Fiche de révision : Utiliser les notions de multiple, de diviseur et de nombre premier

Les entiers naturels et les entiers relatifs

• Définitions :
• Les nombres entiers naturels ou entiers positifs forment un ensemble noté $\mathbb N =\lbrace 0; 1; 2; …\rbrace$.
• Les nombres entiers relatifs peuvent être positif (doté d’un signe $+$) ou négatif (signe $-$) et forment un ensemble noté $\mathbb Z =\lbrace …; -2; -1; 0; 1; 2; …\rbrace$.
• Propriétés :
• L’ensemble $\mathbb N$ n’a pas de fin : on dit que la quantité d’entiers naturels est infinie. En effet, si ce n’était pas le cas il y aurait un plus grand nombre mais comme on pourrait lui ajouter $1$ alors ce serait une contradiction.
• Les nombres entiers naturels peuvent être pairs ou impairs.
• L’ensemble des nombres entiers comporte un plus petit élément qui est $0$ mais n’a pas de plus grand élément.
• Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs : on dit que $\mathbb N$ est inclus dans $\mathbb Z$.
• La quantité de nombres relatifs est infini et n’a pas de plus petit élément ni de plus grand élément.

Les multiples, les diviseurs, les nombres pairs et impairs

• Définitions :
• Un entier naturel $b$ est un diviseur de l'entier naturel $a$ lorsque le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est égal à $0$. Il existe alors un entier naturel $q$ tel que $a = b\times q$.
• Un entier naturel $a$ est multiple d'un entier naturel $b$ si l'on peut trouver $a$ en multipliant $b$ par un nombre entier. Il existe alors un entier naturel $k$ tel que $a=b\times k$.
• Les nombres entiers pairs sont les nombres divisibles par $2$.
• Les nombres entiers impairs sont les nombres non divisibles par $2$.
• Propriétés :
• $a$ est un multiple de $b$.
• $a$ est divisible par $b$ ($b$ est un diviseur de $a$).
• La différence de deux multiples d’un nombre a est un multiple de $a$.
• La somme de deux multiples d’un nombre a est un multiple de $a$.
• Pour tout nombre entier pair $a$ il existe un nombre entier $k$ tel que $a=2k$.
• Tout nombre impair succède à un nombre pair. Tout nombre entier impair $b$ peut s’écrire $b=2m+1$ où m est un nombre entier.
• Règles de divisibilité :
• Les nombres entiers qui se terminent par $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$ sont divisibles par $2$.
• Un nombre entier est divisible par $2$ si et seulement si son chiffre des unités est pair : $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$.
• Un nombre entier est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.
• Un nombre entier est divisible par $4$ si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par $4$.
• Un nombre entier est divisible par $5$ si et seulement si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
• Un nombre entier est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.
• Un nombre entier est divisible par $10$ si et seulement si son chiffre des unités est $0$.
• Un nombre entier a un nombre fini de diviseurs mais un nombre infini de multiples.
• Parité des sommes et des produits :

Les nombres premiers

• Définition :
• Un nombre premier est un entier naturel qui a deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même. Pour montrer qu’un nombre est premier, il suffit de vérifier qu’il n’est pas divisible par un nombre premier inférieur à sa racine carrée.
• Propriété :
• Tout entier naturel non premier peut s'écrire sous la forme d'un produit de nombres premiers. On dit alors qu'il est décomposé en produit de facteurs premiers.

Pour décomposer un nombre non-premier, on l’écrit sous forme de produit de nombres puis on recommence avec les facteurs tant que c’est possible.

La décomposition des entiers naturels en produits de facteurs de nombres premiers permet de simplifier les fractions au maximum afin de les rendre irréductibles. On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis on simplifie jusqu'à ce qu'ils soient composés de facteurs premiers différents.