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Nombres entiers : multiples, diviseurs et nombres premiers

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Les entiers naturels et les entiers relatifs

  • Les nombres entiers naturels ou entiers positifs forment un ensemble noté N\mathbb N.
  • N\mathbb N n’a pas de fin : le nombre d’entiers naturels est infini.
  • N\mathbb N comporte un plus petit élément qui est 00, mais n’a pas de plus grand élément.
  • Les nombres entiers relatifs peuvent être positifs ou négatifs, et forment un ensemble noté Z\mathbb Z.
  • Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs : NZ\mathbb N\subset \mathbb Z.
  • Z\mathbb Z est infini, il n’a pas de plus petit élément ni de plus grand élément.

Les multiples, les diviseurs, les nombres pairs et impairs

  • Soit aa, bb et kk trois entiers relatifs tels que : a=k×ba=k\times b.
  • aa est un multiple de bb (et de kk).
  • bb est un diviseur de aa (kk est aussi un diviseur de aa).
  • aa est divisible par bb (et kk).
  • La somme de deux multiples d’un entier aa est un multiple de aa.
  • aa est pair si et seulement si il existe un entier relatif kk tel que a=2ka=2k.
  • aa est impair si et seulement si il existe un entier relatif kk tel que a=2k+1a=2k+1.
  • Parité des sommes et des produits :
  • la somme de deux nombres pairs est paire ;
  • la somme de deux nombres impairs est paire ;
  • la somme d’un nombre pair et d’un nombre impair est impaire ;
  • le produit de deux nombres pairs est pair ;
  • par conséquent, le carré d’un nombre pair est pair ;
  • le produit de deux nombres impairs est impair ;
  • par conséquent, le carré d’un nombre impair est impair ;
  • le produit d’un nombre pair et d’un nombre impair est pair.

Les nombres premiers

  • Un nombre premier est un entier naturel qui a deux diviseurs distincts : 11 et lui-même.
  • Pour montrer qu’un nombre est premier, il suffit de vérifier qu’il n’est pas divisible par un nombre premier inférieur à sa racine carrée.
  • Tout entier naturel non premier peut s'écrire sous la forme d'un produit de nombres premiers.
  • On dit alors qu'il est décomposé en produit de facteurs premiers.
  • La décomposition des entiers naturels en produits de facteurs de nombres premiers permet de simplifier une fraction pour obtenir une fraction irréductible.
bannière exemple

Exemple

Méthodologie :

Nous voulons simplifier la fraction 27036\frac{270}{36}.

  • Décomposons en produit de facteurs premiers 270270 et 3636.

Quotient Division par
270270 22
135135 33
4545 33
1515 33
55 55
11

270=2×3×3×3×5\boxed{270=2\times 3\times3\times3\times5}

Quotient Division par
3636 22
1818 22
99 33
33 33
11

36=2×2×3×3\boxed{36=2\times 2\times3\times3}

  • Nous obtenons ainsi :

27036=2×3×3×3×52×2×3×3=3×52=152\begin{aligned} \dfrac{270}{36}&=\dfrac {\green 2\times \green 3\times \green 3\times 3\times 5}{\green 2\times 2\times \green 3\times \green 3} \ &=\dfrac {3\times 5}2 \ &=\dfrac {15}2 \end{aligned}