diviseur de aa).
  • La différence de deux multiples d’un nombre aa est un multiple de aa.
  • La somme de deux multiples d’un nombre aa est un multiple de aa.
bannière demonstration

Démonstration

La somme de deux multiples d’un nombre aa est un multiple de aa :

  • On considère un nombre entier aa et deux multiples bb et cc de aa. Il existe alors deux entiers kk et mm tels que b=k×ab=k\times a et c=m×ac = m\times a.
  • Donc en factorisant on obtient b+c=k×a+m×a=a×(k+m)b+c= k\times a+m\times a=a\times (k+m).
  • D’où b+cb+c est un multiple de aa 
  • Conclusion : la somme de deux multiples d’un nombre aa est un multiple de aa.

Les critères de divisibilité

Pour déterminer si un entier naturel aa est divisible par un entier naturel bb, on peut toujours effectuer la division euclidienne de aa par bb et regarder si le reste est égal à 00. Mais il existe cependant quelques règles qui permettent de reconnaître rapidement les entiers naturels divisibles par 22, par 33, par 44, par 55, par 99 ou par 1010 :

  • Les nombres entiers qui se terminent par 00, 22, 44, 66 ou 88 sont divisibles par 22.
  • Un nombre entier est divisible par 22 si et seulement si son chiffre des unités est pair : 00, 22, 44, 66 ou 88.
  • Un nombre entier est divisible par 33 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 33.
  • Un nombre entier est divisible par 44 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 44.
  • Un nombre entier est divisible par 55 si et seulement si son chiffre des unités est 00 ou 55.
  • Les nombres entiers dont la somme des chiffres est divisible par 99 sont eux-mêmes divisibles par 99.
  • Un nombre entier est divisible par 1010 si et seulement si son chiffre des unités est 00.
  • Un nombre entier est divisible par 99 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 99.
bannière exemple

Exemple

  • Le nombre 102102 est divisible par :
  • 22 car il se termine par 22
  • 33 car la somme de ses chiffres est divisible par 33 : 1+0+2=31+0+2=3
  • Le nombre 120120 est divisible par :
  • 55 car il se termine par 55
  • 1010 car il se termine par 00
  • Le nombre 20342\,034 est divisible par :
  • 22 car il se termine par 44
  • 33 car la somme de ses chiffres 2+0+3+4=92+0+3+4=9 est divisible par 33
  • 99 car la somme de ses chiffres 2+0+3+4=92+0+3+4=9 est divisible par 99
  • Le nombre 2727 est divisible par :
  • 33 car la somme de ses chiffres 2+7=92+7=9 est divisible par 33
  • 99 car la somme de ses chiffres 2+7=92+7=9 est divisible par 99
  • Le nombre impair 3737 n’est pas divisible par 22, 33, 55, 99 ni 1010.

Un nombre entier aa un nombre fini de diviseurs mais un nombre infini de multiples.

Les nombres pairs et impairs

bannière definition

Définition

Nombres pairs :

Les nombres entiers pairs sont les nombres divisibles par 22. Ils se terminent par 00, 22, 44, 66 ou 88.

bannière definition

Définition

Nombres impairs :

Les nombres entiers impairs sont les nombres non divisibles par 22. Ils se terminent par 11, 33, 55, 77 ou 99.

bannière exemple

Exemple

  • 00, 22, 1818 ou encore 336336 sont des nombres pairs.
  • 11, 33, 1515 ou encore 521521 sont des nombres impairs.
bannière propriete

Propriété

  • Tout nombre pair est un multiple de 22. D’où pour tout nombre entier pair aa il existe un nombre entier kk tel que a=2ka=2k.
  • Tout nombre impair succède à un nombre pair. Tout nombre entier impair bb peut s’écrire b=2m+1b=2m+1 où m est un nombre entier.

La parité de la somme de deux nombres entiers suit ce principe :

Parité du premier nombre Parité du second nombre Parité de la somme
Pair Pair Pair
Pair Impair Impair
Impair Pair Impair
Impair Impair Pair

La parité du produit de deux nombres entiers suit ce principe :

Parité du premier nombre Parité du second nombre Parité du produit
Pair Pair Pair
Pair Impair Pair
Impair Pair Pair
Impair Impair Impair
bannière demonstration

Démonstration

Le carré d’un nombre pair est également pair :

On considère un nombre entier aa pair. Il existe alors un entier kk tels que a=2ka=2k. D’où a2=(2k)2=4k2a^2=(2k)^2=4k^2.
On a alors a2=2×2k2a^2=2\times 2k^2 et ainsi a2a^2 est multiple de 22, c’est un nombre pair.

