Nombres entiers : multiples, diviseurs et nombres premiers

Les entiers naturels et les entiers relatifs

• Les nombres entiers naturels ou entiers positifs forment un ensemble noté $\mathbb N$.
• $\mathbb N$ n’a pas de fin : le nombre d’entiers naturels est infini.
• $\mathbb N$ comporte un plus petit élément qui est $0$, mais n’a pas de plus grand élément.
• Les nombres entiers relatifs peuvent être positifs ou négatifs, et forment un ensemble noté $\mathbb Z$.
• Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs : $\mathbb N\subset \mathbb Z$.
• $\mathbb Z$ est infini, il n’a pas de plus petit élément ni de plus grand élément.

Les multiples, les diviseurs, les nombres pairs et impairs

• Soit $a$, $b$ et $k$ trois entiers relatifs tels que : $a=k\times b$.
• $a$ est un multiple de $b$ (et de $k$).
• $b$ est un diviseur de $a$ ($k$ est aussi un diviseur de $a$).
• $a$ est divisible par $b$ (et $k$).
• La somme de deux multiples d’un entier $a$ est un multiple de $a$.
• $a$ est pair si et seulement si il existe un entier relatif $k$ tel que $a=2k$.
• $a$ est impair si et seulement si il existe un entier relatif $k$ tel que $a=2k+1$.
• Parité des sommes et des produits :
• la somme de deux nombres pairs est paire ;
• la somme de deux nombres impairs est paire ;
• la somme d’un nombre pair et d’un nombre impair est impaire ;
• le produit de deux nombres pairs est pair ;
• par conséquent, le carré d’un nombre pair est pair ;
• le produit de deux nombres impairs est impair ;
• par conséquent, le carré d’un nombre impair est impair ;
• le produit d’un nombre pair et d’un nombre impair est pair.

Les nombres premiers

• Un nombre premier est un entier naturel qui a deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même.
• Pour montrer qu’un nombre est premier, il suffit de vérifier qu’il n’est pas divisible par un nombre premier inférieur à sa racine carrée.
• Tout entier naturel non premier peut s'écrire sous la forme d'un produit de nombres premiers.
• On dit alors qu'il est décomposé en produit de facteurs premiers.
• La décomposition des entiers naturels en produits de facteurs de nombres premiers permet de simplifier une fraction pour obtenir une fraction irréductible.

Exemple

Méthodologie :

Nous voulons simplifier la fraction $\frac{270}{36}$.

• Décomposons en produit de facteurs premiers $270$ et $36$.

Quotient	Division par
$270$	$2$
$135$	$3$
$45$	$3$
$15$	$3$
$5$	$5$
$1$

$$\boxed{270=2\times 3\times3\times3\times5}$$

Quotient	Division par
$36$	$2$
$18$	$2$
$9$	$3$
$3$	$3$
$1$

$$\boxed{36=2\times 2\times3\times3}$$

• Nous obtenons ainsi :

$$\begin{aligned} \dfrac{270}{36}&=\dfrac {\green 2\times \green 3\times \green 3\times 3\times 5}{\green 2\times 2\times \green 3\times \green 3} \\ &=\dfrac {3\times 5}2 \\ &=\dfrac {15}2 \end{aligned}$$