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Utiliser les notions de multiple, de diviseur et de nombre premier

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Les entiers naturels et les entiers relatifs

  • Définitions :
  • Les nombres entiers naturels ou entiers positifs forment un ensemble noté N={0;1;2;}\mathbb N =\lbrace 0; 1; 2; …\rbrace.
  • Les nombres entiers relatifs peuvent être positif (doté d’un signe ++) ou négatif (signe -) et forment un ensemble noté Z={;2;1;0;1;2;}\mathbb Z =\lbrace …; -2; -1; 0; 1; 2; …\rbrace.
  • Propriétés :
  • L’ensemble N\mathbb N n’a pas de fin : on dit que la quantité d’entiers naturels est infinie. En effet, si ce n’était pas le cas il y aurait un plus grand nombre mais comme on pourrait lui ajouter 11 alors ce serait une contradiction.
  • Les nombres entiers naturels peuvent être pairs ou impairs.
  • L’ensemble des nombres entiers comporte un plus petit élément qui est 00 mais n’a pas de plus grand élément.
  • Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs : on dit que N\mathbb N est inclus dans Z\mathbb Z.
  • La quantité de nombres relatifs est infini et n’a pas de plus petit élément ni de plus grand élément.

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Les multiples, les diviseurs, les nombres pairs et impairs

  • Définitions :
  • Un entier naturel bb est un diviseur de l'entier naturel aa lorsque le reste de la division euclidienne de aa par bb est égal à 00. Il existe alors un entier naturel qq tel que a=b×qa = b\times q.
  • Un entier naturel aa est multiple d'un entier naturel bb si l'on peut trouver aa en multipliant bb par un nombre entier. Il existe alors un entier naturel kk tel que a=b×ka=b\times k.
  • Les nombres entiers pairs sont les nombres divisibles par 22.
  • Les nombres entiers impairs sont les nombres non divisibles par 22.
  • Propriétés :
  • aa est un multiple de bb.
  • aa est divisible par bb (bb est un diviseur de aa).
  • La différence de deux multiples d’un nombre a est un multiple de aa.
  • La somme de deux multiples d’un nombre a est un multiple de aa.
  • Pour tout nombre entier pair aa il existe un nombre entier kk tel que a=2ka=2k.
  • Tout nombre impair succède à un nombre pair. Tout nombre entier impair bb peut s’écrire b=2m+1b=2m+1 où m est un nombre entier.
  • Règles de divisibilité :
  • Les nombres entiers qui se terminent par 00, 22, 44, 66 ou 88 sont divisibles par 22.
  • Un nombre entier est divisible par 22 si et seulement si son chiffre des unités est pair : 00, 22, 44, 66 ou 88.
  • Un nombre entier est divisible par 33 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 33.
  • Un nombre entier est divisible par 44 si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 44.
  • Un nombre entier est divisible par 55 si et seulement si son chiffre des unités est 00 ou 55.
  • Un nombre entier est divisible par 99 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 99.
  • Un nombre entier est divisible par 1010 si et seulement si son chiffre des unités est 00.
  • Un nombre entier a un nombre fini de diviseurs mais un nombre infini de multiples.
  • Parité des sommes et des produits :

Parité de la somme de deux nombres entiers
Parité du premier nombre Parité du second nombre Parité de la somme
Pair Pair Pair
Pair Impair Impair
Impair Pair Impair
Impair Impair Pair
Parité du produit de deux nombres entiers
Parité du premier nombre Parité du second nombre Parité du produit
Pair Pair Pair
Pair Impair Pair
Impair Pair Pair
Impair Impair Impair

Les nombres premiers

  • Définition :
  • Un nombre premier est un entier naturel qui a deux diviseurs distincts : 11 et lui-même. Pour montrer qu’un nombre est premier, il suffit de vérifier qu’il n’est pas divisible par un nombre premier inférieur à sa racine carrée.
  • Propriété :
  • Tout entier naturel non premier peut s'écrire sous la forme d'un produit de nombres premiers. On dit alors qu'il est décomposé en produit de facteurs premiers.

Pour décomposer un nombre non-premier, on l’écrit sous forme de produit de nombres puis on recommence avec les facteurs tant que c’est possible.

La décomposition des entiers naturels en produits de facteurs de nombres premiers permet de simplifier les fractions au maximum afin de les rendre irréductibles. On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis on simplifie jusqu'à ce qu'ils soient composés de facteurs premiers différents.