Les nombres premiers

La majorité des nombres se comportent selon des règles simples et claires ; les nombres pairs et impairs s’alternent, les multiples de 33 apparaissent tous les trois nombres mais les nombres premiers, eux, apparaissent où ils veulent, sans prévenir, d’une façon tout à fait imprévisible et sans suivre la moindre règle. Nous allons voir maintenant comment les reconnaître et étudier quelques unes de leurs propriétés.

Définition

bannière definition

Définition

Nombre premier :

Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs : 11 et lui-même.

bannière attention

Attention

Un nombre premier a deux diviseurs, ce qui veut dire qu’ils sont distincts. Ainsi 11 n’est pas un nombre premier, par contre 22 est un nombre premier car il a deux diviseurs : 11 et 22.

bannière exemple

Exemple

  • 3737 est un nombre premier car seuls 11 et 3737 sont des diviseurs de 3737.
  • 22, 33, 55, 77, 1111 sont des nombres premiers.
  • 44 n'est pas un nombre premier car il a trois diviseurs : 11, 44 et 22.

On peut remarquer que tous les nombres premiers supérieurs à 22 sont impairs, mais cela ne veut pas dire que tous les nombres impairs sont des nombres premiers. Par exemple 2727, 6363 et 8181 sont des entiers impairs mais sont tous divisibles par 99.

Méthode de reconnaissance des nombres premiers

Pour montrer qu’un nombre est premier, il suffit de vérifier qu’il n’est pas divisible par un nombre premier inférieur à sa racine carrée.

bannière exemple

Exemple

Le nombre 157157 est-il un nombre premier ?

Comme 15712,52\sqrt{157}\approx 12,52 alors il suffit de vérifier s’il n’est pas divisible par un de ces nombres premiers : 22 ; 33 ; 55 ; 77 et 1111.
Les critères de divisibilité montrent que 157157 n’est pas divisible par 22 ; 33 et 55. On remarque aussi que 157=7×22+3157 = 7\times 22+3 et que 157=11×14+3:157157=11\times 14+3 : 157 n’est donc pas divisible par 77 ou par 1111 car les restes par la division euclidienne sont non nuls. On peut conclure que 157157 est un nombre premier.

Décomposition des nombres entiers

bannière propriete

Propriété

Tout entier naturel non premier peut s'écrire sous la forme d'un produit de nombres premiers. On dit alors qu'il est décomposé en produit de facteurs premiers.

Il existe deux méthodes pour décomposer un nombre non premier :

  • Pour décomposer par exemple le nombre 540540, on l’écrit sous forme de produit de nombres puis on recommence avec les facteurs tant que c’est possible :
  • 540=2×270=2×2×135=2×2×3×45=2×2×3×3×3×5=22×33×5\begin{aligned} 540&=2\times 270 \ &=2\times 2\times 135 \ &=2\times 2\times 3\times 45 \ &=2\times 2\times 3\times 3\times 3\times 5 \ &=2^2\times 3^3\times 5 \end{aligned}
  • On effectue des divisions successives de 540540 par exemple par les nombres premiers comme 22, 33,55, 77, 1111, ou tous les autres tant que c'est possible et on place les résultats dans un tableau :

540540 22
270270 22
135135 33
4545 33
1515 33
55 55
11
  • En prenant les nombres de la colonne de droite, on se rend compte qu’on a :
    540=2×270=2×2×3×3×3×5=22×33×5\begin{aligned} 540&=2\times 270 \ &=2\times 2\times 3\times 3\times 3\times 5 \ &=2^2\times3^3\times5 \end{aligned}

Simplification des fractions

La décomposition des entiers naturels en produits de facteurs de nombres premiers permet de simplifier les fractions au maximum afin de les rendre irréductibles. On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis on simplifie jusqu'à ce qu'ils soient composés de facteurs premiers différents.

bannière exemple

Exemple

Soit la fraction 3228\dfrac{32}{28} :
On a 28=22×728=2^2\times7 et 36=22×3236=2^2\times3^2.
Ainsi 3228=22×3222×7=327=97\dfrac{32}{28}=\dfrac{2^2×3^2}{2^2×7}=\dfrac{3^2}{7}=\dfrac{9}{7}.
97\dfrac{9}{7} est une fraction irréductible.

Conclusion :

Comme pour toutes les réalités, il existe des systèmes de classification des nombres : ceux-ci font partie d’ensembles successifs inclus les uns dans les autres. Chaque ensemble permet de délimiter des propriétés des nombres qu’il contient.

La découverte des nombres premiers et leur utilisation dans la décomposition des autres nombres en facteurs premiers est très utile pour simplifier les calculs fractionnaires et de façon générale les formules mathématiques. Ces nombres particuliers servent également pour la cryptographie (codage d’informations).